Theorem djurcl 7127

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurcl	|- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. . 3 |- ( C e. B -> C e. _V )
2		1oex 6491	. . . . 5 |- 1o e. _V
3	2	snid 3654	. . . 4 |- 1o e. { 1o }
4		opelxpi 4696	. . . 4 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ C e. B ) -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
6		opeq2 3810	. . . 4 |- ( x = C -> <. 1o , x >. = <. 1o , C >. )
7		df-inr 7123	. . . 4 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5640	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) ) -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. B -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
10		elun2 3332	. . . 4 |- ( <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7113	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2273	1 |- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623   <.cop 3626   X. cxp 4662   ` cfv 5259   1oc1o 6476   ⊔ cdju 7112  inrcinr 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-1o 6483  df-dju 7113  df-inr 7123

This theorem is referenced by:  updjudhcoinrg  7156  omp1eomlem  7169  difinfsnlem  7174  difinfsn  7175  0ct  7182  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  exmidfodomrlemr  7281  exmidfodomrlemrALT  7282