Theorem dvdszrcl 12136

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	|- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 12132	. . 3 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
2		opabssxp 4750	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } C_ ( ZZ X. ZZ )
3	1, 2	eqsstri 3225	. 2 |- || C_ ( ZZ X. ZZ )
4	3	brel 4728	1 |- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4045   {copab 4105   X. cxp 4674  (class class class)co 5946   x. cmul 7932   ZZcz 9374   || cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-dvds 12132

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  12137  p1modz1  12138  dvdsmodexp  12139  dvdsaddre2b  12185  dvdsabseq  12191  divconjdvds  12193  evenelz  12211  4dvdseven  12261  dfgcd2  12368  dvdsmulgcd  12379  isprm3  12473  dvdsnprmd  12480  pockthg  12713