Theorem pockthg 13136

Description: The generalized Pocklington's theorem. If N - 1 = A x. B where B < A, then N is prime if and only if for every prime factor p of A, there is an x such that x ^ ( N - 1 ) = 1 ( mod N ) and gcd ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) - 1 , N ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthg.5	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pockthg	|- ( ph -> N e. Prime )

Distinct variable groups:   x, p, N   A, p, x   ph, p, x

Allowed substitution hints:   B( x, p)

Proof of Theorem pockthg

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
2		pockthg.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
3		pockthg.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 9353	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
5		nnuz 9958	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrdi 2331	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		eluzp1p1 9948	. . . . 5 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
9		df-2 9363	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
10	9	fveq2i 5698	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
11	8, 10	eleqtrrdi 2332	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12	1, 11	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
13		eluzelre 9932	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. RR )
16	2	nnred 9317	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	resqcld 11137	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
19		prmnn 12888	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
20	19	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN )
21	20	nnred 9317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. RR )
22	21	resqcld 11137	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. RR )
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B < A )
24	3	nnred 9317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25	2	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
26		ltmul2 9186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
28	23, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( A x. A ) )
29	2, 2	nnmulcld 9353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. A ) e. NN )
30		nnltp1le 9705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. B ) e. NN /\ ( A x. A ) e. NN ) -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
31	4, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) )
33	2	nncnd 9318	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	sqvald 11108	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
35	32, 1, 34	3brtr4d 4162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ ( A ^ 2 ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N <_ ( A ^ 2 ) )
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
39		prmnn 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
40	39	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. NN )
41	40	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. CC )
42	41	exp1d 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
43		nnge1 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p pCnt A ) e. NN -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
44	43	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
45		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. Prime )
46	2	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> A e. ZZ )
48		1nn0 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
50		pcdvdsb 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) || A )
53	42, 52	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p || A )
54		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ph )
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> A e. NN )
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B e. NN )
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B < A )
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
59		simpl2l 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q e. Prime )
60		simpl2r 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q || N )
61		simpl3l 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> p e. Prime )
62		simpl3r 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN )
63		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
64		simprrl 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
65		simprrr 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 13135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
67	66	rexlimdvaa 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
68	67	3expa 1234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
70	69	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
72		prmuz2 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
73		uz2m1nn 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( q - 1 ) e. NN )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. Prime -> ( q - 1 ) e. NN )
75	74	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. NN )
76		pccl 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. Prime /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
77	71, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
79		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
83	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
84	82, 83	pccld 13079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
85		elnn0 9565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p pCnt A ) e. NN0 <-> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
87	70, 81, 86	mpjaod 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
90	75	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. ZZ )
91		pc2dvds 13109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. ZZ ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
92	46, 90, 91	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A || ( q - 1 ) )
94		dvdsle 12611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
95	46, 75, 94	syl2an2r 603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A <_ ( q - 1 ) )
97	2	nnnn0d 9620	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. NN0 )
98	20	nnnn0d 9620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN0 )
99		nn0ltlem1 9709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN0 /\ q e. NN0 ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
100	97, 98, 99	syl2an2r 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
101	96, 100	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A < q )
102	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. RR )
103	97	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ A )
105	98	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ q )
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 11142	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) ) )
107	101, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) )
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N < ( q ^ 2 ) )
109		dvdszrcl 12559	. . . . . . . . 9 |- ( q || N -> ( q e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
110	109	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( q || N -> N e. ZZ )
111	110	ad2antll 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. ZZ )
112	20	nnzd 9767	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. ZZ )
113		zsqcl 11047	. . . . . . . 8 |- ( q e. ZZ -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
115		zltnle 9690	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( q ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
116	111, 114, 115	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
117	108, 116	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> -. ( q ^ 2 ) <_ N )
118	117	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( q || N -> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
119	118	con2d 633	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
120	119	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
121		isprm5 12920	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) ) )
122	12, 120, 121	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> N e. Prime )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   mod cmo 10759   ^cexp 10975   || cdvds 12554   gcd cgcd 12730   Primecprime 12885   pCnt cpc 13063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-xnn0 9631  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886  df-odz 12988  df-phi 12989  df-pc 13064

This theorem is used by:  pockthi  13137