Theorem cnvsom 5213

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5212	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴))
2		vex 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	2, 3	brcnv 4849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
5		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
6	2, 5	brcnv 4849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
7	5, 3	brcnv 4849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
8	6, 7	orbi12i 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧))
9		orcom 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
10	8, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
11	4, 10	imbi12i 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
12	11	ralbii 2503	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
13	12	2ralbii 2505	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
14		ralcom 2660	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
15	13, 14	bitr3i 186	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
17	1, 16	anbi12d 473	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))))
18		df-iso 4332	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))))
19		df-iso 4332	. 2 ⊢ (◡𝑅 Or 𝐴 ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
20	17, 18, 19	3bitr4g 223	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4033   Po wpo 4329   Or wor 4330  ^◡ccnv 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-po 4331  df-iso 4332  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  gtso  8105