Theorem dvdszrcl 11834

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	|- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 11830	. . 3 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
2		opabssxp 4718	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } C_ ( ZZ X. ZZ )
3	1, 2	eqsstri 3202	. 2 |- || C_ ( ZZ X. ZZ )
4	3	brel 4696	1 |- ( X || Y -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   {copab 4078   X. cxp 4642  (class class class)co 5897   x. cmul 7847   ZZcz 9284   || cdvds 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-dvds 11830

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11835  p1modz1  11836  dvdsmodexp  11837  dvdsaddre2b  11883  dvdsabseq  11888  divconjdvds  11890  evenelz  11907  4dvdseven  11957  dfgcd2  12050  dvdsmulgcd  12061  isprm3  12153  dvdsnprmd  12160  pockthg  12392