Theorem codir 5042

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4681	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		df-br 4026	. . . . 5 ⊢ (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅))
3		vex 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		brcodir 5041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝑥(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
7	2, 6	bitr3i 186	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8	1, 7	imbi12i 239	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
9	8	2albii 1482	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
10		relxp 4760	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
11		ssrel 4739	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅))))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡𝑅 ∘ 𝑅)))
13		r2al 2509	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧)))
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (◡𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  Vcvv 2756   ⊆ wss 3148  ⟨cop 3617   class class class wbr 4025   × cxp 4649  ^◡ccnv 4650   ∘ ccom 4655  Rel wrel 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2758  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 4026  df-opab 4087  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660

This theorem is referenced by: (None)