Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcoapbr Unicode version

Theorem dvcoapbr 13031
 Description: The chain rule for derivatives at a point. The # # hypothesis constrains what functions work for . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f
dvco.x
dvco.g
dvco.y
dvcoap.gap # #
dvcobr.s
dvcobr.t
dvco.bf
dvco.bg
dvcoap.j
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4
2 eqid 2157 . . . . 5 t t
3 dvcoap.j . . . . 5
4 eqid 2157 . . . . 5 # #
5 dvcobr.t . . . . 5
6 dvco.g . . . . . 6
7 dvco.x . . . . . . 7
8 dvcobr.s . . . . . . 7
97, 8sstrd 3138 . . . . . 6
106, 9fssd 5329 . . . . 5
11 dvco.y . . . . 5
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 13011 . . . 4 t # lim
131, 12mpbid 146 . . 3 t # lim
1413simpld 111 . 2 t
15 dvco.f . . . . . . . 8
1615adantr 274 . . . . . . 7 #
176adantr 274 . . . . . . . 8 #
18 elrabi 2865 . . . . . . . . 9 #
1918adantl 275 . . . . . . . 8 #
2017, 19ffvelrnd 5600 . . . . . . 7 #
2116, 20ffvelrnd 5600 . . . . . 6 #
225, 10, 11dvbss 13014 . . . . . . . . . 10
23 cnex 7839 . . . . . . . . . . . . . 14
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13
2524, 5ssexd 4104 . . . . . . . . . . . . 13
26 elpm2r 6604 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1221 . . . . . . . . . . . 12
28 reldvg 13008 . . . . . . . . . . . 12
295, 27, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
30 releldm 4818 . . . . . . . . . . 11
3129, 1, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
3222, 31sseldd 3129 . . . . . . . . 9
3332adantr 274 . . . . . . . 8 #
3417, 33ffvelrnd 5600 . . . . . . 7 #
3516, 34ffvelrnd 5600 . . . . . 6 #
3621, 35subcld 8169 . . . . 5 #
3710adantr 274 . . . . . . 7 #
3837, 19ffvelrnd 5600 . . . . . 6 #
3937, 33ffvelrnd 5600 . . . . . 6 #
4038, 39subcld 8169 . . . . 5 #
419adantr 274 . . . . . . 7 #
4241, 20sseldd 3129 . . . . . 6 #
4341, 34sseldd 3129 . . . . . 6 #
44 breq1 3968 . . . . . . . . . 10 # #
4544elrab 2868 . . . . . . . . 9 # #
4645simprbi 273 . . . . . . . 8 # #
4746adantl 275 . . . . . . 7 # #
48 breq1 3968 . . . . . . . . 9 # #
49 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
5049breq1d 3975 . . . . . . . . 9 # #
5148, 50imbi12d 233 . . . . . . . 8 # # # #
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 # #
5352adantr 274 . . . . . . . 8 # # #
5451, 53, 19rspcdva 2821 . . . . . . 7 # # #
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 # #
5642, 43, 55subap0d 8502 . . . . 5 # #
5736, 40, 56divclapd 8646 . . . 4 #
5811, 5sstrd 3138 . . . . 5
5910, 58, 32dvlemap 13009 . . . 4 #
60 ssidd 3149 . . . 4
613cntoptopon 12892 . . . . . 6 TopOn
62 txtopon 12622 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
6361, 61, 62mp2an 423 . . . . 5 TopOn
6463toponrestid 12379 . . . 4 t
65 breq1 3968 . . . . . 6 # #
6665, 20, 55elrabd 2870 . . . . 5 # #
6715adantr 274 . . . . . . . 8 #
68 elrabi 2865 . . . . . . . . 9 #
6968adantl 275 . . . . . . . 8 #
7067, 69ffvelrnd 5600 . . . . . . 7 #
716adantr 274 . . . . . . . . 9 #
7232adantr 274 . . . . . . . . 9 #
7371, 72ffvelrnd 5600 . . . . . . . 8 #
