ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsom GIF version

Theorem cnvsom 5008
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnvsom (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpom 5007 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴))
2 vex 2636 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3 vex 2636 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
42, 3brcnv 4650 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
5 vex 2636 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
62, 5brcnv 4650 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
75, 3brcnv 4650 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧)
86, 7orbi12i 719 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧))
9 orcom 685 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
108, 9bitri 183 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
114, 10imbi12i 238 . . . . . . 7 ((𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
1211ralbii 2395 . . . . . 6 (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
13122ralbii 2397 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
14 ralcom 2544 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1513, 14bitr3i 185 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1615a1i 9 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
171, 16anbi12d 458 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))))
18 df-iso 4148 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))))
19 df-iso 4148 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
2017, 18, 193bitr4g 222 1 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  wex 1433  wcel 1445  wral 2370   class class class wbr 3867   Po wpo 4145   Or wor 4146  ccnv 4466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-po 4147  df-iso 4148  df-cnv 4475
This theorem is referenced by:  gtso  7661
  Copyright terms: Public domain W3C validator