ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abrexexg Unicode version

Theorem abrexexg 6016
Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets.  x is normally a free-variable parameter in  B. The antecedent assures us that  A is a set. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
abrexexg  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, A   
y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x, y)

Proof of Theorem abrexexg
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 4787 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 mptexg 5645 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4 rnexg 4804 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
62, 5eqeltrrid 2227 1  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    |-> cmpt 3989   ran crn 4540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  iunexg  6017  qsexg  6485  shftfvalg  10597
  Copyright terms: Public domain W3C validator