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Theorem dvdsmulgcd 11609
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 502 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
2 dvdszrcl 11394 . . . . . 6  |-  ( A 
||  ( B  x.  C )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
32adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
43simpld 111 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  e.  ZZ )
5 bezout 11595 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
61, 4, 5syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
74adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  ZZ )
8 simplll 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  ZZ )
9 simpllr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  ZZ )
10 simprl 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
119, 10zmulcld 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  ZZ )
128, 11zmulcld 9130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  e.  ZZ )
13 simprr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
147, 13zmulcld 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  ZZ )
158, 14zmulcld 9130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  e.  ZZ )
16 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
178, 9zmulcld 9130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
18 dvdsmultr1 11427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  ->  A  ||  ( ( B  x.  C )  x.  x ) ) )
197, 17, 10, 18syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  ||  ( B  x.  C
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) ) )
2016, 19mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) )
218zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  CC )
229zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  CC )
2310zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
2421, 22, 23mulassd 7753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( B  x.  C )  x.  x )  =  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
2520, 24breqtrd 3922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
268, 13zmulcld 9130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
27 dvdsmul1 11411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
287, 26, 27syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
297zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  CC )
3013zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
3121, 29, 30mul12d 7878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  =  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
3228, 31breqtrrd 3924 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) )
33 dvds2add 11423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A 
||  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y )
) )  ->  A  ||  ( ( B  x.  ( C  x.  x
) )  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) ) )
3433imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
357, 12, 15, 25, 32, 34syl32anc 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3611zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  CC )
3714zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
3821, 36, 37adddid 7754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3935, 38breqtrrd 3924 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) ) )
40 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  =  ( B  x.  (
( C  x.  x
)  +  ( A  x.  y ) ) ) )
4140breq2d 3909 . . . . 5  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  <->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) ) ) ) )
4239, 41syl5ibrcom 156 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
4342rexlimdvva 2532 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
446, 43mpd 13 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
45 dvdszrcl 11394 . . . . 5  |-  ( A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4645adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4746simpld 111 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
4846simprd 113 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ )
49 zmulcl 9058 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
5049adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
51 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
52 simplr 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
53 gcddvds 11548 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A ) 
||  A ) )
5452, 47, 53syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A )  ||  A ) )
5554simpld 111 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  ||  C )
5652, 47gcdcld 11553 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  NN0 )
5756nn0zd 9122 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  ZZ )
58 simpll 501 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
59 dvdscmul 11416 . . . . 5  |-  ( ( ( C  gcd  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  A
)  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) ) )
6057, 52, 58, 59syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) ) )
6155, 60mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) )
62 dvdstr 11426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C ) ) )
6362imp 123 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C )
) )  ->  A  ||  ( B  x.  C
) )
6447, 48, 50, 51, 61, 63syl32anc 1207 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
6544, 64impbida 568 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740    + caddc 7587    x. cmul 7589   ZZcz 9005    || cdvds 11389    gcd cgcd 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532
This theorem is referenced by:  coprmdvds  11669
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