Theorem dvdsabseq 11387

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	|- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 11340	. . 3 |- ( M || N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> N || M )
3		breq1 3896	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N || M <-> 0 || M ) )
4		0dvds 11355	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
5	4	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
6		zcn 8957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7	6	abs00ad 10723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) = 0 <-> M = 0 ) )
8	7	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
9	8	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
10	5, 9	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
11	3, 10	sylan9bb 455	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
12		fveq2 5373	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = ( abs ` 0 ) )
13		abs0 10716	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 0 ) = 0
14	12, 13	syl6eq 2161	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = 0 )
15	14	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` N ) = 0 )
16	15	eqeq2d 2124	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
17	11, 16	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
18	2, 17	syl5ib 153	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
19	18	expd 256	. . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
20	19	expcom 115	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
21		simprl 503	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
22		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
23	22	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
24		neqne 2288	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
25	24	adantr 272	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
26		dvdsleabs2 11386	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1197	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
28		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N || M /\ M || N ) -> M || N )
29		breq1 3896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
30		0dvds 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
31		eqcom 2115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` N ) = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) )
32		zcn 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
33	32	abs00ad 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> N = 0 ) )
34	31, 33	syl5rbbr 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
35	30, 34	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
36	35	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
37	29, 36	sylan9bb 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
38		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = ( abs ` 0 ) )
39	38, 13	syl6eq 2161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = 0 )
40	39	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` M ) = 0 )
41	40	eqeq1d 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
42	37, 41	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
43	28, 42	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
44	43	a1dd 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
45	44	expcomd 1398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
46	45	expcom 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
47	22	adantl 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
48		simprl 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
49		neqne 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = 0 -> M =/= 0 )
50	49	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
51		dvdsleabs2 11386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
53		eqcom 2115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` N ) = ( abs ` M ) )
54	32	abscld 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
55	6	abscld 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. RR )
56		letri3 7762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
58	53, 57	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
59	58	biimprd 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
60	59	expd 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
61	60	adantl 273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
62	52, 61	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
63	62	a1d 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
64	63	expcom 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
65		0z 8963	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
66		zdceq 9024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
67	65, 66	mpan2 419	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
68		exmiddc 804	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
70	69	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
71	46, 64, 70	mpjaod 690	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
72	71	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
73	72	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
74	27, 73	mpdd 41	. . . . 5 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
75	74	expcom 115	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
76		zdceq 9024	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
77	65, 76	mpan2 419	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
78		exmiddc 804	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
80	79	adantl 273	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
81	20, 75, 80	mpjaod 690	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	. 2 |- ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
83	82	imp 123	1 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312   e. wcel 1461   =/= wne 2280   class class class wbr 3893   ` cfv 5079   RRcr 7540   0cc0 7541   <_ cle 7719   ZZcz 8952   abscabs 10655   || cdvds 11335

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336

This theorem is referenced by:  dvdseq  11388