Theorem dvdsmulgcd 11958

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> C e. ZZ )
2		dvdszrcl 11732	. . . . . 6 |- ( A || ( B x. C ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
4	3	simpld 111	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A e. ZZ )
5		bezout 11944	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
7	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
8		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
9		simpllr 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
10		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. ZZ )
12	8, 11	zmulcld 9319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ )
13		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
14	7, 13	zmulcld 9319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. ZZ )
15	8, 14	zmulcld 9319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ )
16		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. C ) )
17	8, 9	zmulcld 9319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
18		dvdsmultr1 11771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) )
21	8	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. CC )
22	9	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. CC )
23	10	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
24	21, 22, 23	mulassd 7922	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( B x. C ) x. x ) = ( B x. ( C x. x ) ) )
25	20, 24	breqtrd 4008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( C x. x ) ) )
26	8, 13	zmulcld 9319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
27		dvdsmul1 11753	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
28	7, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
29	7	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. CC )
30	13	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
31	21, 29, 30	mul12d 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) = ( A x. ( B x. y ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 4010	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( A x. y ) ) )
33		dvds2add 11765	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) ) )
34	33	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1236	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
36	11	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. CC )
37	14	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
38	21, 36, 37	adddid 7923	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) = ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
39	35, 38	breqtrrd 4010	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
40		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) = ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
41	40	breq2d 3994	. . . . 5 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) <-> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
43	42	rexlimdvva 2591	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
44	6, 43	mpd 13	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
45		dvdszrcl 11732	. . . . 5 |- ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
47	46	simpld 111	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A e. ZZ )
48	46	simprd 113	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ )
49		zmulcl 9244	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
50	49	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
51		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
52		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> C e. ZZ )
53		gcddvds 11896	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
54	52, 47, 53	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
55	54	simpld 111	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) || C )
56	52, 47	gcdcld 11901	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 9311	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. ZZ )
58		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> B e. ZZ )
59		dvdscmul 11758	. . . . 5 |- ( ( ( C gcd A ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
61	55, 60	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) )
62		dvdstr 11768	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. C ) ) )
63	62	imp 123	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1236	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
65	44, 64	impbida 586	1 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   + caddc 7756   x. cmul 7758   ZZcz 9191   || cdvds 11727   gcd cgcd 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by:  coprmdvds  12024