Theorem dvcoapbr 13311

Description: The chain rule for derivatives at a point. The u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) hypothesis constrains what functions work for G. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcoap.gap	|- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvcoap.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcoapbr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Distinct variable groups:   u, C   u, G   u, Y

Allowed substitution hints:   ph( u)   S( u)   T( u)   F( u)   J( u)   K( u)   L( u)   X( u)

Proof of Theorem dvcoapbr

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2165	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvcoap.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2165	. . . . 5 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10	6, 9	fssd 5350	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
12	2, 3, 4, 5, 10, 11	eldvap 13291	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
14	13	simpld 111	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
16	15	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> F : X --> CC )
17	6	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> X )
18		elrabi 2879	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z e. Y )
19	18	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. Y )
20	17, 19	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. X )
21	16, 20	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
22	5, 10, 11	dvbss 13294	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
23		cnex 7877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. _V )
25	24, 5	ssexd 4122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. _V )
26		elpm2r 6632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC e. _V /\ T e. _V ) /\ ( G : Y --> CC /\ Y C_ T ) ) -> G e. ( CC ^pm T ) )
27	24, 25, 10, 11, 26	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm T ) )
28		reldvg 13288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T C_ CC /\ G e. ( CC ^pm T ) ) -> Rel ( T _D G ) )
29	5, 27, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Rel ( T _D G ) )
30		releldm 4839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
31	29, 1, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
32	22, 31	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. Y )
33	32	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. Y )
34	17, 33	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. X )
35	16, 34	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	21, 35	subcld 8209	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
37	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> CC )
38	37, 19	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
39	37, 33	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
40	38, 39	subcld 8209	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
41	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> X C_ CC )
42	41, 20	sseldd 3143	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
43	41, 34	sseldd 3143	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
44		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
45	44	elrab 2882	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } <-> ( z e. Y /\ z # C ) )
46	45	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z # C )
47	46	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z # C )
48		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u # C <-> z # C ) )
49		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( G ` u ) = ( G ` z ) )
50	49	breq1d 3992	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( G ` u ) # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
51	48, 50	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) <-> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) ) )
52		dvcoap.gap	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
53	52	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
54	51, 53, 19	rspcdva 2835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
55	47, 54	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) # ( G ` C ) )
56	42, 43, 55	subap0d 8542	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) # 0 )
57	36, 40, 56	divclapd 8686	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
58	11, 5	sstrd 3152	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
59	10, 58, 32	dvlemap 13289	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
60		ssidd 3163	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
61	3	cntoptopon 13172	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
62		txtopon 12902	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
63	61, 61, 62	mp2an 423	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
64	63	toponrestid 12659	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
65		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` z ) -> ( w # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
66	65, 20, 55	elrabd 2884	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. { w e. X | w # ( G ` C ) } )
67	15	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> F : X --> CC )
68		elrabi 2879	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y e. X )
69	68	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. X )
70	67, 69	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` y ) e. CC )
71	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> G : Y --> X )
72	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> C e. Y )
73	71, 72	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. X )
74	67, 73	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
75	70, 74	subcld 8209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
76	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> X C_ CC )
77	76, 69	sseldd 3143	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. CC )
78	76, 73	sseldd 3143	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) e. CC )
80		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w # ( G ` C ) <-> y # ( G ` C ) ) )
81	80	elrab 2882	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } <-> ( y e. X /\ y # ( G ` C ) ) )
82	81	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y # ( G ` C ) )
83	82	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y # ( G ` C ) )
84	77, 78, 83	subap0d 8542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) # 0 )
85	75, 79, 84	divclapd 8686	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
86		limcresi 13275	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C )
87	6	feqmptd 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
88	87	reseq1d 4883	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) )
89		ssrab2 3227	. . . . . . . . . 10 |- { w e. Y | w # C } C_ Y
90		resmpt 4932	. . . . . . . . . 10 |- ( { w e. Y | w # C } C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) )
92	88, 91	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
93	92	oveq1d 5857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
94	86, 93	sseqtrid 3192	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
95		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
96	95, 3	dvcnp2cntop 13303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
97	5, 10, 11, 31, 96	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
98	3, 95	cnplimccntop 13279	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
99	58, 32, 98	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
100	97, 99	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
101	100	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
102	94, 101	sseldd 3143	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
103		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
104		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
105		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
106	104, 3, 105, 8, 15, 7	eldvap 13291	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
107	103, 106	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
108	107	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
109		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
110	109	oveq1d 5857	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
111		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
112	110, 111	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
113	66, 85, 102, 108, 112	limccoap 13287	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
114	13	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
115	3	mulcncntop 13194	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
116	8, 15, 7	dvcl 13292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
117	103, 116	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
118	5, 10, 11	dvcl 13292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
119	1, 118	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
120	117, 119	opelxpd 4637	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
121	63	toponunii 12655	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
122	121	cncnpi 12868	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
123	115, 120, 122	sylancr 411	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
124	57, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123	limccnp2cntop 13286	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
125	42, 43	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
126	58	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> Y C_ CC )
127	126, 19	sseldd 3143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. CC )
128	126, 33	sseldd 3143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. CC )
129	127, 128	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
130	127, 128, 47	subap0d 8542	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
131	36, 125, 129, 56, 130	dmdcanap2d 8717	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
132		fvco3 5557	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
133	17, 19, 132	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
134		fvco3 5557	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
135	17, 33, 134	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
136	133, 135	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
137	136	oveq1d 5857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
139	138	mpteq2dva 4072	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
140	139	oveq1d 5857	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
141	124, 140	eleqtrd 2245	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
142		eqid 2165	. . 3 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
143		fco 5353	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
144	15, 6, 143	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
145	2, 3, 142, 5, 144, 11	eldvap 13291	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
146	14, 141, 145	mpbir2and 934	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   dom cdm 4604   |` cres 4606   o. ccom 4608   Rel wrel 4609   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^pm cpm 6615   CCcc 7751   x. cmul 7758   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   abscabs 10939   ↾_t crest 12556   MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648   intcnt 12733   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892   lim CC climc 13263   _D cdv 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  dvef  13328