Theorem codir 4927

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4569	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		df-br 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅))
3		vex 2689	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2689	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		brcodir 4926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
6	3, 4, 5	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
7	2, 6	bitr3i 185	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8	1, 7	imbi12i 238	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
9	8	2albii 1447	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
10		relxp 4648	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
11		ssrel 4627	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅))))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)))
13		r2al 2454	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
14	9, 12, 13	3bitr4i 211	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ^◡ccnv 4538   ∘ ccom 4543  Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548

This theorem is referenced by: (None)