Theorem 2basgeng 14805

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	|- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13345	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2	1	3ad2ant1 1044	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
3		simp3 1025	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
4	2, 3	ssexd 4229	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
5		simp2 1024	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
6		tgss 14786	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
8		simp1 1023	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. V )
9		tgss3 14801	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
12	7, 11	eqssd 3244	1 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ` cfv 5326   topGenctg 13336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topgen 13342

This theorem is referenced by:  txbasval  14990  tgioo  15277  tgqioo  15278