Theorem znidomb 15102

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidomb	|- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9683	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 e. ZZ )
3		nnz 9674	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ZZ )
5		hash2 11275	. . . . . . 7 |- (♯ ` 2o ) = 2
6		isidom 14694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn -> Y e. Domn )
8		domnnzr 14688	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
10		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
11	10	isnzr2 14600	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. NzRing -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. IDomn -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
15		2onn 6798	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
16		nnfi 7178	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2o e. Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
19	18, 10	znfi 15099	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( Base ` Y ) e. Fin )
21		fihashdom 11265	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
22	17, 20, 21	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
24	5, 23	eqbrtrrid 4167	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
25	18, 10	znhash 15100	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
27	24, 26	breqtrd 4157	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ N )
28		eluz2 9943	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		nncn 9321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
31	30	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. CC )
32		nncn 9321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
33	32	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. CC )
34		nnap0 9342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x # 0 )
35	34	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x # 0 )
36	31, 33, 35	divcanap1d 9129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / x ) x. x ) = N )
37	36	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) )
38	7	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Domn )
39		domnring 14689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. Domn -> Y e. Ring )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Ring )
41		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
42	41	zrhrhm 15067	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
44		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x || N )
45		nnz 9674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
46	45	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. ZZ )
47		nnne0 9341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
48	47	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x =/= 0 )
49	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. ZZ )
50		dvdsval2 12582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. ZZ )
53		zringbas 15040	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
54		zringmulr 15043	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
55		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
56	53, 54, 55	rhmmul 14580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( N / x ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
58		iddvds 12596	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N || N )
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N || N )
60		nnnn0 9581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
61	60	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. NN0 )
62		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
63	18, 41, 62	zndvds0 15094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
64	61, 49, 63	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) )
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
67	53, 10	rhmf 14579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
69	68, 52	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) )
70	68, 46	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) )
71	10, 55, 62	domneq0 14690	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Domn /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) )
74	18, 41, 62	zndvds0 15094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
75	61, 52, 74	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
76		nnre 9320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
77	76	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. RR )
78		nnre 9320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> x e. RR )
79	78	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. RR )
80		nngt0 9338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 < N )
81	80	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < N )
82		nngt0 9338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> 0 < x )
83	82	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < x )
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 9273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < ( N / x ) )
85		elnnz 9665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / x ) e. NN <-> ( ( N / x ) e. ZZ /\ 0 < ( N / x ) ) )
86	52, 84, 85	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. NN )
87		dvdsle 12636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / x ) e. NN ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
88	49, 86, 87	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
89		1red 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 1 e. RR )
90		0lt1 8460	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < 1 )
92		lediv2 9229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
94		nnle1eq1 9337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
95	94	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
96	31	div1d 9118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / 1 ) = N )
97	96	breq1d 4141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / 1 ) <_ ( N / x ) <-> N <_ ( N / x ) ) )
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N <_ ( N / x ) <-> x = 1 ) )
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> x = 1 ) )
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) -> x = 1 ) )
101	18, 41, 62	zndvds0 15094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
102	61, 46, 101	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
103		nnnn0 9581	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
104	103	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. NN0 )
105		dvdseq 12640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( x || N /\ N || x ) ) -> x = N )
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ x || N ) -> ( N || x -> x = N ) )
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || x -> x = N ) )
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) -> x = N ) )
109	100, 108	orim12d 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) )
111	110	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ x e. NN ) -> ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
112	111	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
113		isprm2 12920	. . . 4 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) ) )
114	29, 112, 113	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. Prime )
115	114	ex 115	. 2 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn -> N e. Prime ) )
116	18	znidom 15101	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
117	115, 116	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   class class class wbr 4131   omcom 4739   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   2oc2o 6685   ~<_ cdom 7025   Fincfn 7026   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937  ♯chash 11236   || cdvds 12579   Primecprime 12910   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   Ringcrg 14407   CRingccrg 14408   RingHom crh 14566  NzRingcnzr 14595  Domncdomn 14673  IDomncidom 14674  ℤ_ringczring 15034   ZRHomczrh 15055  ℤ/nℤczn 15057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-iimas 13683  df-qus 13684  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-nsg 14033  df-eqg 14034  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-mgp 14325  df-rng 14339  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-cring 14410  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-rhm 14568  df-nzr 14596  df-subrg 14636  df-domn 14676  df-idom 14677  df-lmod 14734  df-lssm 14799  df-lsp 14833  df-sra 14881  df-rgmod 14882  df-lidl 14915  df-rsp 14916  df-2idl 14946  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003  df-zring 15035  df-zrh 15058  df-zn 15060

This theorem is used by: (None)