Theorem iedgex 15828

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15826	. 2 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
2		2ndexg 6320	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
3		edgfid 15815	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
4		edgfndxnn 15817	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	3, 4	ndxslid 13065	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
6	5	slotex 13067	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
7	2, 6	ifexd 4575	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2306	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ifcif 3602   X. cxp 4717   ` cfv 5318   2ndc2nd 6291   ndxcnx 13037  .efcedgf 15813  iEdgciedg 15822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-2nd 6293  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-edgf 15814  df-iedg 15824

This theorem is referenced by:  isuhgrm  15879  isushgrm  15880  uhgrunop  15895  isupgren  15903  upgrop  15912  isumgren  15913  upgrunop  15933  umgrunop  15935  isuspgren  15963  isusgren  15964  usgrop  15972  usgrausgrien  15975  ausgrumgrien  15976  ausgrusgrien  15977  usgrsizedgen  16019  wksfval  16043  wlkex  16046  wlk1walkdom  16080