Theorem acexmidlemv 5851

Description: Lemma for acexmid 5852.

This is acexmid 5852 with additional disjoint variable conditions, most notably between ph and x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
acexmidlemv.choice	|- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemv	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucelsucexmidlem 4513	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On
2		pp0ex 4175	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	rabex 4133	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V
4		prexg 4196	. . . 4 |- ( ( { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On /\ { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V ) -> { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V )
5	1, 3, 4	mp2an 424	. . 3 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V
6		raleq 2665	. . . 4 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
7	6	exbidv 1818	. . 3 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
8		acexmidlemv.choice	. . 3 |- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
9	5, 7, 8	vtocl 2784	. 2 |- E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
10		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = (/) <-> t = (/) ) )
11	10	orbi1d 786	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = (/) \/ ph ) <-> ( t = (/) \/ ph ) ) )
12	11	cbvrabv 2729	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = (/) \/ ph ) }
13		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = { (/) } <-> t = { (/) } ) )
14	13	orbi1d 786	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = { (/) } \/ ph ) <-> ( t = { (/) } \/ ph ) ) )
15	14	cbvrabv 2729	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = { (/) } \/ ph ) }
16		eqid 2170	. . . 4 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } }
17	12, 15, 16	acexmidlem2 5850	. . 3 |- ( A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	17	exlimiv 1591	. 2 |- ( E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
19	9, 18	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   {crab 2452   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iota 5160  df-riota 5809

This theorem is referenced by:  acexmid  5852