Theorem 1vgrex 15944

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15938	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
2	1	funmpt2 5372	. . . . 5 ⊢ Fun Vtx
3		funrel 5350	. . . . 5 ⊢ (Fun Vtx → Rel Vtx)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel Vtx
5		relelfvdm 5680	. . . 4 ⊢ ((Rel Vtx ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
7		1vgrex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eleq2s 2326	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ dom Vtx)
9	8	elexd 2817	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ifcif 3607   × cxp 4729  dom cdm 4731  Rel wrel 4736  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333  1^st c1st 6310  Basecbs 13145  Vtxcvtx 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-vtx 15938

This theorem is referenced by:  upgr1edc  16045  uspgr1edc  16164  vtxdgfifival  16215  vtxdfifiun  16221  vdegp1aid  16238  vdegp1bid  16239  isclwwlk  16318  clwwlknon  16353