Theorem codir 5116

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	|- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4748	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		df-br 4083	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) )
3		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2802	. . . . . 6 |- y e. _V
5		brcodir 5115	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
7	2, 6	bitr3i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' R o. R ) <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
8	1, 7	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
9	8	2albii 1517	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
10		relxp 4827	. . 3 |- Rel ( A X. B )
11		ssrel 4806	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) )
13		r2al 2549	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   `'ccnv 4717   o. ccom 4722   Rel wrel 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727

This theorem is referenced by: (None)