Theorem ctssdccl 7041

Description: A mapping from a decidable subset of the natural numbers onto a countable set. This is similar to one direction of ctssdc 7043 but expressed in terms of classes rather than E.. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssdccl.f	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctssdccl.s	|- S = { x e. om | ( F ` x ) e. (inl " A ) }
ctssdccl.g	|- G = ( `'inl o. F )

Assertion

Ref	Expression
ctssdccl	|- ( ph -> ( S C_ om /\ G : S -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. S ) )

Distinct variable groups:   x, A   n, F, x   n, G   S, n   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( n)   S( x)   G( x)

Proof of Theorem ctssdccl

Dummy variables m y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctssdccl.s	. . . 4 |- S = { x e. om | ( F ` x ) e. (inl " A ) }
2		ssrab2 3209	. . . 4 |- { x e. om | ( F ` x ) e. (inl " A ) } C_ om
3	1, 2	eqsstri 3156	. . 3 |- S C_ om
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ om )
5		djulf1o 6988	. . . . . . 7 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
6		f1ocnv 5420	. . . . . . 7 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V )
7		f1ofun 5409	. . . . . . 7 |- ( `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V -> Fun `'inl )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . . . 6 |- Fun `'inl
9		ctssdccl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
10		fofun 5386	. . . . . . 7 |- ( F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> Fun F )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun F )
12		funco 5203	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `'inl /\ Fun F ) -> Fun ( `'inl o. F ) )
13		ctssdccl.g	. . . . . . . 8 |- G = ( `'inl o. F )
14	13	funeqi 5184	. . . . . . 7 |- ( Fun G <-> Fun ( `'inl o. F ) )
15	12, 14	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun `'inl /\ Fun F ) -> Fun G )
16	8, 11, 15	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> Fun G )
17		fof 5385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> F : om --> ( A ⊔ 1o ) )
18	9, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : om --> ( A ⊔ 1o ) )
19	18	fdmd 5319	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = om )
20	19	eleq2d 2224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. dom F <-> n e. om ) )
21	20	anbi1d 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. dom F /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) ) )
22		dmcoss 4848	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( `'inl o. F ) C_ dom F
23	22	sseli 3120	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. dom ( `'inl o. F ) -> n e. dom F )
24	23	pm4.71ri 390	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. dom ( `'inl o. F ) <-> ( n e. dom F /\ n e. dom ( `'inl o. F ) ) )
25		dmfco 5529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ n e. dom F ) -> ( n e. dom ( `'inl o. F ) <-> ( F ` n ) e. dom `'inl ) )
26	25	pm5.32da 448	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( n e. dom F /\ n e. dom ( `'inl o. F ) ) <-> ( n e. dom F /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) ) )
27	24, 26	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( n e. dom ( `'inl o. F ) <-> ( n e. dom F /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) ) )
28	11, 27	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. dom ( `'inl o. F ) <-> ( n e. dom F /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) ) )
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) -> ( F ` n ) e. (inl " A ) )
30		imassrn 4932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inl " A ) C_ ran inl
31	30	sseli 3120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. (inl " A ) -> ( F ` n ) e. ran inl )
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) -> ( F ` n ) e. ran inl )
33		df-rn 4590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran inl = dom `'inl
34	33	eleq2i 2221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. ran inl <-> ( F ` n ) e. dom `'inl )
35	32, 34	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) -> ( F ` n ) e. dom `'inl )
36	29, 35	2thd 174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( F ` n ) e. dom `'inl ) )
37		djuin 6994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (inl " A ) i^i (inr " 1o ) ) = (/)
38		disjel 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (inl " A ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) -> -. ( F ` n ) e. (inr " 1o ) )
39	37, 38	mpan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. (inl " A ) -> -. ( F ` n ) e. (inr " 1o ) )
40	39	con2i 617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. (inr " 1o ) -> -. ( F ` n ) e. (inl " A ) )
41	40	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) -> -. ( F ` n ) e. (inl " A ) )
42		djuin 6994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (inl " _V ) i^i (inr " 1o ) ) = (/)
43		disjel 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (inl " _V ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) /\ ( F ` n ) e. (inl " _V ) ) -> -. ( F ` n ) e. (inr " 1o ) )
44	42, 43	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` n ) e. (inl " _V ) -> -. ( F ` n ) e. (inr " 1o ) )
45		dfrn4 5039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran inl = (inl " _V )
46	44, 45	eleq2s 2249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) e. ran inl -> -. ( F ` n ) e. (inr " 1o ) )
47	46	con2i 617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. (inr " 1o ) -> -. ( F ` n ) e. ran inl )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) -> -. ( F ` n ) e. ran inl )
49	48, 34	sylnib 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) -> -. ( F ` n ) e. dom `'inl )
50	41, 49	2falsed 692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( F ` n ) e. dom `'inl ) )
51	18	ffvelrnda 5595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. ( A ⊔ 1o ) )
