Theorem abrexexg 6279

Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. x is normally a free-variable parameter in B. The antecedent assures us that A is a set. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
abrexexg	|- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abrexexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	rnmpt 4980	. 2 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
3		mptexg 5878	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
4		rnexg 4997	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. _V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
6	2, 5	eqeltrrid 2319	1 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   |-> cmpt 4150   ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  iunexg  6280  qsexg  6759  shftfvalg  11378  plyval  15455