Theorem znidomb 14671

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidomb	|- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9506	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 e. ZZ )
3		nnz 9497	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ZZ )
5		hash2 11075	. . . . . . 7 |- (♯ ` 2o ) = 2
6		isidom 14289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn -> Y e. Domn )
8		domnnzr 14283	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
10		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
11	10	isnzr2 14197	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. NzRing -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. IDomn -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
15		2onn 6688	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
16		nnfi 7058	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2o e. Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
19	18, 10	znfi 14668	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( Base ` Y ) e. Fin )
21		fihashdom 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
24	5, 23	eqbrtrrid 4124	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
25	18, 10	znhash 14669	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
27	24, 26	breqtrd 4114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ N )
28		eluz2 9760	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1207	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		nncn 9150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. CC )
32		nncn 9150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. CC )
34		nnap0 9171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x # 0 )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x # 0 )
36	31, 33, 35	divcanap1d 8970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / x ) x. x ) = N )
37	36	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) )
38	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Domn )
39		domnring 14284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. Domn -> Y e. Ring )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Ring )
41		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
42	41	zrhrhm 14636	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
44		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x || N )
45		nnz 9497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. ZZ )
47		nnne0 9170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
48	47	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x =/= 0 )
49	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. ZZ )
50		dvdsval2 12350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. ZZ )
53		zringbas 14609	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
54		zringmulr 14612	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
55		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
56	53, 54, 55	rhmmul 14177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( N / x ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
58		iddvds 12364	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N || N )
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N || N )
60		nnnn0 9408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. NN0 )
62		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
63	18, 41, 62	zndvds0 14663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
64	61, 49, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) )
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
67	53, 10	rhmf 14176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
69	68, 52	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) )
70	68, 46	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) )
71	10, 55, 62	domneq0 14285	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Domn /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) )
74	18, 41, 62	zndvds0 14663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
75	61, 52, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
76		nnre 9149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. RR )
78		nnre 9149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> x e. RR )
79	78	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. RR )
80		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 < N )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < N )
82		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> 0 < x )
83	82	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < x )
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 9114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < ( N / x ) )
85		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / x ) e. NN <-> ( ( N / x ) e. ZZ /\ 0 < ( N / x ) ) )
86	52, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. NN )
87		dvdsle 12404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / x ) e. NN ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
88	49, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
89		1red 8193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 1 e. RR )
90		0lt1 8305	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < 1 )
92		lediv2 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
94		nnle1eq1 9166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
95	94	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
96	31	div1d 8959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / 1 ) = N )
97	96	breq1d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / 1 ) <_ ( N / x ) <-> N <_ ( N / x ) ) )
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N <_ ( N / x ) <-> x = 1 ) )
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> x = 1 ) )
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) -> x = 1 ) )
101	18, 41, 62	zndvds0 14663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
102	61, 46, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
103		nnnn0 9408	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
104	103	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. NN0 )
105		dvdseq 12408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( x || N /\ N || x ) ) -> x = N )
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ x || N ) -> ( N || x -> x = N ) )
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || x -> x = N ) )
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) -> x = N ) )
109	100, 108	orim12d 793	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) )
111	110	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ x e. NN ) -> ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
112	111	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
113		isprm2 12688	. . . 4 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) ) )
114	29, 112, 113	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. Prime )
115	114	ex 115	. 2 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn -> N e. Prime ) )
116	18	znidom 14670	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
117	115, 116	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   class class class wbr 4088   omcom 4688   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   2oc2o 6575   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754  ♯chash 11036   || cdvds 12347   Primecprime 12678   Basecbs 13081   .rcmulr 13160   0gc0g 13338   Ringcrg 14008   CRingccrg 14009   RingHom crh 14163  NzRingcnzr 14192  Domncdomn 14269  IDomncidom 14270  ℤ_ringczring 14603   ZRHomczrh 14624  ℤ/nℤczn 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6410  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-prm 12679  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mulg 13706  df-subg 13756  df-nsg 13757  df-eqg 13758  df-ghm 13827  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-rng 13945  df-ur 13972  df-srg 13976  df-ring 14010  df-cring 14011  df-oppr 14080  df-dvdsr 14101  df-rhm 14165  df-nzr 14193  df-subrg 14232  df-domn 14272  df-idom 14273  df-lmod 14302  df-lssm 14366  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-lidl 14482  df-rsp 14483  df-2idl 14513  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604  df-zrh 14627  df-zn 14629

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