Theorem domnnzr 14219

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	|- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	1, 2, 3	isdomn 14218	. 2 |- ( R e. Domn <-> ( R e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> ( x = ( 0g ` R ) \/ y = ( 0g ` R ) ) ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( R e. Domn -> R e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   .rcmulr 13097   0gc0g 13275  NzRingcnzr 14128  Domncdomn 14205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-inn 9099  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-0g 13277  df-domn 14208

This theorem is referenced by:  domnring  14220  znidomb  14607