Theorem domnnzr 14408

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	|- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2232	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3		eqid 2232	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	1, 2, 3	isdomn 14407	. 2 |- ( R e. Domn <-> ( R e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> ( x = ( 0g ` R ) \/ y = ( 0g ` R ) ) ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   .rcmulr 13283   0gc0g 13461  NzRingcnzr 14316  Domncdomn 14393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-0g 13463  df-domn 14396

This theorem is referenced by:  domnring  14409  znidomb  14798