ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemv Unicode version

Theorem acexmidlemv 5849
Description: Lemma for acexmid 5850.

This is acexmid 5850 with additional disjoint variable conditions, most notably between  ph and  x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmidlemv.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmidlemv  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem 4511 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
2 pp0ex 4173 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32rabex 4131 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
4 prexg 4194 . . . 4  |-  ( ( { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On  /\  {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  { (/)
}  \/  ph ) }  e.  _V )  ->  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 424 . . 3  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V
6 raleq 2665 . . . 4  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
76exbidv 1818 . . 3  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. y A. z  e.  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) )
8 acexmidlemv.choice . . 3  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
95, 7, 8vtocl 2784 . 2  |-  E. y A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )
10 eqeq1 2177 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  (/)  <->  t  =  (/) ) )
1110orbi1d 786 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( t  =  (/)  \/  ph )
) )
1211cbvrabv 2729 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  =  {
t  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( t  =  (/)  \/ 
ph ) }
13 eqeq1 2177 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  { (/) }  <-> 
t  =  { (/) } ) )
1413orbi1d 786 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) ) )
1514cbvrabv 2729 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  =  { t  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) }
16 eqid 2170 . . . 4  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  =  { { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }
1712, 15, 16acexmidlem2 5848 . . 3  |-  ( A. z  e.  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
1817exlimiv 1591 . 2  |-  ( E. y A. z  e. 
{ { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
199, 18ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   {crab 2452   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3581   {cpr 3582   Oncon0 4346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3795  df-tr 4086  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iota 5158  df-riota 5807
This theorem is referenced by:  acexmid  5850
  Copyright terms: Public domain W3C validator