Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djurclALT GIF version

Theorem djurclALT 12936
Description: Shortening of djurcl 6905 using djucllem 12934. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
djurclALT (𝐶𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem djurclALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6289 . . . . 5 1o ∈ V
2 df-inr 6901 . . . . 5 inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
31, 2djucllem 12934 . . . 4 (𝐶𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵))
43olcd 708 . . 3 (𝐶𝐵 → (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5 elun 3187 . . 3 (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
64, 5sylibr 133 . 2 (𝐶𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7 df-dju 6891 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
86, 7eleqtrrdi 2211 1 (𝐶𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 682  wcel 1465  cun 3039  c0 3333  {csn 3497   × cxp 4507  cres 4511  cfv 5093  1oc1o 6274  cdju 6890  inrcinr 6899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-1o 6281  df-dju 6891  df-inr 6901
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator