Theorem djurclALT 13837

Description: Shortening of djurcl 7029 using djucllem 13835. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djurclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djurclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6403	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2		df-inr 7025	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 13835	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵))
4	3	olcd 729	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3268	. . 3 ⊢ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7015	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2264	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {csn 3583   × cxp 4609   ↾ cres 4613  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388   ⊔ cdju 7014  inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inr 7025

This theorem is referenced by: (None)