ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemv Unicode version

Theorem acexmidlemv 5895
Description: Lemma for acexmid 5896.

This is acexmid 5896 with additional disjoint variable conditions, most notably between  ph and  x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmidlemv.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmidlemv  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem 4546 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
2 pp0ex 4207 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32rabex 4162 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
4 prexg 4229 . . . 4  |-  ( ( { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On  /\  {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  { (/)
}  \/  ph ) }  e.  _V )  ->  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 426 . . 3  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V
6 raleq 2686 . . . 4  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
76exbidv 1836 . . 3  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. y A. z  e.  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) )
8 acexmidlemv.choice . . 3  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
95, 7, 8vtocl 2806 . 2  |-  E. y A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )
10 eqeq1 2196 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  (/)  <->  t  =  (/) ) )
1110orbi1d 792 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( t  =  (/)  \/  ph )
) )
1211cbvrabv 2751 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  =  {
t  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( t  =  (/)  \/ 
ph ) }
13 eqeq1 2196 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  { (/) }  <-> 
t  =  { (/) } ) )
1413orbi1d 792 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) ) )
1514cbvrabv 2751 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  =  { t  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) }
16 eqid 2189 . . . 4  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  =  { { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }
1712, 15, 16acexmidlem2 5894 . . 3  |-  ( A. z  e.  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
1817exlimiv 1609 . 2  |-  ( E. y A. z  e. 
{ { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
199, 18ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   E!wreu 2470   {crab 2472   _Vcvv 2752   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   Oncon0 4381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iota 5196  df-riota 5852
This theorem is referenced by:  acexmid  5896
  Copyright terms: Public domain W3C validator