Theorem acexmidlemv 5942

Description: Lemma for acexmid 5943.

This is acexmid 5943 with additional disjoint variable conditions, most notably between ph and x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
acexmidlemv.choice	|- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemv	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucelsucexmidlem 4577	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On
2		pp0ex 4233	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	rabex 4188	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V
4		prexg 4255	. . . 4 |- ( ( { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On /\ { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V ) -> { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V )
5	1, 3, 4	mp2an 426	. . 3 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V
6		raleq 2702	. . . 4 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
7	6	exbidv 1848	. . 3 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
8		acexmidlemv.choice	. . 3 |- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
9	5, 7, 8	vtocl 2827	. 2 |- E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
10		eqeq1 2212	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = (/) <-> t = (/) ) )
11	10	orbi1d 793	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = (/) \/ ph ) <-> ( t = (/) \/ ph ) ) )
12	11	cbvrabv 2771	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = (/) \/ ph ) }
13		eqeq1 2212	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = { (/) } <-> t = { (/) } ) )
14	13	orbi1d 793	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = { (/) } \/ ph ) <-> ( t = { (/) } \/ ph ) ) )
15	14	cbvrabv 2771	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = { (/) } \/ ph ) }
16		eqid 2205	. . . 4 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } }
17	12, 15, 16	acexmidlem2 5941	. . 3 |- ( A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	17	exlimiv 1621	. 2 |- ( E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
19	9, 18	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   {crab 2488   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   {csn 3633   {cpr 3634   Oncon0 4410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iota 5232  df-riota 5899

This theorem is referenced by:  acexmid  5943