Theorem djurcl 7050

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurcl	|- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. . 3 |- ( C e. B -> C e. _V )
2		1oex 6424	. . . . 5 |- 1o e. _V
3	2	snid 3623	. . . 4 |- 1o e. { 1o }
4		opelxpi 4658	. . . 4 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ C e. B ) -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
6		opeq2 3779	. . . 4 |- ( x = C -> <. 1o , x >. = <. 1o , C >. )
7		df-inr 7046	. . . 4 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5592	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) ) -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. B -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
10		elun2 3303	. . . 4 |- ( <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7036	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2271	. 2 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2254	1 |- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   u. cun 3127   (/)c0 3422   {csn 3592   <.cop 3595   X. cxp 4624   ` cfv 5216   1oc1o 6409   ⊔ cdju 7035  inrcinr 7044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-1o 6416  df-dju 7036  df-inr 7046

This theorem is referenced by:  updjudhcoinrg  7079  omp1eomlem  7092  difinfsnlem  7097  difinfsn  7098  0ct  7105  ctmlemr  7106  ctssdclemn0  7108  exmidfodomrlemr  7200  exmidfodomrlemrALT  7201