Theorem 2basgeng 14318

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	|- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 12934	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
3		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
4	2, 3	ssexd 4173	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
5		simp2 1000	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
6		tgss 14299	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
8		simp1 999	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. V )
9		tgss3 14314	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
12	7, 11	eqssd 3200	1 |- ( ( B e. V /\ B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ` cfv 5258   topGenctg 12925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-topgen 12931

This theorem is referenced by:  txbasval  14503  tgioo  14790  tgqioo  14791