Theorem 2basgeng 14750

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	|- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13291	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2	1	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
3		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
4	2, 3	ssexd 4223	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
5		simp2 1022	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
6		tgss 14731	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
8		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. V )
9		tgss3 14746	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
12	7, 11	eqssd 3241	1 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ` cfv 5317   topGenctg 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-topgen 13288

This theorem is referenced by:  txbasval  14935  tgioo  15222  tgqioo  15223