Theorem mptexg 5942

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	|- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5415	. 2 |- Fun ( x e. A |-> B )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	dmmptss 5284	. . 3 |- dom ( x e. A |-> B ) C_ A
4		ssexg 4272	. . 3 |- ( ( dom ( x e. A |-> B ) C_ A /\ A e. V ) -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( A e. V -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
6		funex 5940	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   Fun wfun 5371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  mptex  5943  mptexd  5944  offval  6310  abrexexg  6347  xpexgALT  6366  offval3  6367  iunon  6555  mptelixpg  7016  updjud  7422  mkvprop  7498  cc3  7634  indv  9295  indval  9296  iseqf1olemqpcl  10946  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  negfi  11994  climmpt  12066  restval  13599  mulgnngzsum  13930  gzsumshift  14149  ntrfval  15201  clsfval  15202  neifval  15241  cnprcl2k  15307  upxp  15373