Theorem intasym 5149

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5142	. . 3 |- Rel `' R
2		relin2 4873	. . 3 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
3		ssrel 4840	. . 3 |- ( Rel ( R i^i `' R ) -> ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) )
5		elin 3404	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
6		df-br 4112	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
7		vex 2818	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2818	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4940	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
10		df-br 4112	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
11	9, 10	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
12	6, 11	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
13	5, 12	bitr4i 187	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
14		df-br 4112	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
15	8	ideq 4909	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
16	14, 15	bitr3i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
17	13, 16	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
18	17	2albii 1520	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
19	4, 18	bitri 184	1 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   e. wcel 2205   i^i cin 3212   C_ wss 3213   <.cop 3694   class class class wbr 4111   _I cid 4411   `'ccnv 4750   Rel wrel 4756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759

This theorem is referenced by: (None)