Theorem dvdsabseq 11843

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	|- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 11790	. . 3 |- ( M || N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> N || M )
3		breq1 4004	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N || M <-> 0 || M ) )
4		0dvds 11809	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
6		zcn 9252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7	6	abs00ad 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) = 0 <-> M = 0 ) )
8	7	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
10	5, 9	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
11	3, 10	sylan9bb 462	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
12		fveq2 5512	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = ( abs ` 0 ) )
13		abs0 11058	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 0 ) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = 0 )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` N ) = 0 )
16	15	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
17	11, 16	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
18	2, 17	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
19	18	expd 258	. . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
20	19	expcom 116	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
21		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
24		neqne 2355	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
26		dvdsleabs2 11842	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N || M /\ M || N ) -> M || N )
29		breq1 4004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
30		0dvds 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
31		zcn 9252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
32	31	abs00ad 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> N = 0 ) )
33		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` N ) = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) )
34	32, 33	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
35	30, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
37	29, 36	sylan9bb 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
38		fveq2 5512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = ( abs ` 0 ) )
39	38, 13	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = 0 )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` M ) = 0 )
41	40	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
42	37, 41	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
43	28, 42	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
44	43	a1dd 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
45	44	expcomd 1441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
46	45	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
47	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
48		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
49		neqne 2355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = 0 -> M =/= 0 )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
51		dvdsleabs2 11842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
53		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` N ) = ( abs ` M ) )
54	31	abscld 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
55	6	abscld 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. RR )
56		letri3 8032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
58	53, 57	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
59	58	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
60	59	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
62	52, 61	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
63	62	a1d 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
64	63	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
65		0z 9258	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
66		zdceq 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
67	65, 66	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
68		exmiddc 836	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
71	46, 64, 70	mpjaod 718	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
72	71	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
74	27, 73	mpdd 41	. . . . 5 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
76		zdceq 9322	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
77	65, 76	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
78		exmiddc 836	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
80	79	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
81	20, 75, 80	mpjaod 718	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	. 2 |- ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
83	82	imp 124	1 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4001   ` cfv 5213   RRcr 7805   0cc0 7806   <_ cle 7987   ZZcz 9247   abscabs 10997   || cdvds 11785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-dvds 11786

This theorem is referenced by:  dvdseq  11844