Theorem distopon 12245

Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		unipw 4134	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2141	. . 3 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴)
5		istopon 12169	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴))
6	1, 4, 5	sylanbrc 413	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  𝒫 cpw 3505  ∪ cuni 3731  ‘cfv 5118  Topctop 12153  TopOnctopon 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-top 12154  df-topon 12167

This theorem is referenced by:  sn0topon  12246  cndis  12399  txdis1cn  12436