Theorem dvdszrcl 11802

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	|- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 11798	. . 3 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
2		opabssxp 4702	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } C_ ( ZZ X. ZZ )
3	1, 2	eqsstri 3189	. 2 |- || C_ ( ZZ X. ZZ )
4	3	brel 4680	1 |- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   {copab 4065   X. cxp 4626  (class class class)co 5878   x. cmul 7819   ZZcz 9256   || cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11803  p1modz1  11804  dvdsmodexp  11805  dvdsaddre2b  11851  dvdsabseq  11856  divconjdvds  11858  evenelz  11875  4dvdseven  11925  dfgcd2  12018  dvdsmulgcd  12029  isprm3  12121  dvdsnprmd  12128  pockthg  12358