Theorem pockthg 12369

Description: The generalized Pocklington's theorem. If N - 1 = A x. B where B < A, then N is prime if and only if for every prime factor p of A, there is an x such that x ^ ( N - 1 ) = 1 ( mod N ) and gcd ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) - 1 , N ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthg.5	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pockthg	|- ( ph -> N e. Prime )

Distinct variable groups:   x, p, N   A, p, x   ph, p, x

Allowed substitution hints:   B( x, p)

Proof of Theorem pockthg

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
2		pockthg.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
3		pockthg.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 8982	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
5		nnuz 9577	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrdi 2280	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		eluzp1p1 9567	. . . . 5 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
9		df-2 8992	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
10	9	fveq2i 5530	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
11	8, 10	eleqtrrdi 2281	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12	1, 11	eqeltrd 2264	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
13		eluzelre 9552	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. RR )
16	2	nnred 8946	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	resqcld 10694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
19		prmnn 12124	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN )
21	20	nnred 8946	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. RR )
22	21	resqcld 10694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. RR )
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B < A )
24	3	nnred 8946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25	2	nngt0d 8977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
26		ltmul2 8827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
28	23, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( A x. A ) )
29	2, 2	nnmulcld 8982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. A ) e. NN )
30		nnltp1le 9327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. B ) e. NN /\ ( A x. A ) e. NN ) -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
31	4, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) )
33	2	nncnd 8947	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	sqvald 10665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
35	32, 1, 34	3brtr4d 4047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ ( A ^ 2 ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N <_ ( A ^ 2 ) )
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
39		prmnn 12124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
40	39	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. NN )
41	40	nncnd 8947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. CC )
42	41	exp1d 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
43		nnge1 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p pCnt A ) e. NN -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
44	43	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. Prime )
46	2	nnzd 9388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> A e. ZZ )
48		1nn0 9206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
50		pcdvdsb 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) || A )
53	42, 52	eqbrtrrd 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p || A )
54		simpl1 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ph )
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> A e. NN )
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B e. NN )
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B < A )
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
59		simpl2l 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q e. Prime )
60		simpl2r 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q || N )
61		simpl3l 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> p e. Prime )
62		simpl3r 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN )
63		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
64		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
65		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
67	66	rexlimdvaa 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
68	67	3expa 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
70	69	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
72		prmuz2 12145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
73		uz2m1nn 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( q - 1 ) e. NN )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. Prime -> ( q - 1 ) e. NN )
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. NN )
76		pccl 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. Prime /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
77	71, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
79		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
83	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
84	82, 83	pccld 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
85		elnn0 9192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p pCnt A ) e. NN0 <-> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
87	70, 81, 86	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
90	75	nnzd 9388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. ZZ )
91		pc2dvds 12343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. ZZ ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
92	46, 90, 91	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A || ( q - 1 ) )
94		dvdsle 11864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
95	46, 75, 94	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A <_ ( q - 1 ) )
97	2	nnnn0d 9243	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. NN0 )
98	20	nnnn0d 9243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN0 )
99		nn0ltlem1 9331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN0 /\ q e. NN0 ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
100	97, 98, 99	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
101	96, 100	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A < q )
102	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. RR )
103	97	nn0ge0d 9246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ A )
105	98	nn0ge0d 9246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ q )
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 10699	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) ) )
107	101, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) )
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8096	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N < ( q ^ 2 ) )
109		dvdszrcl 11813	. . . . . . . . 9 |- ( q || N -> ( q e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
110	109	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( q || N -> N e. ZZ )
111	110	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. ZZ )
112	20	nnzd 9388	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. ZZ )
113		zsqcl 10605	. . . . . . . 8 |- ( q e. ZZ -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. ZZ )
115		zltnle 9313	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( q ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
116	111, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
117	108, 116	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> -. ( q ^ 2 ) <_ N )
118	117	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( q || N -> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
119	118	con2d 625	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
120	119	ralrimiva 2560	. 2 |- ( ph -> A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
121		isprm5 12156	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) ) )
122	12, 120, 121	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826   + caddc 7828   x. cmul 7830   < clt 8006   <_ cle 8007   - cmin 8142   / cdiv 8643   NNcn 8933   2c2 8984   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   mod cmo 10336   ^cexp 10533   || cdvds 11808   gcd cgcd 11957   Primecprime 12121   pCnt cpc 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-xnn0 9254  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-odz 12224  df-phi 12225  df-pc 12299

This theorem is referenced by:  pockthi  12370