Theorem dvdsmulgcd 12827

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> C e. ZZ )
2		dvdszrcl 12584	. . . . . 6 |- ( A || ( B x. C ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
4	3	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A e. ZZ )
5		bezout 12813	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
7	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
8		simplll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
9		simpllr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
10		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. ZZ )
12	8, 11	zmulcld 9785	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ )
13		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
14	7, 13	zmulcld 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. ZZ )
15	8, 14	zmulcld 9785	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ )
16		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. C ) )
17	8, 9	zmulcld 9785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
18		dvdsmultr1 12623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) )
21	8	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. CC )
22	9	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. CC )
23	10	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
24	21, 22, 23	mulassd 8355	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( B x. C ) x. x ) = ( B x. ( C x. x ) ) )
25	20, 24	breqtrd 4157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( C x. x ) ) )
26	8, 13	zmulcld 9785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
27		dvdsmul1 12605	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
28	7, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
29	7	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. CC )
30	13	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
31	21, 29, 30	mul12d 8485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) = ( A x. ( B x. y ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 4159	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( A x. y ) ) )
33		dvds2add 12617	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) ) )
34	33	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1286	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
36	11	zcnd 9780	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. CC )
37	14	zcnd 9780	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
38	21, 36, 37	adddid 8356	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) = ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
39	35, 38	breqtrrd 4159	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
40		oveq2 6096	. . . . . 6 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) = ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
41	40	breq2d 4143	. . . . 5 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) <-> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
43	42	rexlimdvva 2676	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
44	6, 43	mpd 13	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
45		dvdszrcl 12584	. . . . 5 |- ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
47	46	simpld 112	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A e. ZZ )
48	46	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ )
49		zmulcl 9709	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
50	49	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
51		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
52		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> C e. ZZ )
53		gcddvds 12765	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
54	52, 47, 53	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
55	54	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) || C )
56	52, 47	gcdcld 12770	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 9777	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. ZZ )
58		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> B e. ZZ )
59		dvdscmul 12610	. . . . 5 |- ( ( ( C gcd A ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
61	55, 60	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) )
62		dvdstr 12620	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. C ) ) )
63	62	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1286	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
65	44, 64	impbida 604	1 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   + caddc 8188   x. cmul 8190   ZZcz 9655   || cdvds 12579   gcd cgcd 12755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756

This theorem is used by:  coprmdvds  12895