Theorem dvcoapbr 13465

Description: The chain rule for derivatives at a point. The u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) hypothesis constrains what functions work for G. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcoap.gap	|- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvcoap.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcoapbr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Distinct variable groups:   u, C   u, G   u, Y

Allowed substitution hints:   ph( u)   S( u)   T( u)   F( u)   J( u)   K( u)   L( u)   X( u)

Proof of Theorem dvcoapbr

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2170	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvcoap.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2170	. . . . 5 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3157	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10	6, 9	fssd 5360	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
12	2, 3, 4, 5, 10, 11	eldvap 13445	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
14	13	simpld 111	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
16	15	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> F : X --> CC )
17	6	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> X )
18		elrabi 2883	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z e. Y )
19	18	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. Y )
20	17, 19	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. X )
21	16, 20	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
22	5, 10, 11	dvbss 13448	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
23		cnex 7898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. _V )
25	24, 5	ssexd 4129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. _V )
26		elpm2r 6644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC e. _V /\ T e. _V ) /\ ( G : Y --> CC /\ Y C_ T ) ) -> G e. ( CC ^pm T ) )
27	24, 25, 10, 11, 26	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm T ) )
28		reldvg 13442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T C_ CC /\ G e. ( CC ^pm T ) ) -> Rel ( T _D G ) )
29	5, 27, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Rel ( T _D G ) )
30		releldm 4846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
31	29, 1, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
32	22, 31	sseldd 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. Y )
33	32	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. Y )
34	17, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. X )
35	16, 34	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	21, 35	subcld 8230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
37	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> CC )
38	37, 19	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
39	37, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
40	38, 39	subcld 8230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
41	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> X C_ CC )
42	41, 20	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
43	41, 34	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
44		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
45	44	elrab 2886	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } <-> ( z e. Y /\ z # C ) )
46	45	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z # C )
47	46	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z # C )
48		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u # C <-> z # C ) )
49		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( G ` u ) = ( G ` z ) )
50	49	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( G ` u ) # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
51	48, 50	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) <-> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) ) )
52		dvcoap.gap	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
53	52	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
54	51, 53, 19	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
55	47, 54	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) # ( G ` C ) )
56	42, 43, 55	subap0d 8563	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) # 0 )
57	36, 40, 56	divclapd 8707	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
58	11, 5	sstrd 3157	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
59	10, 58, 32	dvlemap 13443	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
60		ssidd 3168	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
61	3	cntoptopon 13326	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
62		txtopon 13056	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
63	61, 61, 62	mp2an 424	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
64	63	toponrestid 12813	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
65		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` z ) -> ( w # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
66	65, 20, 55	elrabd 2888	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. { w e. X | w # ( G ` C ) } )
67	15	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> F : X --> CC )
68		elrabi 2883	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y e. X )
69	68	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. X )
70	67, 69	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` y ) e. CC )
71	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> G : Y --> X )
72	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> C e. Y )
73	71, 72	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. X )
74	67, 73	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
75	70, 74	subcld 8230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
76	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> X C_ CC )
77	76, 69	sseldd 3148	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. CC )
78	76, 73	sseldd 3148	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) e. CC )
80		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w # ( G ` C ) <-> y # ( G ` C ) ) )
81	80	elrab 2886	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } <-> ( y e. X /\ y # ( G ` C ) ) )
82	81	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y # ( G ` C ) )
83	82	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y # ( G ` C ) )
84	77, 78, 83	subap0d 8563	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) # 0 )
85	75, 79, 84	divclapd 8707	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
86		limcresi 13429	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C )
87	6	feqmptd 5549	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
88	87	reseq1d 4890	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) )
89		ssrab2 3232	. . . . . . . . . 10 |- { w e. Y | w # C } C_ Y
90		resmpt 4939	. . . . . . . . . 10 |- ( { w e. Y | w # C } C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) )
92	88, 91	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
93	92	oveq1d 5868	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
94	86, 93	sseqtrid 3197	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
95		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
96	95, 3	dvcnp2cntop 13457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
97	5, 10, 11, 31, 96	syl31anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
98	3, 95	cnplimccntop 13433	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
99	58, 32, 98	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
100	97, 99	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
101	100	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
102	94, 101	sseldd 3148	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
103		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
104		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
105		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
106	104, 3, 105, 8, 15, 7	eldvap 13445	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
107	103, 106	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
108	107	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
109		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
110	109	oveq1d 5868	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
111		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
112	110, 111	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
113	66, 85, 102, 108, 112	limccoap 13441	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
114	13	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
115	3	mulcncntop 13348	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
116	8, 15, 7	dvcl 13446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
117	103, 116	mpdan 419	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
118	5, 10, 11	dvcl 13446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
119	1, 118	mpdan 419	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
120	117, 119	opelxpd 4644	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
121	63	toponunii 12809	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
122	121	cncnpi 13022	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
123	115, 120, 122	sylancr 412	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
124	57, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123	limccnp2cntop 13440	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
125	42, 43	subcld 8230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
126	58	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> Y C_ CC )
127	126, 19	sseldd 3148	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. CC )
128	126, 33	sseldd 3148	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. CC )
129	127, 128	subcld 8230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
130	127, 128, 47	subap0d 8563	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
131	36, 125, 129, 56, 130	dmdcanap2d 8738	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
132		fvco3 5567	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
133	17, 19, 132	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
134		fvco3 5567	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
135	17, 33, 134	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
136	133, 135	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
137	136	oveq1d 5868	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
139	138	mpteq2dva 4079	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
140	139	oveq1d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
141	124, 140	eleqtrd 2249	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
142		eqid 2170	. . 3 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
143		fco 5363	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
144	15, 6, 143	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
145	2, 3, 142, 5, 144, 11	eldvap 13445	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
146	14, 141, 145	mpbir2and 939	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   dom cdm 4611   |` cres 4613   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^pm cpm 6627   CCcc 7772   x. cmul 7779   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   abscabs 10961   ↾_t crest 12579   MetOpencmopn 12779  TopOnctopon 12802   intcnt 12887   Cn ccn 12979   CnP ccnp 12980   tX ctx 13046   lim CC climc 13417   _D cdv 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pm 6629  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  dvef  13482