Theorem codir 5019

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	|- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4658	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		df-br 4006	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) )
3		vex 2742	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2742	. . . . . 6 |- y e. _V
5		brcodir 5018	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
7	2, 6	bitr3i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' R o. R ) <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
8	1, 7	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
9	8	2albii 1471	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
10		relxp 4737	. . 3 |- Rel ( A X. B )
11		ssrel 4716	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) )
13		r2al 2496	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   o. ccom 4632   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637

This theorem is referenced by: (None)