Theorem isprm3 12132

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12131	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		dvdszrcl 11813	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
3	2	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( z || P -> z e. ZZ )
4		1zzd 9294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> 1 e. ZZ )
5		zdceq 9342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
6	3, 4, 5	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = 1 )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> P e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> P e. ZZ )
9		zdceq 9342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID z = P )
10	3, 8, 9	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = P )
11		dcor 936	. . . . . . . . 9 |- (DECID z = 1 -> (DECID z = P -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) ) )
12	6, 10, 11	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) )
13		imandc 890	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z = 1 \/ z = P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
15		eluz2nn 9580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16		nnz 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
17		dvdsle 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
19		nnge1 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
21	18, 20	jctild 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
22	15, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
23		nnz 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
24		zre 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
25		1re 7970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
26		leltap 8596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
27	25, 26	mp3an1 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
28	24, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
29		1z 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
30		zapne 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
33	28, 32	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
34	33	3adant2 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
35	34	3expia 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
36		zre 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
37		leltap 8596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
38	24, 37	syl3an1 1281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
39	36, 38	syl3an2 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
40		zapne 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
41	40	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
42	41	3adant3 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
43	39, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
44	43	3expia 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
45	35, 44	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
46	23, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
47		pm4.38 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
48		df-ne 2358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
49		nesym 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
50	48, 49	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
51		ioran 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
52	50, 51	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
53	47, 52	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
55	16, 15, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
56	22, 55	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
58		eluzelz 9551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
59		zltp1le 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
60	29, 59	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
61		df-2 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
62	61	breq1i 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
63	60, 62	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
65		zltlem1 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
66	64, 65	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
67		peano2zm 9305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
68		2z 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
69		elfz 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
70	68, 69	mp3an2 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
71	67, 70	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
72	66, 71	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
73	16, 58, 72	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
75	57, 74	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
76	75	anasss 399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
77	76	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
78	77	pm5.32d 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
79		fzssuz 10079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
80		2eluzge1 9590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
81		uzss 9562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
83	79, 82	sstri 3176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
84		nnuz 9577	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	83, 84	sseqtrri 3202	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
86	85	sseli 3163	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
87	86	pm4.71ri 392	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
88	78, 87	bitr4di 198	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
89	88	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
90	14, 89	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
91	90	pm5.74da 443	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
92		bi2.04 248	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
93		con2b 670	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
94	91, 92, 93	3bitr3g 222	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
95	94	ralbidv2 2489	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
96	95	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
97	1, 96	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   A.wral 2465   C_ wss 3141   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7824   1c1 7826   + caddc 7828   < clt 8006   <_ cle 8007   - cmin 8142   # cap 8552   NNcn 8933   2c2 8984   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022   || cdvds 11808   Primecprime 12121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-en 6755  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-prm 12122

This theorem is referenced by:  prmind2  12134  2prm  12141  3prm  12142  prmdc  12144  isprm5  12156