Theorem intasym 4988

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4982	. . 3 |- Rel `' R
2		relin2 4723	. . 3 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
3		ssrel 4692	. . 3 |- ( Rel ( R i^i `' R ) -> ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) )
5		elin 3305	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
6		df-br 3983	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
7		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4787	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
10		df-br 3983	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
11	9, 10	bitr3i 185	. . . . . 6 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
12	6, 11	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
13	5, 12	bitr4i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
14		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
15	8	ideq 4756	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
16	14, 15	bitr3i 185	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
17	13, 16	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
18	17	2albii 1459	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
19	4, 18	bitri 183	1 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   e. wcel 2136   i^i cin 3115   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   _I cid 4266   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612

This theorem is referenced by: (None)