Theorem dvdsabseq 12202

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	|- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 12147	. . 3 |- ( M || N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> N || M )
3		breq1 4050	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N || M <-> 0 || M ) )
4		0dvds 12166	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
6		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7	6	abs00ad 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) = 0 <-> M = 0 ) )
8	7	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
10	5, 9	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
11	3, 10	sylan9bb 462	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
12		fveq2 5583	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = ( abs ` 0 ) )
13		abs0 11413	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 0 ) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = 0 )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` N ) = 0 )
16	15	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
17	11, 16	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
18	2, 17	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
19	18	expd 258	. . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
20	19	expcom 116	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
21		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
24		neqne 2385	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
26		dvdsleabs2 12201	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N || M /\ M || N ) -> M || N )
29		breq1 4050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
30		0dvds 12166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
31		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
32	31	abs00ad 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> N = 0 ) )
33		eqcom 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` N ) = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) )
34	32, 33	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
35	30, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
37	29, 36	sylan9bb 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
38		fveq2 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = ( abs ` 0 ) )
39	38, 13	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = 0 )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` M ) = 0 )
41	40	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
42	37, 41	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
43	28, 42	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
44	43	a1dd 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
45	44	expcomd 1462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
46	45	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
47	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
48		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
49		neqne 2385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = 0 -> M =/= 0 )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
51		dvdsleabs2 12201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
53		eqcom 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` N ) = ( abs ` M ) )
54	31	abscld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
55	6	abscld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. RR )
56		letri3 8160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
58	53, 57	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
59	58	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
60	59	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
62	52, 61	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
63	62	a1d 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
64	63	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
65		0z 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
66		zdceq 9455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
67	65, 66	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
68		exmiddc 838	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
71	46, 64, 70	mpjaod 720	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
72	71	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
74	27, 73	mpdd 41	. . . . 5 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
76		zdceq 9455	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
77	65, 76	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
78		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
80	79	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
81	20, 75, 80	mpjaod 720	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	. 2 |- ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
83	82	imp 124	1 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4047   ` cfv 5276   RRcr 7931   0cc0 7932   <_ cle 8115   ZZcz 9379   abscabs 11352   || cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  dvdseq  12203