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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pcpremul | Unicode version |
Description: Multiplicative property
of the prime count pre-function. Note that the
primality of ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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pcpremul.1 |
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pcpremul.2 |
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pcpremul.3 |
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Ref | Expression |
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pcpremul |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ssrab2 3252 |
. . . . . 6
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2 | nn0ssz 9285 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | sstri 3176 |
. . . . 5
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4 | 3 | a1i 9 |
. . . 4
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5 | prmuz2 12145 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3ad2ant1 1019 |
. . . . 5
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7 | zmulcl 9320 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | ad2ant2r 509 |
. . . . . 6
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9 | 8 | 3adant1 1016 |
. . . . 5
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10 | simp2l 1024 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | zcnd 9390 |
. . . . . . 7
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12 | simp3l 1026 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | zcnd 9390 |
. . . . . . 7
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14 | simp2r 1025 |
. . . . . . . 8
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15 | 0zd 9279 |
. . . . . . . . 9
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16 | zapne 9341 |
. . . . . . . . 9
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17 | 10, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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18 | 14, 17 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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19 | simp3r 1027 |
. . . . . . . 8
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20 | zapne 9341 |
. . . . . . . . 9
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21 | 12, 15, 20 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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23 | 11, 13, 18, 22 | mulap0d 8629 |
. . . . . 6
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24 | zapne 9341 |
. . . . . . 7
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25 | 9, 15, 24 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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26 | 23, 25 | mpbid 147 |
. . . . 5
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27 | eqid 2187 |
. . . . . 6
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28 | 27 | pclemdc 12302 |
. . . . 5
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29 | 6, 9, 26, 28 | syl12anc 1246 |
. . . 4
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30 | 27 | pclemub 12301 |
. . . . 5
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31 | 6, 9, 26, 30 | syl12anc 1246 |
. . . 4
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32 | oveq2 5896 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | breq1d 4025 |
. . . . . 6
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34 | eqid 2187 |
. . . . . . . . . 10
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35 | pcpremul.1 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | pcprecl 12303 |
. . . . . . . . 9
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37 | 6, 10, 14, 36 | syl12anc 1246 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | simpld 112 |
. . . . . . 7
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39 | eqid 2187 |
. . . . . . . . . 10
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40 | pcpremul.2 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 39, 40 | pcprecl 12303 |
. . . . . . . . 9
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42 | 6, 12, 19, 41 | syl12anc 1246 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | simpld 112 |
. . . . . . 7
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44 | 38, 43 | nn0addcld 9247 |
. . . . . 6
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45 | prmnn 12124 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45 | 3ad2ant1 1019 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46, 44 | nnexpcld 10690 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | nnzd 9388 |
. . . . . . 7
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49 | 46, 43 | nnexpcld 10690 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | nnzd 9388 |
. . . . . . . 8
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51 | 10, 50 | zmulcld 9395 |
. . . . . . 7
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52 | 46 | nncnd 8947 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52, 43, 38 | expaddd 10670 |
. . . . . . . 8
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54 | 37 | simprd 114 |
. . . . . . . . 9
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55 | 46, 38 | nnexpcld 10690 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 55 | nnzd 9388 |
. . . . . . . . . 10
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57 | dvdsmulc 11840 |
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58 | 56, 10, 50, 57 | syl3anc 1248 |
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60 | 53, 59 | eqbrtrd 4037 |
. . . . . . 7
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61 | 42 | simprd 114 |
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62 | dvdscmul 11839 |
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63 | 50, 12, 10, 62 | syl3anc 1248 |
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65 | 48, 51, 9, 60, 64 | dvdstrd 11851 |
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66 | 33, 44, 65 | elrabd 2907 |
. . . . 5
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67 | oveq2 5896 |
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69 | 68 | cbvrabv 2748 |
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70 | 66, 69 | eleqtrdi 2280 |
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71 | 4, 29, 31, 70 | suprzubdc 11967 |
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72 | pcpremul.3 |
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73 | 71, 72 | breqtrrdi 4057 |
. 2
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74 | 34, 35 | pcprendvds2 12305 |
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75 | 6, 10, 14, 74 | syl12anc 1246 |
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76 | 39, 40 | pcprendvds2 12305 |
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77 | 6, 12, 19, 76 | syl12anc 1246 |
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78 | ioran 753 |
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79 | 75, 77, 78 | sylanbrc 417 |
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80 | simp1 998 |
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81 | 55 | nnne0d 8978 |
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82 | dvdsval2 11811 |
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83 | 56, 81, 10, 82 | syl3anc 1248 |
. . . . . 6
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84 | 54, 83 | mpbid 147 |
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85 | 49 | nnne0d 8978 |
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86 | dvdsval2 11811 |
. . . . . . 7
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87 | 50, 85, 12, 86 | syl3anc 1248 |
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88 | 61, 87 | mpbid 147 |
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89 | euclemma 12160 |
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90 | 80, 84, 88, 89 | syl3anc 1248 |
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91 | 79, 90 | mtbird 674 |
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92 | 27, 72 | pcprecl 12303 |
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93 | 6, 9, 26, 92 | syl12anc 1246 |
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94 | 93 | simpld 112 |
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95 | nn0ltp1le 9329 |
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96 | 44, 94, 95 | syl2anc 411 |
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97 | 46 | nnzd 9388 |
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98 | peano2nn0 9230 |
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99 | 44, 98 | syl 14 |
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100 | dvdsexp 11881 |
. . . . . . . 8
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101 | 100 | 3expia 1206 |
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102 | 97, 99, 101 | syl2anc 411 |
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103 | 93 | simprd 114 |
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104 | 46, 99 | nnexpcld 10690 |
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108 | dvdstr 11849 |
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115 | 112, 113, 114 | syl2anc 411 |
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116 | 52, 44 | expp1d 10669 |
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117 | 11, 13 | mulcld 7992 |
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120 | 117, 118, 119 | divcanap2d 8763 |
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126 | 11, 122, 13, 123, 124, 125 | divmuldivapd 8803 |
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127 | 121, 126 | eqtr4d 2223 |
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128 | 127 | oveq2d 5904 |
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129 | 120, 128 | eqtr3d 2222 |
. . . . . . 7
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130 | 116, 129 | breq12d 4028 |
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131 | 84, 88 | zmulcld 9395 |
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132 | 47 | nnne0d 8978 |
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133 | dvdscmulr 11841 |
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134 | 97, 131, 48, 132, 133 | syl112anc 1252 |
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135 | 130, 134 | bitrd 188 |
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136 | 111, 115, 135 | 3imtr3d 202 |
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137 | 96, 136 | sylbid 150 |
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138 | 91, 137 | mtod 664 |
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142 | 73, 138, 141 | mpbir2and 945 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 ax-caucvg 7945 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-frec 6406 df-1o 6431 df-2o 6432 df-er 6549 df-en 6755 df-sup 6997 df-inf 6998 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-2 8992 df-3 8993 df-4 8994 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-q 9634 df-rp 9668 df-fz 10023 df-fzo 10157 df-fl 10284 df-mod 10337 df-seqfrec 10460 df-exp 10534 df-cj 10865 df-re 10866 df-im 10867 df-rsqrt 11021 df-abs 11022 df-dvds 11809 df-gcd 11958 df-prm 12122 |
This theorem is referenced by: pceulem 12308 pcmul 12315 |
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