Theorem domnring 13803

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	|- ( R e. Domn -> R e. Ring )

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 13802	. 2 |- ( R e. Domn -> R e. NzRing )
2		nzrring 13715	. 2 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( R e. Domn -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   Ringcrg 13528  NzRingcnzr 13711  Domncdomn 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1re 7971  ax-addrcl 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8988  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-0g 12905  df-nzr 13712  df-domn 13791

This theorem is referenced by:  domneq0  13804  znidomb  14190