ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemv Unicode version

Theorem acexmidlemv 5738
Description: Lemma for acexmid 5739.

This is acexmid 5739 with additional distinct variable constraints, most notably between  ph and  x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmidlemv.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmidlemv  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem 4412 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
2 pp0ex 4081 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32rabex 4040 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
4 prexg 4101 . . . 4  |-  ( ( { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On  /\  {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  { (/)
}  \/  ph ) }  e.  _V )  ->  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 420 . . 3  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V
6 raleq 2601 . . . 4  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
76exbidv 1779 . . 3  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. y A. z  e.  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) )
8 acexmidlemv.choice . . 3  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
95, 7, 8vtocl 2712 . 2  |-  E. y A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )
10 eqeq1 2122 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  (/)  <->  t  =  (/) ) )
1110orbi1d 763 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( t  =  (/)  \/  ph )
) )
1211cbvrabv 2657 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  =  {
t  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( t  =  (/)  \/ 
ph ) }
13 eqeq1 2122 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  { (/) }  <-> 
t  =  { (/) } ) )
1413orbi1d 763 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) ) )
1514cbvrabv 2657 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  =  { t  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) }
16 eqid 2115 . . . 4  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  =  { { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }
1712, 15, 16acexmidlem2 5737 . . 3  |-  ( A. z  e.  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
1817exlimiv 1560 . 2  |-  ( E. y A. z  e. 
{ { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
199, 18ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    \/ wo 680    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   E!wreu 2393   {crab 2395   _Vcvv 2658   (/)c0 3331   {csn 3495   {cpr 3496   Oncon0 4253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-uni 3705  df-tr 3995  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iota 5056  df-riota 5696
This theorem is referenced by:  acexmid  5739
  Copyright terms: Public domain W3C validator