Theorem intasym 4931

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4925	. . 3 |- Rel `' R
2		relin2 4666	. . 3 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
3		ssrel 4635	. . 3 |- ( Rel ( R i^i `' R ) -> ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) )
5		elin 3264	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
6		df-br 3938	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
7		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4730	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
10		df-br 3938	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
11	9, 10	bitr3i 185	. . . . . 6 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
12	6, 11	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
13	5, 12	bitr4i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
14		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
15	8	ideq 4699	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
16	14, 15	bitr3i 185	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
17	13, 16	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
18	17	2albii 1448	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
19	4, 18	bitri 183	1 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   e. wcel 1481   i^i cin 3075   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   _I cid 4218   `'ccnv 4546   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555

This theorem is referenced by: (None)