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Theorem isprm3 11645
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 11644 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
2 dvdszrcl 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
||  P  ->  (
z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )
)
32simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
||  P  ->  z  e.  ZZ )
4 1zzd 8985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
5 zdceq 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  z  =  1 )
63, 4, 5syl2an2 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  z  =  1
)
72simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
||  P  ->  P  e.  ZZ )
87adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
9 zdceq 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  -> DECID  z  =  P )
103, 8, 9syl2an2 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  z  =  P
)
11 dcor 902 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  z  =  1  ->  (DECID  z  =  P  -> DECID 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
126, 10, 11sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
13 imandc 857 . . . . . . . 8  |-  (DECID  ( z  =  1  \/  z  =  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  (
z  e.  NN  /\  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  (
z  e.  NN  /\  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
15 eluz2nn 9266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
16 nnz 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
17 dvdsle 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
1816, 17sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
19 nnge1 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  1  <_  z )
2019adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  1  <_  z )
2118, 20jctild 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
2215, 21sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
23 nnz 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  ZZ )
24 zre 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
25 1re 7689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
26 leltap 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z #  1
) )
2725, 26mp3an1 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z #  1 ) )
2824, 27sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z #  1 ) )
29 1z 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
30 zapne 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3129, 30mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3231adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3328, 32bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
34333adant2 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
35343expia 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  z  ->  ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) ) )
36 zre 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
37 leltap 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
3824, 37syl3an1 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
3936, 38syl3an2 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
40 zapne 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z ) )
4140ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z ) )
42413adant3 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z
) )
4339, 42bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) )
44433expia 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  P  ->  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) )
4535, 44anim12d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
4623, 45sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
47 pm4.38 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z ) ) )
48 df-ne 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  1  <->  -.  z  =  1 )
49 nesym 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  =/=  z  <->  -.  z  =  P )
5048, 49anbi12i 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <-> 
( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P ) )
51 ioran 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  ( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P )
)
5250, 51bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
5347, 52syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
5446, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5516, 15, 54syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5622, 55syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5756imp 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
58 eluzelz 9237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
59 zltp1le 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_  z ) )
6029, 59mpan 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z ) )
61 df-2 8689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261breq1i 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  <_  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z )
6360, 62syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  2  <_  z ) )
6463adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  2  <_  z ) )
65 zltlem1 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <  P  <->  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
6664, 65anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
67 peano2zm 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
68 2z 8986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
69 elfz 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7068, 69mp3an2 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7167, 70sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7266, 71bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7316, 58, 72syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7473adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7557, 74bitr3d 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7675anasss 394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( P  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  z  ||  P ) )  ->  ( -.  (
z  =  1  \/  z  =  P )  <-> 
z  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) ) ) )
7776expcom 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
z  e.  NN  ->  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
7877pm5.32d 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
79 fzssuz 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
80 2eluzge1 9273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
81 uzss 9248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
8280, 81ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
8379, 82sstri 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
84 nnuz 9263 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8583, 84sseqtr4i 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  NN
8685sseli 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  z  e.  NN )
8786pm4.71ri 387 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
8878, 87syl6bbr 197 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
8988notbid 639 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  ( -.  ( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
9014, 89bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
9190pm5.74da 437 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
92 bi2.04 247 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  -> 
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
93 con2b 641 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) )
9491, 92, 933bitr3g 221 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
9594ralbidv2 2413 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
9695pm5.32i 447 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
971, 96bitri 183 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2282   A.wral 2390    C_ wss 3037   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725    - cmin 7856   # cap 8261   NNcn 8630   2c2 8681   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683    || cdvds 11341   Primecprime 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342  df-prm 11635
This theorem is referenced by:  prmind2  11647  2prm  11654  3prm  11655
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