52		djuun 6997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (inl " A ) u. (inr " 1o ) ) = ( A ⊔ 1o )
53	52	eleq2i 2221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. ( (inl " A ) u. (inr " 1o ) ) <-> ( F ` n ) e. ( A ⊔ 1o ) )
54	51, 53	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. ( (inl " A ) u. (inr " 1o ) ) )
55		elun 3244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` n ) e. ( (inl " A ) u. (inr " 1o ) ) <-> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) )
56	54, 55	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) )
57	36, 50, 56	mpjaodan 788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( F ` n ) e. dom `'inl ) )
58	57	pm5.32da 448	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. om /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. dom `'inl ) ) )
59	21, 28, 58	3bitr4d 219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. dom ( `'inl o. F ) <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) ) )
60	13	dmeqi 4780	. . . . . . . 8 |- dom G = dom ( `'inl o. F )
61	60	eleq2i 2221	. . . . . . 7 |- ( n e. dom G <-> n e. dom ( `'inl o. F ) )
62		fveq2 5461	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
63	62	eleq1d 2223	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( ( F ` x ) e. (inl " A ) <-> ( F ` n ) e. (inl " A ) ) )
64	63, 1	elrab2 2867	. . . . . . 7 |- ( n e. S <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) )
65	59, 61, 64	3bitr4g 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. dom G <-> n e. S ) )
66	65	eqrdv 2152	. . . . 5 |- ( ph -> dom G = S )
67		df-fn 5166	. . . . 5 |- ( G Fn S <-> ( Fun G /\ dom G = S ) )
68	16, 66, 67	sylanbrc 414	. . . 4 |- ( ph -> G Fn S )
69	13	fveq1i 5462	. . . . . . 7 |- ( G ` m ) = ( ( `'inl o. F ) ` m )
70	18	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> F : om --> ( A ⊔ 1o ) )
71		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = m -> ( F ` x ) = ( F ` m ) )
72	71	eleq1d 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = m -> ( ( F ` x ) e. (inl " A ) <-> ( F ` m ) e. (inl " A ) ) )
73	72, 1	elrab2 2867	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. S <-> ( m e. om /\ ( F ` m ) e. (inl " A ) ) )
74	73	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. S -> ( m e. om /\ ( F ` m ) e. (inl " A ) ) )
75	74	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( m e. om /\ ( F ` m ) e. (inl " A ) ) )
76	75	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> m e. om )
77		fvco3 5532	. . . . . . . 8 |- ( ( F : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ m e. om ) -> ( ( `'inl o. F ) ` m ) = ( `'inl ` ( F ` m ) ) )
78	70, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( ( `'inl o. F ) ` m ) = ( `'inl ` ( F ` m ) ) )
79	69, 78	syl5eq 2199	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G ` m ) = ( `'inl ` ( F ` m ) ) )
80		f1ofun 5409	. . . . . . . . . 10 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> Fun inl )
81	5, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Fun inl
82		fvelima 5513	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun inl /\ ( F ` m ) e. (inl " A ) ) -> E. z e. A (inl ` z ) = ( F ` m ) )
83	81, 82	mpan 421	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` m ) e. (inl " A ) -> E. z e. A (inl ` z ) = ( F ` m ) )
84	75, 83	simpl2im 384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> E. z e. A (inl ` z ) = ( F ` m ) )
85		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ ( z e. A /\ (inl ` z ) = ( F ` m ) ) ) -> (inl ` z ) = ( F ` m ) )
86	85	fveq2d 5465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ ( z e. A /\ (inl ` z ) = ( F ` m ) ) ) -> ( `'inl ` (inl ` z ) ) = ( `'inl ` ( F ` m ) ) )
87		vex 2712	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
88		f1ocnvfv1 5718	. . . . . . . . . 10 |- ( (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) /\ z e. _V ) -> ( `'inl ` (inl ` z ) ) = z )
89	5, 87, 88	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl ` (inl ` z ) ) = z
90		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ ( z e. A /\ (inl ` z ) = ( F ` m ) ) ) -> z e. A )
91	89, 90	eqeltrid 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ ( z e. A /\ (inl ` z ) = ( F ` m ) ) ) -> ( `'inl ` (inl ` z ) ) e. A )
92	86, 91	eqeltrrd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ ( z e. A /\ (inl ` z ) = ( F ` m ) ) ) -> ( `'inl ` ( F ` m ) ) e. A )
93	84, 92	rexlimddv 2576	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( `'inl ` ( F ` m ) ) e. A )
94	79, 93	eqeltrd 2231	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G ` m ) e. A )
95	94	ralrimiva 2527	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. S ( G ` m ) e. A )
96		ffnfv 5618	. . . 4 |- ( G : S --> A <-> ( G Fn S /\ A. m e. S ( G ` m ) e. A ) )
97	68, 95, 96	sylanbrc 414	. . 3 |- ( ph -> G : S --> A )
98		djulcl 6981	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> (inl ` m ) e. ( A ⊔ 1o ) )
99		foelrn 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ (inl ` m ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y e. om (inl ` m ) = ( F ` y ) )
100	9, 99	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (inl ` m ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y e. om (inl ` m ) = ( F ` y ) )
101		df-rex 2438	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om (inl ` m ) = ( F ` y ) <-> E. y ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
102	100, 101	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (inl ` m ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
103	98, 102	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> E. y ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
104		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
105	104	eleq1d 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. (inl " A ) <-> ( F ` y ) e. (inl " A ) ) )
106		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. om )
