ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2basgeng Unicode version

Theorem 2basgeng 12288
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
2basgeng  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )

Proof of Theorem 2basgeng
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12256 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
213ad2ant1 1003 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
3 simp3 984 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  C_  ( topGen `
 B ) )
42, 3ssexd 4075 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  e.  _V )
5 simp2 983 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  C_  C
)
6 tgss 12269 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
74, 5, 6syl2anc 409 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 C ) )
8 simp1 982 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  V )
9 tgss3 12284 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
104, 8, 9syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
113, 10mpbird 166 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  C )  C_  ( topGen `
 B ) )
127, 11eqssd 3118 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   ` cfv 5130   topGenctg 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-topgen 12178
This theorem is referenced by:  txbasval  12473  tgioo  12752  tgqioo  12753
  Copyright terms: Public domain W3C validator