ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mptexg Unicode version

Theorem mptexg 5611
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5129 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2115 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5003 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4035 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 418 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 5609 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 408 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    C_ wss 3039    |-> cmpt 3957   dom cdm 4507   Fun wfun 5085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  mptex  5612  offval  5955  abrexexg  5982  xpexgALT  5997  offval3  5998  iunon  6147  mptelixpg  6594  updjud  6933  mkvprop  6998  iseqf1olemqpcl  10209  seq3f1olemqsum  10213  seq3f1olemstep  10214  negfi  10939  climmpt  11009  restval  12021  ntrfval  12164  clsfval  12165  neifval  12204  cnprcl2k  12270  upxp  12336
  Copyright terms: Public domain W3C validator