Theorem elcntz 14154

Description: Elementhood in the centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	|- B = ( Base ` M )
cntzfval.p	|- .+ = ( +g ` M )
cntzfval.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
elcntz	|- ( S C_ B -> ( A e. ( Z ` S ) <-> ( A e. B /\ A. y e. S ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, .+   y, A   y, M   y, S

Allowed substitution hints:   B( y)   Z( y)

Proof of Theorem elcntz

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzfval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		cntzfval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
3		cntzfval.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
4	1, 2, 3	cntzval 14153	. . 3 |- ( S C_ B -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
5	4	eleq2d 2308	. 2 |- ( S C_ B -> ( A e. ( Z ` S ) <-> A e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
6		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .+ y ) = ( A .+ y ) )
7		oveq2 6096	. . . . 5 |- ( x = A -> ( y .+ x ) = ( y .+ A ) )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )
9	8	ralbidv 2550	. . 3 |- ( x = A -> ( A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. y e. S ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )
10	9	elrab 2982	. 2 |- ( A e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } <-> ( A e. B /\ A. y e. S ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) )
11	5, 10	bitrdi 196	1 |- ( S C_ B -> ( A e. ( Z ` S ) <-> ( A e. B /\ A. y e. S ( A .+ y ) = ( y .+ A ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490  Cntzccntz 14146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-cntz 14148

This theorem is used by:  cntzel  14155  cntzi  14162  elcntr  14163  resscntz  14166  cntzsgrpcl  14167  cntzsubm  14170  cntzmhm  14173