Theorem 2basgeng 15106

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	|- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13594	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2	1	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
3		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
4	2, 3	ssexd 4268	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
5		simp2 1029	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
6		tgss 15087	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
8		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. V )
9		tgss3 15102	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
12	7, 11	eqssd 3265	1 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ` cfv 5372   topGenctg 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-topgen 13591

This theorem is referenced by:  txbasval  15291  tgioo  15578  tgqioo  15579