Theorem mptexg 5933

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	|- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5410	. 2 |- Fun ( x e. A |-> B )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	dmmptss 5279	. . 3 |- dom ( x e. A |-> B ) C_ A
4		ssexg 4267	. . 3 |- ( ( dom ( x e. A |-> B ) C_ A /\ A e. V ) -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( A e. V -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
6		funex 5931	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769   Fun wfun 5366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  mptex  5934  mptexd  5935  offval  6300  abrexexg  6337  xpexgALT  6356  offval3  6357  iunon  6545  mptelixpg  7006  updjud  7412  mkvprop  7488  cc3  7624  iseqf1olemqpcl  10924  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1olemstep  10929  negfi  11972  climmpt  12044  restval  13576  mulgnngzsum  13907  gzsumshift  14126  ntrfval  15124  clsfval  15125  neifval  15164  cnprcl2k  15230  upxp  15296