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Theorem isassa 14985
Description: The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by SN, 2-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isassa.v |- V = ( Base ` W )
isassa.f |- F = (Scalar ` W )
isassa.b |- B = ( Base ` F )
isassa.s |- .x. = ( .s ` W )
isassa.t |- .X. = ( .r ` W )
Assertion
Ref Expression
isassa |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, r, y   B, r   F, r   V, r, x, y   .x. , r, x, y   .X. , r, x, y   W, r, x, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)   F( x, y)
Proof of Theorem isassa
Dummy variables f w s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5693 . . . 4 |- ( w = W -> (Scalar ` w ) = (Scalar ` W ) )
2 fveq2 5693 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( Base ` w ) = ( Base ` W ) )
3 fveq2 5693 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( .s ` w ) = ( .s ` W ) )
4 fveq2 5693 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( .r ` w ) = ( .r ` W ) )
54sbceq1d 3056 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
63, 5sbceqbid 3058 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
72, 6raleqbidv 2765 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
82, 7raleqbidv 2765 . . . . 5 |- ( w = W -> ( A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
98ralbidv 2550 . . . 4 |- ( w = W -> ( A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
101, 9sbceqbid 3058 . . 3 |- ( w = W -> ( [. (Scalar ` w ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
11 df-assa 14982 . . 3 |- AssAlg = { w e. ( LMod i^i Ring ) | [. (Scalar ` w ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) }
1210, 11elrab2 2985 . 2 |- ( W e. AssAlg <-> ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
13 scaslid 13490 . . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
1413slotex 13362 . . . . 5 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> (Scalar ` W ) e. _V )
15 fveq2 5693 . . . . . . 7 |- ( f = (Scalar ` W ) -> ( Base ` f ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
1615raleqdv 2755 . . . . . 6 |- ( f = (Scalar ` W ) -> ( A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
1716sbcieg 3084 . . . . 5 |- ( (Scalar ` W ) e. _V -> ( [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
1814, 17syl 14 . . . 4 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) )
19 isassa.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` F )
20 isassa.f . . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
2120fveq2i 5696 . . . . . . 7 |- ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
2219, 21eqtr2i 2260 . . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = B
2322a1i 9 . . . . 5 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = B )
24 isassa.v . . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
2524eqcomi 2242 . . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = V
2625a1i 9 . . . . . 6 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( Base ` W ) = V )
27 vscaslid 13500 . . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
2827slotex 13362 . . . . . . . . 9 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( .s ` W ) e. _V )
29 isassa.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .x. = ( .s ` W )
3029eqeq2i 2249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = .x. <-> s = ( .s ` W ) )
3130biimpri 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( .s ` W ) -> s = .x. )
3231oveqd 6096 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( r s x ) = ( r .x. x ) )
3332oveq1d 6094 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( ( r s x ) t y ) = ( ( r .x. x ) t y ) )
3431oveqd 6096 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( r s ( x t y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) )
3533, 34eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) <-> ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) )
3631oveqd 6096 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( r s y ) = ( r .x. y ) )
3736oveq2d 6095 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( x t ( r s y ) ) = ( x t ( r .x. y ) ) )
3837, 34eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) <-> ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) )
3935, 38anbi12d 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) ) )
4039sbcbidv 3110 . . . . . . . . . 10 |- ( s = ( .s ` W ) -> ( [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) ) )
4140sbcieg 3084 . . . . . . . . 9 |- ( ( .s ` W ) e. _V -> ( [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) ) )
4228, 41syl 14 . . . . . . . 8 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) ) )
43 mulrslid 13469 . . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4443slotex 13362 . . . . . . . . 9 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( .r ` W ) e. _V )
45 isassa.t . . . . . . . . . . . . . . 15 |- .X. = ( .r ` W )
4645eqeq2i 2249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .X. <-> t = ( .r ` W ) )
4746biimpri 133 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( .r ` W ) -> t = .X. )
4847oveqd 6096 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( ( r .x. x ) t y ) = ( ( r .x. x ) .X. y ) )
4947oveqd 6096 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( x t y ) = ( x .X. y ) )
5049oveq2d 6095 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( r .x. ( x t y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) )
5148, 50eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) <-> ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) )
5247oveqd 6096 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( x t ( r .x. y ) ) = ( x .X. ( r .x. y ) ) )
5352, 50eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) <-> ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) )
5451, 53anbi12d 477 . . . . . . . . . 10 |- ( t = ( .r ` W ) -> ( ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
5554sbcieg 3084 . . . . . . . . 9 |- ( ( .r ` W ) e. _V -> ( [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
5644, 55syl 14 . . . . . . . 8 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r .x. x ) t y ) = ( r .x. ( x t y ) ) /\ ( x t ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
5742, 56bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
5826, 57raleqbidv 2765 . . . . . 6 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
5926, 58raleqbidv 2765 . . . . 5 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
6023, 59raleqbidv 2765 . . . 4 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
6118, 60bitrd 188 . . 3 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) -> ( [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
6261pm5.32i 458 . 2 |- ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ [. (Scalar ` W ) / f ]. A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) [. ( .s ` W ) / s ]. [. ( .r ` W ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) <-> ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
63 elin 3412 . . 3 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) <-> ( W e. LMod /\ W e. Ring ) )
6463anbi1i 462 . 2 |- ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
6512, 62, 643bitri 206 1 |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   i^i cin 3219   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   .rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  AssAlgcasa 14979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-assa 14982
This theorem is referenced by:  assalem  14986  assalmod  14989  assaring  14990  isassad  14994  assapropd  14997
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