Theorem 1vgrex 15861

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15855	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
2	1	funmpt2 5363	. . . . 5 ⊢ Fun Vtx
3		funrel 5341	. . . . 5 ⊢ (Fun Vtx → Rel Vtx)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel Vtx
5		relelfvdm 5667	. . . 4 ⊢ ((Rel Vtx ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Vtx)
7		1vgrex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eleq2s 2324	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ dom Vtx)
9	8	elexd 2814	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ifcif 3603   × cxp 4721  dom cdm 4723  Rel wrel 4728  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  1^st c1st 6296  Basecbs 13072  Vtxcvtx 15853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-vtx 15855

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15962  uspgr1edc  16079  vtxdgfifival  16097  vtxdfifiun  16103  isclwwlk  16189  clwwlknon  16224