ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intasym Unicode version

Theorem intasym 4803
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intasym  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem intasym
StepHypRef Expression
1 relcnv 4797 . . 3  |-  Rel  `' R
2 relin2 4544 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3 ssrel 4514 . . 3  |-  ( Rel  ( R  i^i  `' R )  ->  (
( R  i^i  `' R )  C_  _I  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) ) )
41, 2, 3mp2b 8 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) )
5 elin 3181 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
6 df-br 3838 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
7 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 4607 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
10 df-br 3838 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
119, 10bitr3i 184 . . . . . 6  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
126, 11anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
135, 12bitr4i 185 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
14 df-br 3838 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
158ideq 4576 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1614, 15bitr3i 184 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
1713, 16imbi12i 237 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
18172albii 1405 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
194, 18bitri 182 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    e. wcel 1438    i^i cin 2996    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837    _I cid 4106   `'ccnv 4427   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator