Theorem 2basgeng 14876

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	|- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13409	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2	1	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
3		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
4	2, 3	ssexd 4234	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
5		simp2 1025	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
6		tgss 14857	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
8		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. V )
9		tgss3 14872	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
12	7, 11	eqssd 3245	1 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ` cfv 5333   topGenctg 13400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13406

This theorem is referenced by:  txbasval  15061  tgioo  15348  tgqioo  15349