Theorem 1vgrex 15559

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15555	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
2	1	funmpt2 5309	. . . . 5 ⊢ Fun Vtx
3		funrel 5287	. . . . 5 ⊢ (Fun Vtx → Rel Vtx)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel Vtx
5		relelfvdm 5607	. . . 4 ⊢ ((Rel Vtx ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
7		1vgrex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eleq2s 2299	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ dom Vtx)
9	8	elexd 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ifcif 3570   × cxp 4672  dom cdm 4674  Rel wrel 4679  Fun wfun 5264  ‘cfv 5270  1^st c1st 6223  Basecbs 12774  Vtxcvtx 15553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-vtx 15555

This theorem is referenced by: (None)