Theorem dvdszrcl 11938

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	|- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 11934	. . 3 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
2		opabssxp 4734	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } C_ ( ZZ X. ZZ )
3	1, 2	eqsstri 3212	. 2 |- || C_ ( ZZ X. ZZ )
4	3	brel 4712	1 |- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   {copab 4090   X. cxp 4658  (class class class)co 5919   x. cmul 7879   ZZcz 9320   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11939  p1modz1  11940  dvdsmodexp  11941  dvdsaddre2b  11987  dvdsabseq  11992  divconjdvds  11994  evenelz  12011  4dvdseven  12061  dfgcd2  12154  dvdsmulgcd  12165  isprm3  12259  dvdsnprmd  12266  pockthg  12498