Theorem djucllem 15446

Description: Lemma for djulcl 7117 and djurcl 7118. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	|- X e. _V
djucllem.2	|- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )

Assertion

Ref	Expression
djucllem	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5582	. . 3 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
2		elex 2774	. . . 4 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		djucllem.1	. . . . . 6 |- X e. _V
4	3	snid 3653	. . . . 5 |- X e. { X }
5		opelxpi 4695	. . . . 5 |- ( ( X e. { X } /\ A e. B ) -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. B -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
7		opeq2 3809	. . . . 5 |- ( x = A -> <. X , x >. = <. X , A >. )
8		djucllem.2	. . . . 5 |- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5637	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ <. X , A >. e. ( { X } X. B ) ) -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. B -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
11	1, 10	eqtrd 2229	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = <. X , A >. )
12	11, 6	eqeltrd 2273	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3622   <.cop 3625   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661   |` cres 4665   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  djulclALT  15447  djurclALT  15448