Theorem djucllem 14692

Description: Lemma for djulcl 7053 and djurcl 7054. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	|- X e. _V
djucllem.2	|- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )

Assertion

Ref	Expression
djucllem	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5541	. . 3 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
2		elex 2750	. . . 4 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		djucllem.1	. . . . . 6 |- X e. _V
4	3	snid 3625	. . . . 5 |- X e. { X }
5		opelxpi 4660	. . . . 5 |- ( ( X e. { X } /\ A e. B ) -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. B -> <. X , A >. e. ( { X } X. B ) )
7		opeq2 3781	. . . . 5 |- ( x = A -> <. X , x >. = <. X , A >. )
8		djucllem.2	. . . . 5 |- F = ( x e. _V |-> <. X , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5595	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ <. X , A >. e. ( { X } X. B ) ) -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. B -> ( F ` A ) = <. X , A >. )
11	1, 10	eqtrd 2210	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = <. X , A >. )
12	11, 6	eqeltrd 2254	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) e. ( { X } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   |` cres 4630   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  djulclALT  14693  djurclALT  14694