ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2basgeng Unicode version

Theorem 2basgeng 12088
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
2basgeng  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )

Proof of Theorem 2basgeng
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12056 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
213ad2ant1 983 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
3 simp3 964 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  C_  ( topGen `
 B ) )
42, 3ssexd 4026 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  e.  _V )
5 simp2 963 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  C_  C
)
6 tgss 12069 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
74, 5, 6syl2anc 406 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 C ) )
8 simp1 962 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  V )
9 tgss3 12084 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
104, 8, 9syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
113, 10mpbird 166 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  C )  C_  ( topGen `
 B ) )
127, 11eqssd 3078 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 943    = wceq 1312    e. wcel 1461   _Vcvv 2655    C_ wss 3035   ` cfv 5079   topGenctg 11972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-topgen 11978
This theorem is referenced by:  txbasval  12272  tgioo  12526  tgqioo  12527
  Copyright terms: Public domain W3C validator