Theorem isprm3 11799

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 11798	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		dvdszrcl 11498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
3	2	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( z || P -> z e. ZZ )
4		1zzd 9081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> 1 e. ZZ )
5		zdceq 9126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
6	3, 4, 5	syl2an2 583	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = 1 )
7	2	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> P e. ZZ )
8	7	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> P e. ZZ )
9		zdceq 9126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID z = P )
10	3, 8, 9	syl2an2 583	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = P )
11		dcor 919	. . . . . . . . 9 |- (DECID z = 1 -> (DECID z = P -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) ) )
12	6, 10, 11	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) )
13		imandc 874	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z = 1 \/ z = P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
15		eluz2nn 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
17		dvdsle 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
18	16, 17	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
19		nnge1 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
21	18, 20	jctild 314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
22	15, 21	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
23		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
24		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
25		1re 7765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
26		leltap 8387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
27	25, 26	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
28	24, 27	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
29		1z 9080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
30		zapne 9125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
31	29, 30	mpan2 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
33	28, 32	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
34	33	3adant2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
35	34	3expia 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
36		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
37		leltap 8387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
38	24, 37	syl3an1 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
39	36, 38	syl3an2 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
40		zapne 9125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
41	40	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
42	41	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
43	39, 42	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
44	43	3expia 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
45	35, 44	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
46	23, 45	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
47		pm4.38 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
48		df-ne 2309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
49		nesym 2353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
50	48, 49	anbi12i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
51		ioran 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
52	50, 51	bitr4i 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
53	47, 52	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
55	16, 15, 54	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
56	22, 55	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
57	56	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
58		eluzelz 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
59		zltp1le 9108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
60	29, 59	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
61		df-2 8779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
62	61	breq1i 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
63	60, 62	syl6bbr 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
65		zltlem1 9111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
66	64, 65	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
67		peano2zm 9092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
68		2z 9082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
69		elfz 9796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
70	68, 69	mp3an2 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
71	67, 70	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
72	66, 71	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
73	16, 58, 72	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
75	57, 74	bitr3d 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
76	75	anasss 396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
77	76	expcom 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
78	77	pm5.32d 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
79		fzssuz 9845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
80		2eluzge1 9371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
81		uzss 9346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
83	79, 82	sstri 3106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
84		nnuz 9361	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	83, 84	sseqtrri 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
86	85	sseli 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
87	86	pm4.71ri 389	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
88	78, 87	syl6bbr 197	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
89	88	notbid 656	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
90	14, 89	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
91	90	pm5.74da 439	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
92		bi2.04 247	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
93		con2b 658	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
94	91, 92, 93	3bitr3g 221	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
95	94	ralbidv2 2439	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
96	95	pm5.32i 449	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
97	1, 96	bitri 183	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   || cdvds 11493   Primecprime 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-prm 11789

This theorem is referenced by:  prmind2  11801  2prm  11808  3prm  11809