Theorem djucllem 16589

Description: Lemma for djulcl 7344 and djurcl 7345. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	|- X e. _V
djucllem.2	|- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )

Assertion

Ref	Expression
djucllem	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5696	. . 3 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
2		elex 2827	. . . 4 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		djucllem.1	. . . . . 6 |- X e. _V
4	3	snid 3722	. . . . 5 |- X e. { X }
5		opelxpi 4783	. . . . 5 |- ( ( X e. { X } /\ A e. B ) -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. B -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
7		opeq2 3886	. . . . 5 |- ( x = A -> <. X , x >. = <. X , A >. )
8		djucllem.2	. . . . 5 |- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5755	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ <. X , A >. e. ( { X } X. B ) ) -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. B -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
11	1, 10	eqtrd 2267	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = <. X , A >. )
12	11, 6	eqeltrd 2311	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691   <.cop 3694   |-> cmpt 4173   X. cxp 4749   |` cres 4753   ` cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  djulclALT  16590  djurclALT  16591