Theorem codir 5132

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	|- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4761	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		df-br 4094	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) )
3		vex 2806	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2806	. . . . . 6 |- y e. _V
5		brcodir 5131	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
7	2, 6	bitr3i 186	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' R o. R ) <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
8	1, 7	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
9	8	2albii 1520	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
10		relxp 4841	. . 3 |- Rel ( A X. B )
11		ssrel 4820	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) )
13		r2al 2552	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   <.cop 3676   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   o. ccom 4735   Rel wrel 4736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740

This theorem is referenced by: (None)