Theorem elcntr 14157

Description: Elementhood in the center of a magma. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcntr.b	|- B = ( Base ` M )
elcntr.p	|- .+ = ( +g ` M )
elcntr.z	|- Z = (Cntr ` M )

Assertion

Ref	Expression
elcntr	|- ( A e. Z <-> ( A e. B /\ A. y e. B ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )

Distinct variable groups:   y, .+   y, A   y, B   y, M

Allowed substitution hint:   Z( y)

Proof of Theorem elcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcntr.z	. . . 4 |- Z = (Cntr ` M )
2		elcntr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- (Cntz ` M ) = (Cntz ` M )
4	2, 3	cntrval 14145	. . . 4 |- ( (Cntz ` M ) ` B ) = (Cntr ` M )
5	1, 4	eqtr4i 2262	. . 3 |- Z = ( (Cntz ` M ) ` B )
6	5	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. Z <-> A e. ( (Cntz ` M ) ` B ) )
7		ssid 3268	. . 3 |- B C_ B
8		elcntr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
9	2, 8, 3	elcntz 14148	. . 3 |- ( B C_ B -> ( A e. ( (Cntz ` M ) ` B ) <-> ( A e. B /\ A. y e. B ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) ) )
10	7, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A e. ( (Cntz ` M ) ` B ) <-> ( A e. B /\ A. y e. B ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )
11	6, 10	bitri 184	1 |- ( A e. Z <-> ( A e. B /\ A. y e. B ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484  Cntzccntz 14140  Cntrccntr 14141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-cntz 14142  df-cntr 14143

This theorem is used by: (None)