Theorem assalem 15003

Description: The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isassa.v	|- V = ( Base ` W )
isassa.f	|- F = (Scalar ` W )
isassa.b	|- B = ( Base ` F )
isassa.s	|- .x. = ( .s ` W )
isassa.t	|- .X. = ( .r ` W )

Assertion

Ref	Expression
assalem	|- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )

Proof of Theorem assalem

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isassa.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		isassa.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		isassa.b	. . . 4 |- B = ( Base ` F )
4		isassa.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		isassa.t	. . . 4 |- .X. = ( .r ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 15002	. . 3 |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
7	6	simprbi 275	. 2 |- ( W e. AssAlg -> A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) )
8		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( r = A -> ( r .x. x ) = ( A .x. x ) )
9	8	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( r = A -> ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( ( A .x. x ) .X. y ) )
10		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( r = A -> ( r .x. ( x .X. y ) ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) )
11	9, 10	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( r = A -> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) <-> ( ( A .x. x ) .X. y ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) ) )
12		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( r = A -> ( r .x. y ) = ( A .x. y ) )
13	12	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( r = A -> ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( x .X. ( A .x. y ) ) )
14	13, 10	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( r = A -> ( ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) <-> ( x .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) ) )
15	11, 14	anbi12d 477	. . 3 |- ( r = A -> ( ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) <-> ( ( ( A .x. x ) .X. y ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
16		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( A .x. x ) = ( A .x. X ) )
17	16	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( A .x. x ) .X. y ) = ( ( A .x. X ) .X. y ) )
18		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x .X. y ) = ( X .X. y ) )
19	18	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A .x. ( x .X. y ) ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( A .x. x ) .X. y ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) <-> ( ( A .x. X ) .X. y ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) ) )
21		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .X. ( A .x. y ) ) = ( X .X. ( A .x. y ) ) )
22	21, 19	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( x .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) <-> ( X .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) ) )
23	20, 22	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = X -> ( ( ( ( A .x. x ) .X. y ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( x .X. y ) ) ) <-> ( ( ( A .x. X ) .X. y ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) ) ) )
24		oveq2 6093	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( A .x. X ) .X. y ) = ( ( A .x. X ) .X. Y ) )
25		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X .X. y ) = ( X .X. Y ) )
26	25	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( A .x. ( X .X. y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )
27	24, 26	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( ( A .x. X ) .X. y ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) <-> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )
28		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( A .x. y ) = ( A .x. Y ) )
29	28	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( X .X. ( A .x. y ) ) = ( X .X. ( A .x. Y ) ) )
30	29, 26	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( X .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) <-> ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )
31	27, 30	anbi12d 477	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( ( ( A .x. X ) .X. y ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. y ) ) = ( A .x. ( X .X. y ) ) ) <-> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
32	15, 23, 31	rspc3v 2946	. 2 |- ( ( A e. B /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
33	7, 32	mpan9 281	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   Ringcrg 14300   LModclmod 14623  AssAlgcasa 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-assa 14999

This theorem is used by:  assaass  15004  assaassr  15005