Theorem basgen2 14763

Description: Given a topology 𝐽, show that a subset 𝐵 satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3213	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
2		ssexg 4223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ Top) → 𝐵 ∈ V)
3	2	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → 𝐵 ∈ V)
4		eltg2b 14736	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
6	5	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
7	1, 6	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
8	7	biimp3ar 1380	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵))
9		basgen 14762	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
10	8, 9	syld3an3 1316	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  topGenctg 13295  Topctop 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topgen 13301  df-top 14680

This theorem is referenced by: (None)