Theorem dvdsval3 12576

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	|- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9668	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnne0 9335	. . . 4 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) )
4		dvdsval2 12575	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
5	4	3expa 1234	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
7		zq 10036	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. QQ )
9		nnq 10043	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> M e. QQ )
11		nngt0 9332	. . . 4 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> 0 < M )
13		modq0 10780	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N mod M ) = 0 <-> ( N / M ) e. ZZ ) )
15	6, 14	bitr4d 191	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8180   < clt 8361   / cdiv 9005   NNcn 9307   ZZcz 9649   QQcq 10029   mod cmo 10773   || cdvds 12572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716  df-mod 10774  df-dvds 12573

This theorem is used by:  dvdsmod0  12578  dvdsdc  12583  moddvds  12584  summodnegmod  12607  mulmoddvds  12648  mod2eq0even  12663  odzdvds  13046  m1dvdsndvds  13049  fldivp1  13149  4sqlem10  13188  lgslem1  16241  lgsne0  16279  lgsprme0  16283  lgseisenlem1  16311  2lgs  16345