Theorem cnvsom 5090

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5089	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴))
2		vex 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	2, 3	brcnv 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
5		vex 2692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
6	2, 5	brcnv 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
7	5, 3	brcnv 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
8	6, 7	orbi12i 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧))
9		orcom 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∨ 𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
10	8, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
11	4, 10	imbi12i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
12	11	ralbii 2444	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
13	12	2ralbii 2446	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)))
14		ralcom 2597	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
15	13, 14	bitr3i 185	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
17	1, 16	anbi12d 465	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥)))))
18		df-iso 4227	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))))
19		df-iso 4227	. 2 ⊢ (◡𝑅 Or 𝐴 ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ∨ 𝑧◡𝑅𝑥))))
20	17, 18, 19	3bitr4g 222	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   class class class wbr 3937   Po wpo 4224   Or wor 4225  ^◡ccnv 4546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-po 4226  df-iso 4227  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  gtso  7867