Theorem djucllem 15936

Description: Lemma for djulcl 7179 and djurcl 7180. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	|- X e. _V
djucllem.2	|- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )

Assertion

Ref	Expression
djucllem	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5623	. . 3 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
2		elex 2788	. . . 4 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		djucllem.1	. . . . . 6 |- X e. _V
4	3	snid 3674	. . . . 5 |- X e. { X }
5		opelxpi 4725	. . . . 5 |- ( ( X e. { X } /\ A e. B ) -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. B -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
7		opeq2 3834	. . . . 5 |- ( x = A -> <. X , x >. = <. X , A >. )
8		djucllem.2	. . . . 5 |- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5678	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ <. X , A >. e. ( { X } X. B ) ) -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. B -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
11	1, 10	eqtrd 2240	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = <. X , A >. )
12	11, 6	eqeltrd 2284	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   <.cop 3646   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   |` cres 4695   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  djulclALT  15937  djurclALT  15938