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Theorem znidomb 14146
Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znidomb  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9345 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  e.  ZZ )
3 nnz 9336 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ZZ )
5 hash2 10883 . . . . . . 7  |-  ( `  2o )  =  2
6 isidom 13772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
76simprbi 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
8 domnnzr 13766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
10 eqid 2193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1110isnzr2 13680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
1211simprbi 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. NzRing  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
139, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. IDomn  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
1413adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
15 2onn 6574 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  om
16 nnfi 6928 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  Fin
18 zntos.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
1918, 10znfi 14143 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Y )  e. 
Fin )
2019adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
Base `  Y )  e.  Fin )
21 fihashdom 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  Fin )  ->  (
( `  2o )  <_ 
( `  ( Base `  Y
) )  <->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) ) )
2217, 20, 21sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  ( ( `  2o )  <_  ( `  ( Base `  Y ) )  <->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) ) )
2314, 22mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  ( `  2o )  <_  ( `  ( Base `  Y
) ) )
245, 23eqbrtrrid 4065 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  ( `  ( Base `  Y ) ) )
2518, 10znhash 14144 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  ( Base `  Y
) )  =  N )
2625adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  ( `  ( Base `  Y
) )  =  N )
2724, 26breqtrd 4055 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  N )
28 eluz2 9598 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
292, 4, 27, 28syl3anbrc 1183 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) )
30 nncn 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  CC )
32 nncn 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
3332ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  CC )
34 nnap0 9011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x #  0 )
3534ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x #  0
)
3631, 33, 35divcanap1d 8810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  x )  x.  x )  =  N )
3736fveq2d 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  N )
)
387ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e. Domn )
39 domnring 13767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e.  Ring )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e.  Ring )
41 eqid 2193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
4241zrhrhm 14111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
44 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  ||  N
)
45 nnz 9336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
4645ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
47 nnne0 9010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
4847ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  =/=  0 )
493ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
50 dvdsval2 11933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
5146, 48, 49, 50syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
5244, 51mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  ZZ )
53 zringbas 14084 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
54 zringmulr 14087 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
55 eqid 2193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
5653, 54, 55rhmmul 13660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
( N  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
5743, 52, 46, 56syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
58 iddvds 11947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
5949, 58syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  ||  N
)
60 nnnn0 9247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
62 eqid 2193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
6318, 41, 62zndvds0 14138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  N
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  N
) )
6461, 49, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  N )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  N
) )
6559, 64mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  N )  =  ( 0g `  Y ) )
6637, 57, 653eqtr3d 2234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
6753, 10rhmf 13659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y
) )
6843, 67syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
6968, 52ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7068, 46ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)
7110, 55, 62domneq0 13768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Domn  /\  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7238, 69, 70, 71syl3anc 1249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7366, 72mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7418, 41, 62zndvds0 14138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  x ) ) )
7561, 52, 74syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( N  /  x ) ) )
76 nnre 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
78 nnre 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
7978ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  RR )
80 nngt0 9007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
8180ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  N )
82 nngt0 9007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <  x )
8382ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  x )
8477, 79, 81, 83divgt0d 8954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  ( N  /  x ) )
85 elnnz 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  x )  e.  NN  <->  ( ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  x
) ) )
8652, 84, 85sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  NN )
87 dvdsle 11986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  x
)  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
8849, 86, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
89 1red 8034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  1  e.  RR )
90 0lt1 8146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  1 )
92 lediv2 8910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( x  <_  1  <->  ( N  /  1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
9379, 83, 89, 91, 77, 81, 92syl222anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  ( N  / 
1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
94 nnle1eq1 9006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  <_  1  <->  x  = 
1 ) )
9594ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  x  =  1
) )
9631div1d 8799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  1 )  =  N )
9796breq1d 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  1 )  <_ 
( N  /  x
)  <->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
9893, 95, 973bitr3rd 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  <_  ( N  /  x
)  <->  x  =  1
) )
9988, 98sylibd 149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  x  = 
1 ) )
10075, 99sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  x  = 
1 ) )
10118, 41, 62zndvds0 14138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
10261, 46, 101syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  x
) )
103 nnnn0 9247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
104103ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
105 dvdseq 11990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( x  ||  N  /\  N  ||  x ) )  ->  x  =  N )
106105expr 375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  ||  N )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
107104, 61, 44, 106syl21anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
108102, 107sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  ->  x  =  N ) )
109100, 108orim12d 787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
11073, 109mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) )
111110expr 375 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
112111ralrimiva 2567 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  A. x  e.  NN  (
x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
113 isprm2 12255 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  NN  ( x  ||  N  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) ) )
11429, 112, 113sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  Prime )
115114ex 115 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  ->  N  e. 
Prime ) )
11618znidom 14145 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
117115, 116impbid1 142 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2164    =/= wne 2364   A.wral 2472   class class class wbr 4029   omcom 4622   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   2oc2o 6463    ~<_ cdom 6793   Fincfn 6794   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873    x. cmul 7877    < clt 8054    <_ cle 8055   # cap 8600    / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592  ♯chash 10846    || cdvds 11930   Primecprime 12245   Basecbs 12618   .rcmulr 12696   0gc0g 12867   Ringcrg 13492   CRingccrg 13493   RingHom crh 13646  NzRingcnzr 13675  Domncdomn 13752  IDomncidom 13753  ℤringczring 14078   ZRHomczrh 14099  ℤ/nczn 14101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-rhm 13648  df-nzr 13676  df-subrg 13715  df-domn 13755  df-idom 13756  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104
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