Theorem znidomb 14665

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidomb	|- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9500	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 e. ZZ )
3		nnz 9491	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ZZ )
5		hash2 11069	. . . . . . 7 |- (♯ ` 2o ) = 2
6		isidom 14283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn -> Y e. Domn )
8		domnnzr 14277	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
10		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
11	10	isnzr2 14191	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. NzRing -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. IDomn -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
15		2onn 6684	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
16		nnfi 7054	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2o e. Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
19	18, 10	znfi 14662	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( Base ` Y ) e. Fin )
21		fihashdom 11059	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
24	5, 23	eqbrtrrid 4122	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
25	18, 10	znhash 14663	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
27	24, 26	breqtrd 4112	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ N )
28		eluz2 9754	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1205	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		nncn 9144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. CC )
32		nncn 9144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. CC )
34		nnap0 9165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x # 0 )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x # 0 )
36	31, 33, 35	divcanap1d 8964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / x ) x. x ) = N )
37	36	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) )
38	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Domn )
39		domnring 14278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. Domn -> Y e. Ring )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Ring )
41		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
42	41	zrhrhm 14630	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x || N )
45		nnz 9491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. ZZ )
47		nnne0 9164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
48	47	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x =/= 0 )
49	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. ZZ )
50		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. ZZ )
53		zringbas 14603	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
54		zringmulr 14606	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
55		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
56	53, 54, 55	rhmmul 14171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( N / x ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
58		iddvds 12358	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N || N )
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N || N )
60		nnnn0 9402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. NN0 )
62		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
63	18, 41, 62	zndvds0 14657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
64	61, 49, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) )
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
67	53, 10	rhmf 14170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
69	68, 52	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) )
70	68, 46	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) )
71	10, 55, 62	domneq0 14279	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Domn /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) )
74	18, 41, 62	zndvds0 14657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
75	61, 52, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
76		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. RR )
78		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> x e. RR )
79	78	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. RR )
80		nngt0 9161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 < N )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < N )
82		nngt0 9161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> 0 < x )
83	82	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < x )
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 9108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < ( N / x ) )
85		elnnz 9482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / x ) e. NN <-> ( ( N / x ) e. ZZ /\ 0 < ( N / x ) ) )
86	52, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. NN )
87		dvdsle 12398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / x ) e. NN ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
88	49, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
89		1red 8187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 1 e. RR )
90		0lt1 8299	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < 1 )
92		lediv2 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
94		nnle1eq1 9160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
95	94	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
96	31	div1d 8953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / 1 ) = N )
97	96	breq1d 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / 1 ) <_ ( N / x ) <-> N <_ ( N / x ) ) )
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N <_ ( N / x ) <-> x = 1 ) )
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> x = 1 ) )
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) -> x = 1 ) )
101	18, 41, 62	zndvds0 14657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
102	61, 46, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
103		nnnn0 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
104	103	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. NN0 )
105		dvdseq 12402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( x || N /\ N || x ) ) -> x = N )
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ x || N ) -> ( N || x -> x = N ) )
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || x -> x = N ) )
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) -> x = N ) )
109	100, 108	orim12d 791	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) )
111	110	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ x e. NN ) -> ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
112	111	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
113		isprm2 12682	. . . 4 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) ) )
114	29, 112, 113	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. Prime )
115	114	ex 115	. 2 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn -> N e. Prime ) )
116	18	znidom 14664	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
117	115, 116	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   class class class wbr 4086   omcom 4686   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   2oc2o 6571   ~<_ cdom 6903   Fincfn 6904   CCcc 8023   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   x. cmul 8030   < clt 8207   <_ cle 8208   # cap 8754   / cdiv 8845   NNcn 9136   2c2 9187   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748  ♯chash 11030   || cdvds 12341   Primecprime 12672   Basecbs 13075   .rcmulr 13154   0gc0g 13332   Ringcrg 14002   CRingccrg 14003   RingHom crh 14157  NzRingcnzr 14186  Domncdomn 14263  IDomncidom 14264  ℤ_ringczring 14597   ZRHomczrh 14618  ℤ/nℤczn 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-tpos 6406  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-iimas 13378  df-qus 13379  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mhm 13535  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-sbg 13581  df-mulg 13700  df-subg 13750  df-nsg 13751  df-eqg 13752  df-ghm 13821  df-cmn 13866  df-abl 13867  df-mgp 13927  df-rng 13939  df-ur 13966  df-srg 13970  df-ring 14004  df-cring 14005  df-oppr 14074  df-dvdsr 14095  df-rhm 14159  df-nzr 14187  df-subrg 14226  df-domn 14266  df-idom 14267  df-lmod 14296  df-lssm 14360  df-lsp 14394  df-sra 14442  df-rgmod 14443  df-lidl 14476  df-rsp 14477  df-2idl 14507  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564  df-zring 14598  df-zrh 14621  df-zn 14623

This theorem is referenced by: (None)