Theorem cnvsom 5147

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5146	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴))
2		vex 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	2, 3	brcnv 4787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
5		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
6	2, 5	brcnv 4787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
7	5, 3	brcnv 4787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
8	6, 7	orbi12i 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧))
9		orcom 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
10	8, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
11	4, 10	imbi12i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
12	11	ralbii 2472	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
13	12	2ralbii 2474	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
14		ralcom 2629	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
15	13, 14	bitr3i 185	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
17	1, 16	anbi12d 465	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))))
18		df-iso 4275	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))))
19		df-iso 4275	. 2 ⊢ (◡𝑅 Or 𝐴 ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
20	17, 18, 19	3bitr4g 222	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   class class class wbr 3982   Po wpo 4272   Or wor 4273  ^◡ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-po 4274  df-iso 4275  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  gtso  7977