Theorem 1vgrex 15694

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15688	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
2	1	funmpt2 5319	. . . . 5 ⊢ Fun Vtx
3		funrel 5297	. . . . 5 ⊢ (Fun Vtx → Rel Vtx)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel Vtx
5		relelfvdm 5621	. . . 4 ⊢ ((Rel Vtx ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
7		1vgrex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eleq2s 2301	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ dom Vtx)
9	8	elexd 2787	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ifcif 3575   × cxp 4681  dom cdm 4683  Rel wrel 4688  Fun wfun 5274  ‘cfv 5280  1^st c1st 6237  Basecbs 12907  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-vtx 15688

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15789