Theorem dvdszrcl 11487

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	|- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 11483	. . 3 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
2		opabssxp 4608	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } C_ ( ZZ X. ZZ )
3	1, 2	eqsstri 3124	. 2 |- || C_ ( ZZ X. ZZ )
4	3	brel 4586	1 |- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   class class class wbr 3924   {copab 3983   X. cxp 4532  (class class class)co 5767   x. cmul 7618   ZZcz 9047   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  dvdsabseq  11534  divconjdvds  11536  evenelz  11553  4dvdseven  11603  dfgcd2  11691  dvdsmulgcd  11702  isprm3  11788  dvdsnprmd  11795