ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2basgeng Unicode version

Theorem 2basgeng 13822
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
2basgeng  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )

Proof of Theorem 2basgeng
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12729 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
213ad2ant1 1019 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
3 simp3 1000 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  C_  ( topGen `
 B ) )
42, 3ssexd 4155 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  e.  _V )
5 simp2 999 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  C_  C
)
6 tgss 13803 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
74, 5, 6syl2anc 411 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 C ) )
8 simp1 998 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  V )
9 tgss3 13818 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
104, 8, 9syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
113, 10mpbird 167 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  C )  C_  ( topGen `
 B ) )
127, 11eqssd 3184 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749    C_ wss 3141   ` cfv 5228   topGenctg 12720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-topgen 12726
This theorem is referenced by:  txbasval  14007  tgioo  14286  tgqioo  14287
  Copyright terms: Public domain W3C validator