ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsom GIF version

Theorem cnvsom 5082
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnvsom (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpom 5081 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴))
2 vex 2689 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3 vex 2689 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
42, 3brcnv 4722 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
5 vex 2689 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
62, 5brcnv 4722 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
75, 3brcnv 4722 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧)
86, 7orbi12i 753 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧))
9 orcom 717 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
108, 9bitri 183 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
114, 10imbi12i 238 . . . . . . 7 ((𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
1211ralbii 2441 . . . . . 6 (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
13122ralbii 2443 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
14 ralcom 2594 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1513, 14bitr3i 185 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1615a1i 9 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
171, 16anbi12d 464 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))))
18 df-iso 4219 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))))
19 df-iso 4219 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
2017, 18, 193bitr4g 222 1 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  wex 1468  wcel 1480  wral 2416   class class class wbr 3929   Po wpo 4216   Or wor 4217  ccnv 4538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-cnv 4547
This theorem is referenced by:  gtso  7855
  Copyright terms: Public domain W3C validator