Theorem elrabd 2964

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2962. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	|- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
elrabd.2	|- ( ph -> A e. B )
elrabd.3	|- ( ph -> ch )

Assertion

Ref	Expression
elrabd	|- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
2		elrabd.3	. . 3 |- ( ph -> ch )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ ch ) )
4		elrabd.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
5	4	elrab 2962	. 2 |- ( A e. { x e. B | ps } <-> ( A e. B /\ ch ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804

This theorem is referenced by:  ctssdccl  7310  suplocexprlemru  7939  suplocexprlemloc  7941  zsupssdc  10499  uzwodc  12626  nninfctlemfo  12629  lcmcllem  12657  lcmledvds  12660  phisum  12831  odzcllem  12833  pcpremul  12884  znnen  13037  ennnfonelemj0  13040  ennnfonelemg  13042  gsumress  13496  issubmd  13575  mhmeql  13593  ghmeql  13872  cdivcncfap  15347  cnopnap  15354  ivthinc  15386  limcdifap  15405  limcimolemlt  15407  dvcoapbr  15450  dvdsppwf1o  15732  2lgslem1b  15837  incistruhgr  15960  upgr1elem1  15990  umgr1een  15995  subgruhgredgdm  16140  subumgredg2en  16141  subupgr  16143  2omap  16645  subctctexmid  16652