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Theorem dvcoapbr 14524
Description: The chain rule for derivatives at a point. The  u #  C  -> 
( G `  u
) #  ( G `  C ) hypothesis constrains what functions work for  G. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvcoap.gap  |-  ( ph  ->  A. u  e.  Y  ( u #  C  ->  ( G `  u ) #  ( G `  C
) ) )
dvcobr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcobr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
dvco.bf  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
dvco.bg  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
dvcoap.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Distinct variable groups:    u, C    u, G    u, Y
Allowed substitution hints:    ph( u)    S( u)    T( u)    F( u)    J( u)    K( u)    L( u)    X( u)

Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
2 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Jt  T )  =  ( Jt  T )
3 dvcoap.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
4 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
6 dvco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
97, 8sstrd 3177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
106, 9fssd 5390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
11 dvco.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 14504 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
131, 12mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) )
1413simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y
) )
15 dvco.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
1615adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  F : X --> CC )
176adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  G : Y --> X )
18 elrabi 2902 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  ->  z  e.  Y
)
1918adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
z  e.  Y )
2017, 19ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  X )
2116, 20ffvelcdmd 5665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( F `  ( G `  z )
)  e.  CC )
225, 10, 11dvbss 14507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  C_  Y
)
23 cnex 7949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
2524, 5ssexd 4155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
26 elpm2r 6680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  T  e.  _V )  /\  ( G : Y --> CC  /\  Y  C_  T
) )  ->  G  e.  ( CC  ^pm  T
) )
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC 
^pm  T ) )
28 reldvg 14501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  C_  CC  /\  G  e.  ( CC  ^pm  T
) )  ->  Rel  ( T  _D  G
) )
295, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  ( T  _D  G ) )
30 releldm 4874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( T  _D  G )  /\  C
( T  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3129, 1, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3222, 31sseldd 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
3332adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  C  e.  Y )
3417, 33ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
3516, 34ffvelcdmd 5665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
3621, 35subcld 8282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  e.  CC )
3710adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  G : Y --> CC )
3837, 19ffvelcdmd 5665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
3937, 33ffvelcdmd 5665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
4038, 39subcld 8282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
419adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  X  C_  CC )
4241, 20sseldd 3168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
4341, 34sseldd 3168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
44 breq1 4018 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
w #  C  <->  z #  C
) )
4544elrab 2905 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } 
<->  ( z  e.  Y  /\  z #  C )
)
4645simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  ->  z #  C )
4746adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
z #  C )
48 breq1 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u #  C  <->  z #  C
) )
49 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  ( G `  u )  =  ( G `  z ) )
5049breq1d 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( G `  u
) #  ( G `  C )  <->  ( G `  z ) #  ( G `
 C ) ) )
5148, 50imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
( u #  C  -> 
( G `  u
) #  ( G `  C ) )  <->  ( z #  C  ->  ( G `  z ) #  ( G `  C ) ) ) )
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. u  e.  Y  ( u #  C  ->  ( G `  u ) #  ( G `  C
) ) )
5352adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  A. u  e.  Y  ( u #  C  ->  ( G `  u ) #  ( G `  C
) ) )
5451, 53, 19rspcdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( z #  C  -> 
( G `  z
) #  ( G `  C ) ) )
5547, 54mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
) #  ( G `  C ) )
5642, 43, 55subap0d 8615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) #  0 )
5736, 40, 56divclapd 8761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
5811, 5sstrd 3177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
5910, 58, 32dvlemap 14502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
60 ssidd 3188 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
613cntoptopon 14385 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
62 txtopon 14115 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
6361, 61, 62mp2an 426 . . . . 5  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
6463toponrestid 13874 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
65 breq1 4018 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  z )  ->  (
w #  ( G `  C )  <->  ( G `  z ) #  ( G `
 C ) ) )
6665, 20, 55elrabd 2907 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) } )
6715adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  ->  F : X --> CC )
68 elrabi 2902 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  ->  y  e.  X )
6968adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
y  e.  X )
7067, 69ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( F `  y
)  e.  CC )
716adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  ->  G : Y --> X )
7232adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  ->  C  e.  Y )
7371, 72ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
7467, 73ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
7570, 74subcld 8282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
769adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  ->  X  C_  CC )
7776, 69sseldd 3168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
y  e.  CC )
7876, 73sseldd 3168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
7977, 78subcld 8282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( y  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
80 breq1 4018 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w #  ( G `  C )  <->  y #  ( G `  C )
) )
8180elrab 2905 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  <->  ( y  e.  X  /\  y #  ( G `  C ) ) )
8281simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  ->  y #  ( G `  C )
