ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsval3 Unicode version

Theorem dvdsval3 11687
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  M )  =  0 ) )

Proof of Theorem dvdsval3
StepHypRef Expression
1 nnz 9186 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
2 nnne0 8861 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
31, 2jca 304 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )
4 dvdsval2 11686 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
543expa 1185 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( N  /  M
)  e.  ZZ ) )
63, 5sylan 281 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
7 zq 9535 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  QQ )
9 nnq 9542 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
109adantr 274 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  QQ )
11 nngt0 8858 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
1211adantr 274 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <  M )
13 modq0 10228 . . 3  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  (
( N  mod  M
)  =  0  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
148, 10, 12, 13syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  mod  M )  =  0  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
156, 14bitr4d 190 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  M )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   0cc0 7732    < clt 7912    / cdiv 8545   NNcn 8833   ZZcz 9167   QQcq 9528    mod cmo 10221    || cdvds 11683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169  df-mod 10222  df-dvds 11684
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11689  dvdsdc  11694  moddvds  11695  summodnegmod  11718  mulmoddvds  11755  mod2eq0even  11769  odzdvds  12120  m1dvdsndvds  12123
  Copyright terms: Public domain W3C validator