Theorem iedgex 16477

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 16475	. 2 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
2		2ndexg 6406	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
3		edgfid 16464	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
4		edgfndxnn 16466	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	3, 4	ndxslid 13436	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
6	5	slotex 13438	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
7	2, 6	ifexd 4632	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2315	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4774   ` cfv 5380   2ndc2nd 6377   ndxcnx 13408  .efcedgf 16462  iEdgciedg 16471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-2nd 6379  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-edgf 16463  df-iedg 16473

This theorem is used by:  isuhgrm  16529  isushgrm  16530  uhgrunop  16545  isupgren  16553  upgrop  16562  isumgren  16563  upgrunop  16585  umgrunop  16587  isuspgren  16615  isusgren  16616  usgrop  16624  usgrausgrien  16627  ausgrumgrien  16628  ausgrusgrien  16629  usgrsizedgen  16671  uhgrspansubgrlem  16734  uhgrspanop  16740  upgrspanop  16741  umgrspanop  16742  usgrspanop  16743  vtxdgfval  16746  vtxdgop  16750  wksfval  16780  wlkex  16783  wlk1walkdom  16817  trlsegvdeglem3  16920  trlsegvdeglem5  16922  eupthvdres  16933  eupth2lem3fi  16934  eupth2lembfi  16935