Theorem intasym 4803

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4797	. . 3 |- Rel `' R
2		relin2 4544	. . 3 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
3		ssrel 4514	. . 3 |- ( Rel ( R i^i `' R ) -> ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) )
5		elin 3181	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
6		df-br 3838	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
7		vex 2622	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2622	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4607	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
10		df-br 3838	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
11	9, 10	bitr3i 184	. . . . . 6 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
12	6, 11	anbi12i 448	. . . . 5 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
13	5, 12	bitr4i 185	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
14		df-br 3838	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
15	8	ideq 4576	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
16	14, 15	bitr3i 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
17	13, 16	imbi12i 237	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
18	17	2albii 1405	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
19	4, 18	bitri 182	1 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   e. wcel 1438   i^i cin 2996   C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837   _I cid 4106   `'ccnv 4427   Rel wrel 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436

This theorem is referenced by: (None)