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Theorem dvcoapbr 14856
Description: The chain rule for derivatives at a point. The u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) hypothesis constrains what functions work for G. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f |- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x |- ( ph -> X C_ S )
dvco.g |- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y |- ( ph -> Y C_ T )
dvcoap.gap |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
dvcobr.s |- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t |- ( ph -> T C_ CC )
dvco.bf |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvcoap.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )
Distinct variable groups:   u, C   u, G   u, Y
Allowed substitution hints:   ph( u)   S( u)   T( u)   F( u)   J( u)   K( u)   L( u)   X( u)
Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2 eqid 2193 . . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3 dvcoap.j . . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4 eqid 2193 . . . . 5 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6 dvco.g . . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
97, 8sstrd 3189 . . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
106, 9fssd 5416 . . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11 dvco.y . . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 14836 . . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
131, 12mpbid 147 . . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
1413simpld 112 . 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15 dvco.f . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
1615adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> F : X --> CC )
176adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> X )
18 elrabi 2913 . . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z e. Y )
1918adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. Y )
2017, 19ffvelcdmd 5694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. X )
2116, 20ffvelcdmd 5694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
225, 10, 11dvbss 14839 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
23 cnex 7996 . . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. _V )
2524, 5ssexd 4169 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. _V )
26 elpm2r 6720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC e. _V /\ T e. _V ) /\ ( G : Y --> CC /\ Y C_ T ) ) -> G e. ( CC ^pm T ) )
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1250 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm T ) )
28 reldvg 14833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T C_ CC /\ G e. ( CC ^pm T ) ) -> Rel ( T _D G ) )
295, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Rel ( T _D G ) )
30 releldm 4897 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
3129, 1, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
3222, 31sseldd 3180 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. Y )
3332adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. Y )
3417, 33ffvelcdmd 5694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. X )
3516, 34ffvelcdmd 5694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
3621, 35subcld 8330 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
3710adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> CC )
3837, 19ffvelcdmd 5694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
3937, 33ffvelcdmd 5694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
4038, 39subcld 8330 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
419adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> X C_ CC )
4241, 20sseldd 3180 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
4341, 34sseldd 3180 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
44 breq1 4032 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
4544elrab 2916 . . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } <-> ( z e. Y /\ z # C ) )
4645simprbi 275 . . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z # C )
4746adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z # C )
48 breq1 4032 . . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u # C <-> z # C ) )
49 fveq2 5554 . . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( G ` u ) = ( G ` z ) )
5049breq1d 4039 . . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( G ` u ) # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
5148, 50imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) <-> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) ) )
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
5352adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
5451, 53, 19rspcdva 2869 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) # ( G ` C ) )
5642, 43, 55subap0d 8663 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) # 0 )
5736, 40, 56divclapd 8809 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
5811, 5sstrd 3189 . . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
5910, 58, 32dvlemap 14834 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
60 ssidd 3200 . . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
613cntoptopon 14700 . . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
62 txtopon 14430 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
6361, 61, 62mp2an 426 . . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
6463toponrestid 14189 . . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
65 breq1 4032 . . . . . 6 |- ( w = ( G ` z ) -> ( w # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
6665, 20, 55elrabd 2918 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. { w e. X | w # ( G ` C ) } )
6715adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> F : X --> CC )
68 elrabi 2913 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y e. X )
6968adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. X )
7067, 69ffvelcdmd 5694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` y ) e. CC )
716adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> G : Y --> X )
7232adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> C e. Y )
7371, 72ffvelcdmd 5694 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. X )
7467, 73ffvelcdmd 5694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
7570, 74subcld 8330 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
769adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> X C_ CC )
7776, 69sseldd 3180 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. CC )
7876, 73sseldd 3180 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. CC )
7977, 78subcld 8330 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) e. CC )
80 breq1 4032 . . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w # ( G ` C ) <-> y # ( G ` C ) ) )
8180elrab 2916 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } <-> ( y e. X /\ y # ( G ` C ) ) )
8281simprbi 275 . . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y # ( G ` C ) )
8382adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y # ( G ` C ) )
8477, 78, 83subap0d 8663 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) # 0 )
8575, 79, 84divclapd 8809 . . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
86 limcresi 14820 . . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C )
876feqmptd 5610 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
8887reseq1d 4941 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) )
89 ssrab2 3264 . . . . . . . . . 10 |- { w e. Y | w # C } C_ Y
90 resmpt 4990 . . . . . . . . . 10 |- ( { w e. Y | w # C } C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) )
9288, 91eqtrdi 2242 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
9392oveq1d 5933 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
9486, 93sseqtrid 3229 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
95 eqid 2193 . . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
9695, 3dvcnp2cntop 14848 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1252 . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
983, 95cnplimccntop 14824 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
9958, 32, 98syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
10097, 99mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
101100simprd 114 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
10294, 101sseldd 3180 . . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
103 dvco.bf . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
104 eqid 2193 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
105 eqid 2193 . . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 14836 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
107103, 106mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
108107simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
109 fveq2 5554 . . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
110109oveq1d 5933 . . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
111 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
112110, 111oveq12d 5936 . . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 14832 . . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
11413simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
1153mulcncntop 14722 . . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
1168, 15, 7dvcl 14837 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
117103, 116mpdan 421 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
1185, 10, 11dvcl 14837 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
1191, 118mpdan 421 . . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
120117, 119opelxpd 4692 . . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
12163toponunii 14185 . . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
122121cncnpi 14396 . . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
123115, 120, 122sylancr 414 . . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 14831 . . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
12542, 43subcld 8330 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
12658adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> Y C_ CC )
127126, 19sseldd 3180 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. CC )
128126, 33sseldd 3180 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. CC )
129127, 128subcld 8330 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
130127, 128, 47subap0d 8663 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8840 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
132 fvco3 5628 . . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
13317, 19, 132syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
134 fvco3 5628 . . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
13517, 33, 134syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
136133, 135oveq12d 5936 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
137136oveq1d 5933 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
138131, 137eqtr4d 2229 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
139138mpteq2dva 4119 . . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
140139oveq1d 5933 . . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
141124, 140eleqtrd 2272 . 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
142 eqid 2193 . . 3 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
143 fco 5419 . . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
14415, 6, 143syl2anc 411 . . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 14836 . 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
14614, 141, 145mpbir2and 946 1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   dom cdm 4659   |` cres 4661   o. ccom 4663   Rel wrel 4664   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   x. cmul 7877   - cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   abscabs 11141   ↾t crest 12850   MetOpencmopn 14037  TopOnctopon 14178   intcnt 14261   Cn ccn 14353   CnP ccnp 14354   tX ctx 14420   lim CC climc 14808   _D cdv 14809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811
This theorem is referenced by:  dvef  14873
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