Theorem znidomb 14798

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidomb	|- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9604	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 e. ZZ )
3		nnz 9595	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ZZ )
5		hash2 11175	. . . . . . 7 |- (♯ ` 2o ) = 2
6		isidom 14414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn -> Y e. Domn )
8		domnnzr 14408	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
10		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
11	10	isnzr2 14321	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. NzRing -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. IDomn -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
15		2onn 6753	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
16		nnfi 7126	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2o e. Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
19	18, 10	znfi 14795	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( Base ` Y ) e. Fin )
21		fihashdom 11165	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
24	5, 23	eqbrtrrid 4144	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
25	18, 10	znhash 14796	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
27	24, 26	breqtrd 4134	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ N )
28		eluz2 9858	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		nncn 9244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. CC )
32		nncn 9244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. CC )
34		nnap0 9265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x # 0 )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x # 0 )
36	31, 33, 35	divcanap1d 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / x ) x. x ) = N )
37	36	fveq2d 5673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) )
38	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Domn )
39		domnring 14409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. Domn -> Y e. Ring )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Ring )
41		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
42	41	zrhrhm 14763	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
44		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x || N )
45		nnz 9595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. ZZ )
47		nnne0 9264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
48	47	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x =/= 0 )
49	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. ZZ )
50		dvdsval2 12472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. ZZ )
53		zringbas 14736	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
54		zringmulr 14739	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
55		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
56	53, 54, 55	rhmmul 14301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( N / x ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
58		iddvds 12486	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N || N )
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N || N )
60		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. NN0 )
62		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
63	18, 41, 62	zndvds0 14790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
64	61, 49, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) )
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
67	53, 10	rhmf 14300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
69	68, 52	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) )
70	68, 46	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) )
71	10, 55, 62	domneq0 14410	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Domn /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) )
74	18, 41, 62	zndvds0 14790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
75	61, 52, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
76		nnre 9243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. RR )
78		nnre 9243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> x e. RR )
79	78	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. RR )
80		nngt0 9261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 < N )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < N )
82		nngt0 9261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> 0 < x )
83	82	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < x )
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 9208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < ( N / x ) )
85		elnnz 9586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / x ) e. NN <-> ( ( N / x ) e. ZZ /\ 0 < ( N / x ) ) )
86	52, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. NN )
87		dvdsle 12526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / x ) e. NN ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
88	49, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
89		1red 8288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 1 e. RR )
90		0lt1 8399	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < 1 )
92		lediv2 9164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
94		nnle1eq1 9260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
95	94	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
96	31	div1d 9053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / 1 ) = N )
97	96	breq1d 4118	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / 1 ) <_ ( N / x ) <-> N <_ ( N / x ) ) )
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N <_ ( N / x ) <-> x = 1 ) )
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> x = 1 ) )
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) -> x = 1 ) )
101	18, 41, 62	zndvds0 14790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
102	61, 46, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
103		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
104	103	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. NN0 )
105		dvdseq 12530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( x || N /\ N || x ) ) -> x = N )
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ x || N ) -> ( N || x -> x = N ) )
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || x -> x = N ) )
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) -> x = N ) )
109	100, 108	orim12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) )
111	110	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ x e. NN ) -> ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
112	111	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
113		isprm2 12810	. . . 4 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) ) )
114	29, 112, 113	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. Prime )
115	114	ex 115	. 2 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn -> N e. Prime ) )
116	18	znidom 14797	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
117	115, 116	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   class class class wbr 4108   omcom 4711   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   2oc2o 6640   ~<_ cdom 6973   Fincfn 6974   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852  ♯chash 11136   || cdvds 12469   Primecprime 12800   Basecbs 13204   .rcmulr 13283   0gc0g 13461   Ringcrg 14132   CRingccrg 14133   RingHom crh 14287  NzRingcnzr 14316  Domncdomn 14393  IDomncidom 14394  ℤ_ringczring 14730   ZRHomczrh 14751  ℤ/nℤczn 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-starv 13297  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-unif 13305  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-iimas 13507  df-qus 13508  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-mhm 13664  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-mulg 13829  df-subg 13879  df-nsg 13880  df-eqg 13881  df-ghm 13950  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-rng 14069  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-cring 14135  df-oppr 14204  df-dvdsr 14225  df-rhm 14289  df-nzr 14317  df-subrg 14356  df-domn 14396  df-idom 14397  df-lmod 14429  df-lssm 14493  df-lsp 14527  df-sra 14575  df-rgmod 14576  df-lidl 14609  df-rsp 14610  df-2idl 14640  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-fg 14689  df-metu 14690  df-cnfld 14697  df-zring 14731  df-zrh 14754  df-zn 14756

This theorem is referenced by: (None)