Theorem djurclALT 14694

Description: Shortening of djurcl 7054 using djucllem 14692. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djurclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djurclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6428	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2		df-inr 7050	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 14692	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵))
4	3	olcd 734	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3278	. . 3 ⊢ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7040	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2271	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129  ∅c0 3424  {csn 3594   × cxp 4626   ↾ cres 4630  ‘cfv 5218  1_oc1o 6413   ⊔ cdju 7039  inrcinr 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-1o 6420  df-dju 7040  df-inr 7050

This theorem is referenced by: (None)