Theorem iedgex 16243

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 16241	. 2 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
2		2ndexg 6396	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
3		edgfid 16230	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
4		edgfndxnn 16232	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	3, 4	ndxslid 13360	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
6	5	slotex 13362	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
7	2, 6	ifexd 4628	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2315	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4770   ` cfv 5375   2ndc2nd 6367   ndxcnx 13332  .efcedgf 16228  iEdgciedg 16237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-edgf 16229  df-iedg 16239

This theorem is referenced by:  isuhgrm  16295  isushgrm  16296  uhgrunop  16311  isupgren  16319  upgrop  16328  isumgren  16329  upgrunop  16351  umgrunop  16353  isuspgren  16381  isusgren  16382  usgrop  16390  usgrausgrien  16393  ausgrumgrien  16394  ausgrusgrien  16395  usgrsizedgen  16437  uhgrspansubgrlem  16500  uhgrspanop  16506  upgrspanop  16507  umgrspanop  16508  usgrspanop  16509  vtxdgfval  16512  vtxdgop  16516  wksfval  16546  wlkex  16549  wlk1walkdom  16583  trlsegvdeglem3  16686  trlsegvdeglem5  16688  eupthvdres  16699  eupth2lem3fi  16700  eupth2lembfi  16701