Theorem djurclALT 15448

Description: Shortening of djurcl 7118 using djucllem 15446. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djurclALT	|- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurclALT

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6482	. . . . 5 |- 1o e. _V
2		df-inr 7114	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
3	1, 2	djucllem 15446	. . . 4 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( { 1o } X. B ) )
4	3	olcd 735	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( (inr |` B ) ` C ) e. ( { (/) } X. A ) \/ ( (inr |` B ) ` C ) e. ( { 1o } X. B ) ) )
5		elun 3304	. . 3 |- ( ( (inr |` B ) ` C ) e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) <-> ( ( (inr |` B ) ` C ) e. ( { (/) } X. A ) \/ ( (inr |` B ) ` C ) e. ( { 1o } X. B ) ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
7		df-dju 7104	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
8	6, 7	eleqtrrdi 2290	1 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   e. wcel 2167   u. cun 3155   (/)c0 3450   {csn 3622   X. cxp 4661   |` cres 4665   ` cfv 5258   1oc1o 6467   ⊔ cdju 7103  inrcinr 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-1o 6474  df-dju 7104  df-inr 7114

This theorem is referenced by: (None)