Theorem elrabd 2965

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2963. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	|- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
elrabd.2	|- ( ph -> A e. B )
elrabd.3	|- ( ph -> ch )

Assertion

Ref	Expression
elrabd	|- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
2		elrabd.3	. . 3 |- ( ph -> ch )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ ch ) )
4		elrabd.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
5	4	elrab 2963	. 2 |- ( A e. { x e. B | ps } <-> ( A e. B /\ ch ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( ph -> A e. { x e. B | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805

This theorem is referenced by:  ctssdccl  7370  suplocexprlemru  7999  suplocexprlemloc  8001  zsupssdc  10561  uzwodc  12688  nninfctlemfo  12691  lcmcllem  12719  lcmledvds  12722  phisum  12893  odzcllem  12895  pcpremul  12946  znnen  13099  ennnfonelemj0  13102  ennnfonelemg  13104  gsumress  13558  issubmd  13637  mhmeql  13655  ghmeql  13934  cdivcncfap  15415  cnopnap  15422  ivthinc  15454  limcdifap  15473  limcimolemlt  15475  dvcoapbr  15518  dvdsppwf1o  15803  2lgslem1b  15908  incistruhgr  16031  upgr1elem1  16061  umgr1een  16066  subgruhgredgdm  16211  subumgredg2en  16212  subupgr  16214  2omap  16715  subctctexmid  16722