Theorem djurclALT 14907

Description: Shortening of djurcl 7065 using djucllem 14905. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djurclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djurclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6439	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2		df-inr 7061	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 14905	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵))
4	3	olcd 735	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3288	. . 3 ⊢ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7051	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2281	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   ∈ wcel 2158   ∪ cun 3139  ∅c0 3434  {csn 3604   × cxp 4636   ↾ cres 4640  ‘cfv 5228  1_oc1o 6424   ⊔ cdju 7050  inrcinr 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-1o 6431  df-dju 7051  df-inr 7061

This theorem is referenced by: (None)