Theorem distopon 14755

Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 14753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		unipw 4302	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2233	. . 3 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴)
5		istopon 14681	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴))
6	1, 4, 5	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3649  ∪ cuni 3887  ‘cfv 5317  Topctop 14665  TopOnctopon 14678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-top 14666  df-topon 14679

This theorem is referenced by:  sn0topon  14756  cndis  14909  txdis1cn  14946