Theorem dvdsnprmd 12318

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	|- ( ph -> 1 < A )
dvdsnprmd.l	|- ( ph -> A < N )
dvdsnprmd.d	|- ( ph -> A || N )

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	|- ( ph -> -. N e. Prime )

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 |- ( ph -> A || N )
2		dvdszrcl 11974	. . . 4 |- ( A || N -> ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
3		divides 11971	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A || N <-> E. k e. ZZ ( k x. A ) = N ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A || N <-> E. k e. ZZ ( k x. A ) = N ) )
5		2z 9371	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> 2 e. ZZ )
7		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> k e. ZZ )
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < N )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> A < N )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> A < N )
11		breq2 4038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k x. A ) = N -> ( A < ( k x. A ) <-> A < N ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( A < ( k x. A ) <-> A < N ) )
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> A < ( k x. A ) )
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 < A )
15		zre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
16	15	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A /\ k e. ZZ ) -> A e. RR )
17		zre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
18	17	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
19		0lt1 8170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
20		0red 8044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> 0 e. RR )
21		1red 8058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> 1 e. RR )
22		lttr 8117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
24	19, 23	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> ( 1 < A -> 0 < A ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> 0 < A )
26	25	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A /\ k e. ZZ ) -> 0 < A )
27	16, 18, 26	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A /\ k e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) )
28	27	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( 1 < A -> ( k e. ZZ -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) ) ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < A -> ( k e. ZZ -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) ) ) )
30	1, 2, 29	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 < A -> ( k e. ZZ -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) ) ) )
31	14, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ZZ -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) )
34		ltmulgt12 8909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < k <-> A < ( k x. A ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( 1 < k <-> A < ( k x. A ) ) )
36	13, 35	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> 1 < k )
37		df-2 9066	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
38	37	breq1i 4041	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ k <-> ( 1 + 1 ) <_ k )
39		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> 1 e. ZZ )
40		zltp1le 9397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 1 < k <-> ( 1 + 1 ) <_ k ) )
41	39, 40	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( 1 < k <-> ( 1 + 1 ) <_ k ) )
42	41	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( ( 1 + 1 ) <_ k <-> 1 < k ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 + 1 ) <_ k <-> 1 < k ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( ( 1 + 1 ) <_ k <-> 1 < k ) )
45	38, 44	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( 2 <_ k <-> 1 < k ) )
46	36, 45	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> 2 <_ k )
47		eluz2 9624	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 2 <_ k ) )
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
49	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> 2 e. ZZ )
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> A e. ZZ )
51		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
52		zltp1le 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 1 < A <-> ( 1 + 1 ) <_ A ) )
53	51, 52	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> ( 1 < A <-> ( 1 + 1 ) <_ A ) )
54	53	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> ( 1 + 1 ) <_ A )
55	37	breq1i 4041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 <_ A <-> ( 1 + 1 ) <_ A )
56	54, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> 2 <_ A )
57	49, 50, 56	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 < A ) -> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( 1 < A -> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) ) )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < A -> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) ) )
60	1, 2, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 < A -> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) ) )
61	14, 60	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) )
62		eluz2 9624	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 2 <_ A ) )
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
66		nprm 12316	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( k x. A ) e. Prime )
67	48, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> -. ( k x. A ) e. Prime )
68		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( k x. A ) = N -> ( ( k x. A ) e. Prime <-> N e. Prime ) )
69	68	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( ( k x. A ) = N -> ( -. ( k x. A ) e. Prime <-> -. N e. Prime ) )
70	69	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> ( -. ( k x. A ) e. Prime <-> -. N e. Prime ) )
71	67, 70	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( k x. A ) = N ) -> -. N e. Prime )
72	71	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. A ) = N -> -. N e. Prime ) )
73	72	rexlimdva 2614	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. ZZ ( k x. A ) = N -> -. N e. Prime ) )
74	4, 73	sylbid 150	. 2 |- ( ph -> ( A || N -> -. N e. Prime ) )
75	1, 74	mpd 13	1 |- ( ph -> -. N e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   || cdvds 11969   Primecprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-prm 12301

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