Theorem acexmidlemv 5650

Description: Lemma for acexmid 5651.

This is acexmid 5651 with additional distinct variable constraints, most notably between ph and x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
acexmidlemv.choice	|- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemv	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucelsucexmidlem 4345	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On
2		pp0ex 4024	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	rabex 3983	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V
4		prexg 4038	. . . 4 |- ( ( { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On /\ { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V ) -> { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V )
5	1, 3, 4	mp2an 417	. . 3 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V
6		raleq 2562	. . . 4 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
7	6	exbidv 1753	. . 3 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
8		acexmidlemv.choice	. . 3 |- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
9	5, 7, 8	vtocl 2673	. 2 |- E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
10		eqeq1 2094	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = (/) <-> t = (/) ) )
11	10	orbi1d 740	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = (/) \/ ph ) <-> ( t = (/) \/ ph ) ) )
12	11	cbvrabv 2618	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = (/) \/ ph ) }
13		eqeq1 2094	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = { (/) } <-> t = { (/) } ) )
14	13	orbi1d 740	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = { (/) } \/ ph ) <-> ( t = { (/) } \/ ph ) ) )
15	14	cbvrabv 2618	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = { (/) } \/ ph ) }
16		eqid 2088	. . . 4 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } }
17	12, 15, 16	acexmidlem2 5649	. . 3 |- ( A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	17	exlimiv 1534	. 2 |- ( E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
19	9, 18	ax-mp 7	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   \/ wo 664   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361   {crab 2363   _Vcvv 2619   (/)c0 3286   {csn 3446   {cpr 3447   Oncon0 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iota 4980  df-riota 5608

This theorem is referenced by:  acexmid  5651