Theorem abrexexg 6203

Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. x is normally a free-variable parameter in B. The antecedent assures us that A is a set. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
abrexexg	|- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abrexexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	rnmpt 4926	. 2 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
3		mptexg 5809	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
4		rnexg 4943	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. _V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
6	2, 5	eqeltrrid 2293	1 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   |-> cmpt 4105   ran crn 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  iunexg  6204  qsexg  6678  shftfvalg  11129  plyval  15204