Theorem iedgex 16063

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 16061	. 2 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
2		2ndexg 6364	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
3		edgfid 16050	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
4		edgfndxnn 16052	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	3, 4	ndxslid 13258	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
6	5	slotex 13260	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
7	2, 6	ifexd 4607	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2311	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ifcif 3622   X. cxp 4749   ` cfv 5354   2ndc2nd 6335   ndxcnx 13230  .efcedgf 16048  iEdgciedg 16057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fo 5360  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-2nd 6337  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-edgf 16049  df-iedg 16059

This theorem is referenced by:  isuhgrm  16115  isushgrm  16116  uhgrunop  16131  isupgren  16139  upgrop  16148  isumgren  16149  upgrunop  16171  umgrunop  16173  isuspgren  16201  isusgren  16202  usgrop  16210  usgrausgrien  16213  ausgrumgrien  16214  ausgrusgrien  16215  usgrsizedgen  16257  uhgrspansubgrlem  16320  uhgrspanop  16326  upgrspanop  16327  umgrspanop  16328  usgrspanop  16329  vtxdgfval  16332  vtxdgop  16336  wksfval  16366  wlkex  16369  wlk1walkdom  16403  trlsegvdeglem3  16506  trlsegvdeglem5  16508  eupthvdres  16519  eupth2lem3fi  16520  eupth2lembfi  16521