ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2basgeng Unicode version

Theorem 2basgeng 13979
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
2basgeng  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )

Proof of Theorem 2basgeng
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12734 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
213ad2ant1 1020 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
3 simp3 1001 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  C_  ( topGen `
 B ) )
42, 3ssexd 4158 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  C  e.  _V )
5 simp2 1000 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  C_  C
)
6 tgss 13960 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
74, 5, 6syl2anc 411 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 C ) )
8 simp1 999 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  V )
9 tgss3 13975 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
104, 8, 9syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
113, 10mpbird 167 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  C )  C_  ( topGen `
 B ) )
127, 11eqssd 3187 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   ` cfv 5231   topGenctg 12725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-topgen 12731
This theorem is referenced by:  txbasval  14164  tgioo  14443  tgqioo  14444
  Copyright terms: Public domain W3C validator