Theorem dvdsval3 11687

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	|- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9186	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnne0 8861	. . . 4 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
3	1, 2	jca 304	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) )
4		dvdsval2 11686	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
5	4	3expa 1185	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
7		zq 9535	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. QQ )
9		nnq 9542	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
10	9	adantr 274	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> M e. QQ )
11		nngt0 8858	. . . 4 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	11	adantr 274	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> 0 < M )
13		modq0 10228	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
15	6, 14	bitr4d 190	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   0cc0 7732   < clt 7912   / cdiv 8545   NNcn 8833   ZZcz 9167   QQcq 9528   mod cmo 10221   || cdvds 11683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169  df-mod 10222  df-dvds 11684

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11689  dvdsdc  11694  moddvds  11695  summodnegmod  11718  mulmoddvds  11755  mod2eq0even  11769  odzdvds  12120  m1dvdsndvds  12123