ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemv Unicode version

Theorem acexmidlemv 5873
Description: Lemma for acexmid 5874.

This is acexmid 5874 with additional disjoint variable conditions, most notably between  ph and  x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmidlemv.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmidlemv  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem 4529 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
2 pp0ex 4190 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32rabex 4148 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
4 prexg 4212 . . . 4  |-  ( ( { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On  /\  {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  { (/)
}  \/  ph ) }  e.  _V )  ->  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 426 . . 3  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V
6 raleq 2673 . . . 4  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
76exbidv 1825 . . 3  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. y A. z  e.  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) )
8 acexmidlemv.choice . . 3  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
95, 7, 8vtocl 2792 . 2  |-  E. y A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )
10 eqeq1 2184 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  (/)  <->  t  =  (/) ) )
1110orbi1d 791 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( t  =  (/)  \/  ph )
) )
1211cbvrabv 2737 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  =  {
t  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( t  =  (/)  \/ 
ph ) }
13 eqeq1 2184 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  { (/) }  <-> 
t  =  { (/) } ) )
1413orbi1d 791 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) ) )
1514cbvrabv 2737 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  =  { t  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) }
16 eqid 2177 . . . 4  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  =  { { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }
1712, 15, 16acexmidlem2 5872 . . 3  |-  ( A. z  e.  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
1817exlimiv 1598 . 2  |-  ( E. y A. z  e. 
{ { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
199, 18ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   {crab 2459   _Vcvv 2738   (/)c0 3423   {csn 3593   {cpr 3594   Oncon0 4364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iota 5179  df-riota 5831
This theorem is referenced by:  acexmid  5874
  Copyright terms: Public domain W3C validator