Theorem dvdsval3 11727

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	|- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9206	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnne0 8881	. . . 4 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
3	1, 2	jca 304	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) )
4		dvdsval2 11726	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
5	4	3expa 1193	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
7		zq 9560	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. QQ )
9		nnq 9567	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
10	9	adantr 274	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> M e. QQ )
11		nngt0 8878	. . . 4 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	11	adantr 274	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> 0 < M )
13		modq0 10260	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
15	6, 14	bitr4d 190	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   < clt 7929   / cdiv 8564   NNcn 8853   ZZcz 9187   QQcq 9553   mod cmo 10253   || cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11729  dvdsdc  11734  moddvds  11735  summodnegmod  11758  mulmoddvds  11797  mod2eq0even  11811  odzdvds  12173  m1dvdsndvds  12176  fldivp1  12274  4sqlem10  12313  lgslem1  13501  lgsne0  13539  lgsprme0  13543