Theorem elrabd 2984

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2982. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	|- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
elrabd.2	|- ( ph -> A e. B )
elrabd.3	|- ( ph -> ch )

Assertion

Ref	Expression
elrabd	|- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
2		elrabd.3	. . 3 |- ( ph -> ch )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ ch ) )
4		elrabd.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
5	4	elrab 2982	. 2 |- ( A e. { x e. B | ps } <-> ( A e. B /\ ch ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823

This theorem is used by:  2omap  7324  ctssdccl  7457  suplocexprlemru  8092  suplocexprlemloc  8094  zsupssdc  10690  hashfibclem  11304  uzwodc  12839  nninfctlemfo  12842  lcmcllem  12870  lcmledvds  12873  hashdvds  13028  phisum  13048  odzcllem  13050  pcpremul  13101  ballotfilemirc  13333  znnen  13347  ennnfonelemj0  13350  ennnfonelemg  13352  gzsumress  13771  issubmd  13840  mhmeql  13858  ghmeql  14129  asplss  15125  aspsubrg  15127  gsumbagdiaglem  15175  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  cdivcncfap  15830  cnopnap  15837  ivthinc  15869  limcdifap  15888  limcimolemlt  15890  dvcoapbr  15933  efnnfsumcl  16239  efchtqdvds  16265  dvdsppwf1o  16283  2lgslem1b  16413  incistruhgr  16536  upgr1elem1  16566  umgr1een  16571  subgruhgredgdm  16716  subumgredg2en  16717  subupgr  16719  subctctexmid  17235