Theorem djurclALT 15294

Description: Shortening of djurcl 7111 using djucllem 15292. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djurclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djurclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6477	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2		df-inr 7107	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 15292	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵))
4	3	olcd 735	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3300	. . 3 ⊢ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7097	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2287	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151  ∅c0 3446  {csn 3618   × cxp 4657   ↾ cres 4661  ‘cfv 5254  1_oc1o 6462   ⊔ cdju 7096  inrcinr 7105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-1o 6469  df-dju 7097  df-inr 7107

This theorem is referenced by: (None)