Theorem dvdsmulgcd 12029

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> C e. ZZ )
2		dvdszrcl 11802	. . . . . 6 |- ( A || ( B x. C ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
4	3	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A e. ZZ )
5		bezout 12015	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
7	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
8		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
9		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
10		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. ZZ )
12	8, 11	zmulcld 9384	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ )
13		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
14	7, 13	zmulcld 9384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. ZZ )
15	8, 14	zmulcld 9384	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ )
16		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. C ) )
17	8, 9	zmulcld 9384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
18		dvdsmultr1 11841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) )
21	8	zcnd 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. CC )
22	9	zcnd 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. CC )
23	10	zcnd 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
24	21, 22, 23	mulassd 7984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( B x. C ) x. x ) = ( B x. ( C x. x ) ) )
25	20, 24	breqtrd 4031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( C x. x ) ) )
26	8, 13	zmulcld 9384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
27		dvdsmul1 11823	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
28	7, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
29	7	zcnd 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. CC )
30	13	zcnd 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
31	21, 29, 30	mul12d 8112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) = ( A x. ( B x. y ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 4033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( A x. y ) ) )
33		dvds2add 11835	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) ) )
34	33	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
36	11	zcnd 9379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. CC )
37	14	zcnd 9379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
38	21, 36, 37	adddid 7985	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) = ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
39	35, 38	breqtrrd 4033	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
40		oveq2 5886	. . . . . 6 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) = ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
41	40	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) <-> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
43	42	rexlimdvva 2602	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
44	6, 43	mpd 13	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
45		dvdszrcl 11802	. . . . 5 |- ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
47	46	simpld 112	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A e. ZZ )
48	46	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ )
49		zmulcl 9309	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
50	49	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
51		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
52		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> C e. ZZ )
53		gcddvds 11967	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
54	52, 47, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
55	54	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) || C )
56	52, 47	gcdcld 11972	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 9376	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. ZZ )
58		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> B e. ZZ )
59		dvdscmul 11828	. . . . 5 |- ( ( ( C gcd A ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
61	55, 60	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) )
62		dvdstr 11838	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. C ) ) )
63	62	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1246	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
65	44, 64	impbida 596	1 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   + caddc 7817   x. cmul 7819   ZZcz 9256   || cdvds 11797   gcd cgcd 11946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947

This theorem is referenced by:  coprmdvds  12095