Theorem caovlem2d 6080

Description: Rearrangement of expression involving multiplication ( G) and addition ( F). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovdilemd.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
caovdilemd.distr	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) G z ) = ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
caovdilemd.ass	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
caovdilemd.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) e. S )
caovdilemd.a	|- ( ph -> A e. S )
caovdilemd.b	|- ( ph -> B e. S )
caovdilemd.c	|- ( ph -> C e. S )
caovdilemd.d	|- ( ph -> D e. S )
caovdilemd.h	|- ( ph -> H e. S )
caovdl2.6	|- ( ph -> R e. S )
caovdl2.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
caovdl2.ass	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) F z ) = ( x F ( y F z ) ) )
caovdl2.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
caovlem2d	|- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, H, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovlem2d

Dummy variables s r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovdilemd.cl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) e. S )
2		caovdilemd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		caovdilemd.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. S )
4		caovdilemd.h	. . . . 5 |- ( ph -> H e. S )
5	1, 3, 4	caovcld 6041	. . . 4 |- ( ph -> ( C G H ) e. S )
6	1, 2, 5	caovcld 6041	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( C G H ) ) e. S )
7		caovdilemd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
8		caovdilemd.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. S )
9	1, 8, 4	caovcld 6041	. . . 4 |- ( ph -> ( D G H ) e. S )
10	1, 7, 9	caovcld 6041	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( D G H ) ) e. S )
11		caovdl2.6	. . . . 5 |- ( ph -> R e. S )
12	1, 8, 11	caovcld 6041	. . . 4 |- ( ph -> ( D G R ) e. S )
13	1, 2, 12	caovcld 6041	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( D G R ) ) e. S )
14		caovdl2.com	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
15		caovdl2.ass	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) F z ) = ( x F ( y F z ) ) )
16	1, 3, 11	caovcld 6041	. . . 4 |- ( ph -> ( C G R ) e. S )
17	1, 7, 16	caovcld 6041	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( C G R ) ) e. S )
18		caovdl2.cl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
19	6, 10, 13, 14, 15, 17, 18	caov42d 6074	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
20		caovdilemd.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
21		caovdilemd.distr	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) G z ) = ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
22		caovdilemd.ass	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
23	20, 21, 22, 1, 2, 7, 3, 8, 4	caovdilemd 6079	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) = ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
24	20, 21, 22, 1, 2, 7, 8, 3, 11	caovdilemd 6079	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) = ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) )
25	23, 24	oveq12d 5906	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) ) )
26		simpr1 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> x e. S )
27	18	caovclg 6040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S ) ) -> ( r F s ) e. S )
28	27	caovclg 6040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y F z ) e. S )
29	28	3adantr1 1157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y F z ) e. S )
30	26, 29	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x e. S /\ ( y F z ) e. S ) )
31	20	caovcomg 6043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S ) ) -> ( r G s ) = ( s G r ) )
32	31	caovcomg 6043	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ ( y F z ) e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( y F z ) G x ) )
33	30, 32	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( y F z ) G x ) )
34		3anrot 984	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) <-> ( y e. S /\ z e. S /\ x e. S ) )
35	21	caovdirg 6065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S /\ t e. S ) ) -> ( ( r F s ) G t ) = ( ( r G t ) F ( s G t ) ) )
36	35	caovdirg 6065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( y F z ) G x ) = ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
37	34, 36	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y F z ) G x ) = ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
38	20	eqcomd 2193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( y G x ) = ( x G y ) )
39	38	3adantr3 1159	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y G x ) = ( x G y ) )
40	31	caovcomg 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ x e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
41	40	ancom2s 566	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
42	41	3adantr2 1158	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
43	39, 42	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y G x ) F ( z G x ) ) = ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
44	33, 37, 43	3eqtrd 2224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
45	44, 2, 5, 12	caovdid 6063	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) = ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) )
46	44, 7, 16, 9	caovdid 6063	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) = ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
47	45, 46	oveq12d 5906	. 2 |- ( ph -> ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
48	19, 25, 47	3eqtr4d 2230	1 |- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158  (class class class)co 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891

This theorem is referenced by:  mulasssrg  7770