Theorem isprm3 12256

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12255	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		dvdszrcl 11935	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
3	2	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( z || P -> z e. ZZ )
4		1zzd 9344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> 1 e. ZZ )
5		zdceq 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
6	3, 4, 5	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = 1 )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> P e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> P e. ZZ )
9		zdceq 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID z = P )
10	3, 8, 9	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = P )
11		dcor 937	. . . . . . . . 9 |- (DECID z = 1 -> (DECID z = P -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) ) )
12	6, 10, 11	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) )
13		imandc 890	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z = 1 \/ z = P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
15		eluz2nn 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
17		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
19		nnge1 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
21	18, 20	jctild 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
22	15, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
23		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
24		zre 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
25		1re 8018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
26		leltap 8644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
27	25, 26	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
28	24, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
29		1z 9343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
30		zapne 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
33	28, 32	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
34	33	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
35	34	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
36		zre 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
37		leltap 8644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
38	24, 37	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
39	36, 38	syl3an2 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
40		zapne 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
41	40	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
42	41	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
43	39, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
44	43	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
45	35, 44	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
46	23, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
47		pm4.38 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
48		df-ne 2365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
49		nesym 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
50	48, 49	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
51		ioran 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
52	50, 51	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
53	47, 52	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
55	16, 15, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
56	22, 55	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
58		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
59		zltp1le 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
60	29, 59	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
61		df-2 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
62	61	breq1i 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
63	60, 62	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
65		zltlem1 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
66	64, 65	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
67		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
68		2z 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
69		elfz 10080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
70	68, 69	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
71	67, 70	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
72	66, 71	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
73	16, 58, 72	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
75	57, 74	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
76	75	anasss 399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
77	76	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
78	77	pm5.32d 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
79		fzssuz 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
80		2eluzge1 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
81		uzss 9613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
83	79, 82	sstri 3188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
84		nnuz 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	83, 84	sseqtrri 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
86	85	sseli 3175	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
87	86	pm4.71ri 392	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
88	78, 87	bitr4di 198	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
89	88	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
90	14, 89	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
91	90	pm5.74da 443	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
92		bi2.04 248	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
93		con2b 670	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
94	91, 92, 93	3bitr3g 222	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
95	94	ralbidv2 2496	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
96	95	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
97	1, 96	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   # cap 8600   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   || cdvds 11930   Primecprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  prmind2  12258  2prm  12265  3prm  12266  prmdc  12268  isprm5  12280