Theorem abrexexg 6337

Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. x is normally a free-variable parameter in B. The antecedent assures us that A is a set. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
abrexexg	|- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abrexexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	rnmpt 5025	. 2 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
3		mptexg 5933	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
4		rnexg 5042	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. _V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
6	2, 5	eqeltrrid 2326	1 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4187   ran crn 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  iunexg  6338  qsexg  6855  shftfvalg  11561  plyval  15756