Theorem 1vgrex 16015

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 16009	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
2	1	funmpt2 5391	. . . . 5 ⊢ Fun Vtx
3		funrel 5369	. . . . 5 ⊢ (Fun Vtx → Rel Vtx)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel Vtx
5		relelfvdm 5702	. . . 4 ⊢ ((Rel Vtx ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
7		1vgrex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eleq2s 2327	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ dom Vtx)
9	8	elexd 2827	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ifcif 3620   × cxp 4747  dom cdm 4749  Rel wrel 4754  Fun wfun 5346  ‘cfv 5352  1^st c1st 6332  Basecbs 13212  Vtxcvtx 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-vtx 16009

This theorem is referenced by:  upgr1edc  16116  uspgr1edc  16235  vtxdgfifival  16286  vtxdfifiun  16292  vdegp1aid  16309  vdegp1bid  16310  isclwwlk  16389  clwwlknon  16424