107		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> (inl ` m ) = ( F ` y ) )
108		vex 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- m e. _V
109		f1odm 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> dom inl = _V )
110	5, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom inl = _V
111	108, 110	eleqtrri 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- m e. dom inl
112		funfvima 5689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun inl /\ m e. dom inl ) -> ( m e. A -> (inl ` m ) e. (inl " A ) ) )
113	81, 111, 112	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. A -> (inl ` m ) e. (inl " A ) )
114	113	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> (inl ` m ) e. (inl " A ) )
115	107, 114	eqeltrrd 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` y ) e. (inl " A ) )
116	105, 106, 115	elrabd 2866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. { x e. om | ( F ` x ) e. (inl " A ) } )
117	116, 1	eleqtrrdi 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. S )
118	117, 107	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) -> ( y e. S /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
119	118	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> ( y e. S /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) )
120	119	eximdv 1857	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( E. y ( y e. om /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> E. y ( y e. S /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) ) )
121	103, 120	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> E. y ( y e. S /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
122		df-rex 2438	. . . . . 6 |- ( E. y e. S (inl ` m ) = ( F ` y ) <-> E. y ( y e. S /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) )
123	121, 122	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> E. y e. S (inl ` m ) = ( F ` y ) )
124		f1ocnvfv1 5718	. . . . . . . . . 10 |- ( (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) /\ m e. _V ) -> ( `'inl ` (inl ` m ) ) = m )
125	5, 108, 124	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl ` (inl ` m ) ) = m
126		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> (inl ` m ) = ( F ` y ) )
127	126	fveq2d 5465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> ( `'inl ` (inl ` m ) ) = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
128	125, 127	syl5eqr 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> m = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
129	13	fveq1i 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` y ) = ( ( `'inl o. F ) ` y )
130	18	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) -> F : om --> ( A ⊔ 1o ) )
131	3	sseli 3120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. om )
132	131	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) -> y e. om )
133		fvco3 5532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ y e. om ) -> ( ( `'inl o. F ) ` y ) = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
134	130, 132, 133	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) -> ( ( `'inl o. F ) ` y ) = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
135	129, 134	syl5eq 2199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
136	135	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> ( G ` y ) = ( `'inl ` ( F ` y ) ) )
137	128, 136	eqtr4d 2190	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) /\ (inl ` m ) = ( F ` y ) ) -> m = ( G ` y ) )
138	137	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ y e. S ) -> ( (inl ` m ) = ( F ` y ) -> m = ( G ` y ) ) )
139	138	reximdva 2556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( E. y e. S (inl ` m ) = ( F ` y ) -> E. y e. S m = ( G ` y ) ) )
140	123, 139	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> E. y e. S m = ( G ` y ) )
141	140	ralrimiva 2527	. . 3 |- ( ph -> A. m e. A E. y e. S m = ( G ` y ) )
142		dffo3 5607	. . 3 |- ( G : S -onto-> A <-> ( G : S --> A /\ A. m e. A E. y e. S m = ( G ` y ) ) )
143	97, 141, 142	sylanbrc 414	. 2 |- ( ph -> G : S -onto-> A )
144	53, 55	bitr3i 185	. . . . . . 7 |- ( ( F ` n ) e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) )
145	51, 144	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) )
146	40	orim2i 751	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ ( F ` n ) e. (inr " 1o ) ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ -. ( F ` n ) e. (inl " A ) ) )
147	145, 146	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ -. ( F ` n ) e. (inl " A ) ) )
148		df-dc 821	. . . . 5 |- (DECID ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) \/ -. ( F ` n ) e. (inl " A ) ) )
149	147, 148	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> DECID ( F ` n ) e. (inl " A ) )
150		ibar 299	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) ) )
151	150	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> ( n e. om /\ ( F ` n ) e. (inl " A ) ) ) )
152	151, 64	bitr4di 197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> n e. S ) )
153	152	dcbid 824	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> (DECID ( F ` n ) e. (inl " A ) <-> DECID n e. S ) )
154	149, 153	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> DECID n e. S )
155	154	ralrimiva 2527	. 2 |- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
156	4, 143, 155	3jca 1162	1 |- ( ph -> ( S C_ om /\ G : S -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   A.wral 2432   E.wrex 2433   {crab 2436   _Vcvv 2709   u. cun 3096   i^i cin 3097   C_ wss 3098   (/)c0 3390   {csn 3556   omcom 4543   X. cxp 4577   `'ccnv 4578   dom cdm 4579   ran crn 4580   "cima 4582   o. ccom 4583   Fun wfun 5157   Fn wfn 5158   -->wf 5159   -onto->wfo 5161   -1-1-onto->wf1o 5162   ` cfv 5163   1oc1o 6346   ⊔ cdju 6967  inlcinl 6975  inrcinr 6976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-1o 6353  df-dju 6968  df-inl 6977  df-inr 6978

This theorem is referenced by:  ctssdclemr  7042  ctiunct  12120