Theorem djucllem 15740

Description: Lemma for djulcl 7153 and djurcl 7154. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	|- X e. _V
djucllem.2	|- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )

Assertion

Ref	Expression
djucllem	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5600	. . 3 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
2		elex 2783	. . . 4 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		djucllem.1	. . . . . 6 |- X e. _V
4	3	snid 3664	. . . . 5 |- X e. { X }
5		opelxpi 4707	. . . . 5 |- ( ( X e. { X } /\ A e. B ) -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. B -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
7		opeq2 3820	. . . . 5 |- ( x = A -> <. X , x >. = <. X , A >. )
8		djucllem.2	. . . . 5 |- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5655	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ <. X , A >. e. ( { X } X. B ) ) -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. B -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
11	1, 10	eqtrd 2238	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = <. X , A >. )
12	11, 6	eqeltrd 2282	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   <.cop 3636   |-> cmpt 4105   X. cxp 4673   |` cres 4677   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  djulclALT  15741  djurclALT  15742