Theorem isprm3 12120

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12119	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		dvdszrcl 11801	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
3	2	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( z || P -> z e. ZZ )
4		1zzd 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> 1 e. ZZ )
5		zdceq 9330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
6	3, 4, 5	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = 1 )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> P e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> P e. ZZ )
9		zdceq 9330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID z = P )
10	3, 8, 9	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = P )
11		dcor 935	. . . . . . . . 9 |- (DECID z = 1 -> (DECID z = P -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) ) )
12	6, 10, 11	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) )
13		imandc 889	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z = 1 \/ z = P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
15		eluz2nn 9568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
17		dvdsle 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
19		nnge1 8944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
21	18, 20	jctild 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
22	15, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
23		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
24		zre 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
25		1re 7958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
26		leltap 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
27	25, 26	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
28	24, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
29		1z 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
30		zapne 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
33	28, 32	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
34	33	3adant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
35	34	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
36		zre 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
37		leltap 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
38	24, 37	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
39	36, 38	syl3an2 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
40		zapne 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
41	40	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
42	41	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
43	39, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
44	43	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
45	35, 44	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
46	23, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
47		pm4.38 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
48		df-ne 2348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
49		nesym 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
50	48, 49	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
51		ioran 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
52	50, 51	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
53	47, 52	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
55	16, 15, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
56	22, 55	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
58		eluzelz 9539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
59		zltp1le 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
60	29, 59	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
61		df-2 8980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
62	61	breq1i 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
63	60, 62	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
65		zltlem1 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
66	64, 65	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
67		peano2zm 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
68		2z 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
69		elfz 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
70	68, 69	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
71	67, 70	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
72	66, 71	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
73	16, 58, 72	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
75	57, 74	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
76	75	anasss 399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
77	76	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
78	77	pm5.32d 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
79		fzssuz 10067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
80		2eluzge1 9578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
81		uzss 9550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
83	79, 82	sstri 3166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
84		nnuz 9565	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	83, 84	sseqtrri 3192	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
86	85	sseli 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
87	86	pm4.71ri 392	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
88	78, 87	bitr4di 198	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
89	88	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
90	14, 89	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
91	90	pm5.74da 443	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
92		bi2.04 248	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
93		con2b 669	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
94	91, 92, 93	3bitr3g 222	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
95	94	ralbidv2 2479	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
96	95	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
97	1, 96	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   # cap 8540   NNcn 8921   2c2 8972   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  prmind2  12122  2prm  12129  3prm  12130  prmdc  12132  isprm5  12144