)
8382adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
y #  ( G `  C ) )
8477, 78, 83subap0d 8615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( y  -  ( G `  C )
) #  0 )
8575, 79, 84divclapd 8761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C
) } )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
86 limcresi 14488 . . . . . . 7  |-  ( G lim
CC  C )  C_  ( ( G  |`  { w  e.  Y  |  w #  C }
) lim CC  C )
876feqmptd 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
8887reseq1d 4918 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  { w  e.  Y  |  w #  C } )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z
) )  |`  { w  e.  Y  |  w #  C } ) )
89 ssrab2 3252 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  Y  |  w #  C }  C_  Y
90 resmpt 4967 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  Y  |  w #  C }  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  { w  e.  Y  |  w #  C }
)  =  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `  z ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  { w  e.  Y  |  w #  C } )  =  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `
 z ) )
9288, 91eqtrdi 2236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  { w  e.  Y  |  w #  C } )  =  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `
 z ) ) )
9392oveq1d 5903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  { w  e.  Y  |  w #  C }
) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
9486, 93sseqtrid 3217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  C_  ( (
z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
95 eqid 2187 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
9695, 3dvcnp2cntop 14516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  T )  /\  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1251 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
983, 95cnplimccntop 14492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
9958, 32, 98syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
10097, 99mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
101100simprd 114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
10294, 101sseldd 3168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
103 dvco.bf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
104 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
105 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 14504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) ( S  _D  F ) K  <-> 
( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e. 
{ w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) ) )
107103, 106mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e. 
{ w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) )
108107simprd 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  { w  e.  X  |  w #  ( G `  C ) }  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
) )
109 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  z ) ) )
110109oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) ) )
111 oveq1 5895 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  -  ( G `
 C ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )
112110, 111oveq12d 5906 . . . . 5  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 14500 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
11413simprd 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
1153mulcncntop 14407 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1168, 15, 7dvcl 14505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( G `  C ) ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
117103, 116mpdan 421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1185, 10, 11dvcl 14505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( T  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
1191, 118mpdan 421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
120117, 119opelxpd 4671 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
12163toponunii 13870 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
122121cncnpi 14081 . . . . 5  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
123115, 120, 122sylancr 414 . . . 4  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 14499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
12542, 43subcld 8282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
12658adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  Y  C_  CC )
127126, 19sseldd 3168 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
z  e.  CC )
128126, 33sseldd 3168 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  ->  C  e.  CC )
129127, 128subcld 8282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
130127, 128, 47subap0d 8615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
) #  0 )
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
z  -  C ) ) )
132 fvco3 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
13317, 19, 132syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
134 fvco3 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  C  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
13517, 33, 134syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
136133, 135oveq12d 5906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  =  ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) ) )
137136oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
138131, 137eqtr4d 2223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
139138mpteq2dva 4105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) )  =  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
140139oveq1d 5903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
{ w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
141124, 140eleqtrd 2266 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
142 eqid 2187 . . 3  |-  ( z  e.  { w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
143 fco 5393 . . . 4  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
14415, 6, 143syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 14504 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ( K  x.  L )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  ( K  x.  L )  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  Y  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) lim CC  C
) ) ) )
14614, 141, 145mpbir2and 945 1  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   {crab 2469   _Vcvv 2749    C_ wss 3141   <.cop 3607   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076    X. cxp 4636   dom cdm 4638    |` cres 4640    o. ccom 4642   Rel wrel 4643   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888    ^pm cpm 6663   CCcc 7823    x. cmul 7830    - cmin 8142   # cap 8552    / cdiv 8643   abscabs 11020   ↾t crest 12706   MetOpencmopn 13784  TopOnctopon 13863   intcnt 13946    Cn ccn 14038    CnP ccnp 14039    tX ctx 14105   lim CC climc 14476    _D cdv 14477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-addf 7947  ax-mulf 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-met 13788  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-ntr 13949  df-cn 14041  df-cnp 14042  df-tx 14106  df-cncf 14411  df-limced 14478  df-dvap 14479
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