Theorem pockthg 12526

Description: The generalized Pocklington's theorem. If N - 1 = A x. B where B < A, then N is prime if and only if for every prime factor p of A, there is an x such that x ^ ( N - 1 ) = 1 ( mod N ) and gcd ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) - 1 , N ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthg.5	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pockthg	|- ( ph -> N e. Prime )

Distinct variable groups:   x, p, N   A, p, x   ph, p, x

Allowed substitution hints:   B( x, p)

Proof of Theorem pockthg

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
2		pockthg.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
3		pockthg.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 9039	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
5		nnuz 9637	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrdi 2289	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		eluzp1p1 9627	. . . . 5 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
9		df-2 9049	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
10	9	fveq2i 5561	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
11	8, 10	eleqtrrdi 2290	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12	1, 11	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
13		eluzelre 9611	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. RR )
16	2	nnred 9003	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	resqcld 10791	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
19		prmnn 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN )
21	20	nnred 9003	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. RR )
22	21	resqcld 10791	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. RR )
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B < A )
24	3	nnred 9003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25	2	nngt0d 9034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
26		ltmul2 8883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
28	23, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( A x. A ) )
29	2, 2	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. A ) e. NN )
30		nnltp1le 9386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. B ) e. NN /\ ( A x. A ) e. NN ) -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
31	4, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) )
33	2	nncnd 9004	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	sqvald 10762	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
35	32, 1, 34	3brtr4d 4065	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ ( A ^ 2 ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N <_ ( A ^ 2 ) )
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
39		prmnn 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
40	39	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. NN )
41	40	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. CC )
42	41	exp1d 10760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
43		nnge1 9013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p pCnt A ) e. NN -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
44	43	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. Prime )
46	2	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> A e. ZZ )
48		1nn0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
50		pcdvdsb 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) || A )
53	42, 52	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p || A )
54		simpl1 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ph )
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> A e. NN )
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B e. NN )
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B < A )
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
59		simpl2l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q e. Prime )
60		simpl2r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q || N )
61		simpl3l 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> p e. Prime )
62		simpl3r 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN )
63		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
64		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
65		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
67	66	rexlimdvaa 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
68	67	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
70	69	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
72		prmuz2 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
73		uz2m1nn 9679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( q - 1 ) e. NN )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. Prime -> ( q - 1 ) e. NN )
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. NN )
76		pccl 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. Prime /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
77	71, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
79		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
83	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
84	82, 83	pccld 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
85		elnn0 9251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p pCnt A ) e. NN0 <-> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
87	70, 81, 86	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
90	75	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. ZZ )
91		pc2dvds 12499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. ZZ ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
92	46, 90, 91	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A || ( q - 1 ) )
94		dvdsle 12009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
95	46, 75, 94	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A <_ ( q - 1 ) )
97	2	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. NN0 )
98	20	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN0 )
99		nn0ltlem1 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN0 /\ q e. NN0 ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
100	97, 98, 99	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
101	96, 100	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A < q )
102	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. RR )
103	97	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ A )
105	98	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ q )
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 10796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) ) )
107	101, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) )
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8151	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N < ( q ^ 2 ) )
109		dvdszrcl 11957	. . . . . . . . 9 |- ( q || N -> ( q e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
110	109	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( q || N -> N e. ZZ )
111	110	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. ZZ )
112	20	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. ZZ )
113		zsqcl 10702	. . . . . . . 8 |- ( q e. ZZ -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
115		zltnle 9372	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( q ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
116	111, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
117	108, 116	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> -. ( q ^ 2 ) <_ N )
118	117	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( q || N -> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
119	118	con2d 625	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
120	119	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
121		isprm5 12310	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) ) )
122	12, 120, 121	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   mod cmo 10414   ^cexp 10630   || cdvds 11952   gcd cgcd 12120   Primecprime 12275   pCnt cpc 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-xnn0 9313  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-odz 12378  df-phi 12379  df-pc 12454

This theorem is referenced by:  pockthi  12527