Theorem domnnzr 14581

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	|- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	1, 2, 3	isdomn 14580	. 2 |- ( R e. Domn <-> ( R e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> ( x = ( 0g ` R ) \/ y = ( 0g ` R ) ) ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13354   .rcmulr 13434   0gc0g 13612  NzRingcnzr 14488  Domncdomn 14566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-0g 13614  df-domn 14569

This theorem is used by:  domnring  14582  znidomb  14995