Theorem pockthg 12309

Description: The generalized Pocklington's theorem. If N - 1 = A x. B where B < A, then N is prime if and only if for every prime factor p of A, there is an x such that x ^ ( N - 1 ) = 1 ( mod N ) and gcd ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) - 1 , N ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthg.5	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pockthg	|- ( ph -> N e. Prime )

Distinct variable groups:   x, p, N   A, p, x   ph, p, x

Allowed substitution hints:   B( x, p)

Proof of Theorem pockthg

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
2		pockthg.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
3		pockthg.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 8927	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
5		nnuz 9522	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrdi 2263	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		eluzp1p1 9512	. . . . 5 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
9		df-2 8937	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
10	9	fveq2i 5499	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
11	8, 10	eleqtrrdi 2264	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12	1, 11	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
13		eluzelre 9497	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. RR )
16	2	nnred 8891	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	resqcld 10635	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )
18	17	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
19		prmnn 12064	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
20	19	ad2antrl 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN )
21	20	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. RR )
22	21	resqcld 10635	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. RR )
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B < A )
24	3	nnred 8891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25	2	nngt0d 8922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
26		ltmul2 8772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
28	23, 27	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( A x. A ) )
29	2, 2	nnmulcld 8927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. A ) e. NN )
30		nnltp1le 9272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. B ) e. NN /\ ( A x. A ) e. NN ) -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
31	4, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
32	28, 31	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) )
33	2	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	sqvald 10606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
35	32, 1, 34	3brtr4d 4021	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ ( A ^ 2 ) )
36	35	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N <_ ( A ^ 2 ) )
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
39		prmnn 12064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
40	39	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. NN )
41	40	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. CC )
42	41	exp1d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
43		nnge1 8901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p pCnt A ) e. NN -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
44	43	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
45		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. Prime )
46	2	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
47	46	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> A e. ZZ )
48		1nn0 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
50		pcdvdsb 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
52	44, 51	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) || A )
53	42, 52	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p || A )
54		simpl1 995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ph )
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> A e. NN )
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B e. NN )
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B < A )
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
59		simpl2l 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q e. Prime )
60		simpl2r 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q || N )
61		simpl3l 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> p e. Prime )
62		simpl3r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN )
63		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
64		simprrl 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
65		simprrr 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
67	66	rexlimdvaa 2588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
68	67	3expa 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
70	69	expr 373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
72		prmuz2 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
73		uz2m1nn 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( q - 1 ) e. NN )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. Prime -> ( q - 1 ) e. NN )
75	74	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. NN )
76		pccl 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. Prime /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
77	71, 75, 76	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
79		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
82		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
83	2	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
84	82, 83	pccld 12254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
85		elnn0 9137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p pCnt A ) e. NN0 <-> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
86	84, 85	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
87	70, 81, 86	mpjaod 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
90	75	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. ZZ )
91		pc2dvds 12283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. ZZ ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
92	46, 90, 91	syl2an2r 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A || ( q - 1 ) )
94		dvdsle 11804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
95	46, 75, 94	syl2an2r 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A <_ ( q - 1 ) )
97	2	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. NN0 )
98	20	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN0 )
99		nn0ltlem1 9276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN0 /\ q e. NN0 ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
100	97, 98, 99	syl2an2r 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
101	96, 100	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A < q )
102	16	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. RR )
103	97	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
104	103	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ A )
105	98	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ q )
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 10640	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) ) )
107	101, 106	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) )
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8044	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N < ( q ^ 2 ) )
109		dvdszrcl 11754	. . . . . . . . 9 |- ( q || N -> ( q e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
110	109	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( q || N -> N e. ZZ )
111	110	ad2antll 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. ZZ )
112	20	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. ZZ )
113		zsqcl 10546	. . . . . . . 8 |- ( q e. ZZ -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
115		zltnle 9258	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( q ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
116	111, 114, 115	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
117	108, 116	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> -. ( q ^ 2 ) <_ N )
118	117	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( q || N -> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
119	118	con2d 619	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
120	119	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
121		isprm5 12096	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) ) )
122	12, 120, 121	sylanbrc 415	1 |- ( ph -> N e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   mod cmo 10278   ^cexp 10475   || cdvds 11749   gcd cgcd 11897   Primecprime 12061   pCnt cpc 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-xnn0 9199  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-odz 12164  df-phi 12165  df-pc 12239

This theorem is referenced by:  pockthi  12310