7467, 73ffvelrnd 5600 . . . . . . 7 #
7570, 74subcld 8169 . . . . . 6 #
769adantr 274 . . . . . . . 8 #
7776, 69sseldd 3129 . . . . . . 7 #
7876, 73sseldd 3129 . . . . . . 7 #
7977, 78subcld 8169 . . . . . 6 #
80 breq1 3968 . . . . . . . . . 10 # #
8180elrab 2868 . . . . . . . . 9 # #
8281simprbi 273 . . . . . . . 8 # #
8382adantl 275 . . . . . . 7 # #
8477, 78, 83subap0d 8502 . . . . . 6 # #
8575, 79, 84divclapd 8646 . . . . 5 #
86 limcresi 12995 . . . . . . 7 lim # lim
876feqmptd 5518 . . . . . . . . . 10
8887reseq1d 4862 . . . . . . . . 9 # #
89 ssrab2 3213 . . . . . . . . . 10 #
90 resmpt 4911 . . . . . . . . . 10 # # #
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 # #
9288, 91eqtrdi 2206 . . . . . . . 8 # #
9392oveq1d 5833 . . . . . . 7 # lim # lim
9486, 93sseqtrid 3178 . . . . . 6 lim # lim
95 eqid 2157 . . . . . . . . . 10 t t
9695, 3dvcnp2cntop 13023 . . . . . . . . 9 t
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1223 . . . . . . . 8 t
983, 95cnplimccntop 12999 . . . . . . . . 9 t lim
9958, 32, 98syl2anc 409 . . . . . . . 8 t lim
10097, 99mpbid 146 . . . . . . 7 lim
101100simprd 113 . . . . . 6 lim
10294, 101sseldd 3129 . . . . 5 # lim
103 dvco.bf . . . . . . 7
104 eqid 2157 . . . . . . . 8 t t
105 eqid 2157 . . . . . . . 8 # #
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 13011 . . . . . . 7 t # lim
107103, 106mpbid 146 . . . . . 6 t # lim
108107simprd 113 . . . . 5 # lim
109 fveq2 5465 . . . . . . 7
110109oveq1d 5833 . . . . . 6
111 oveq1 5825 . . . . . 6
112110, 111oveq12d 5836 . . . . 5
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 13007 . . . 4 # lim
11413simprd 113 . . . 4 # lim
1153mulcncntop 12914 . . . . 5
1168, 15, 7dvcl 13012 . . . . . . 7
117103, 116mpdan 418 . . . . . 6
1185, 10, 11dvcl 13012 . . . . . . 7
1191, 118mpdan 418 . . . . . 6
120117, 119opelxpd 4616 . . . . 5
12163toponunii 12375 . . . . . 6
122121cncnpi 12588 . . . . 5
123115, 120, 122sylancr 411 . . . 4
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 13006 . . 3 # lim
12542, 43subcld 8169 . . . . . . 7 #
12658adantr 274 . . . . . . . . 9 #
127126, 19sseldd 3129 . . . . . . . 8 #
128126, 33sseldd 3129 . . . . . . . 8 #
129127, 128subcld 8169 . . . . . . 7 #
130127, 128, 47subap0d 8502 . . . . . . 7 # #
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8677 . . . . . 6 #
132 fvco3 5536 . . . . . . . . 9
13317, 19, 132syl2anc 409 . . . . . . . 8 #
134 fvco3 5536 . . . . . . . . 9
13517, 33, 134syl2anc 409 . . . . . . . 8 #
136133, 135oveq12d 5836 . . . . . . 7 #
137136oveq1d 5833 . . . . . 6 #
138131, 137eqtr4d 2193 . . . . 5 #
139138mpteq2dva 4054 . . . 4 # #
140139oveq1d 5833 . . 3 # lim # lim
141124, 140eleqtrd 2236 . 2 # lim
142 eqid 2157 . . 3 # #
143 fco 5332 . . . 4
14415, 6, 143syl2anc 409 . . 3
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 13011 . 2 t # lim
14614, 141, 145mpbir2and 929 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  crab 2439  cvv 2712   wss 3102  cop 3563   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4581   cdm 4583   cres 4585   ccom 4587   wrel 4588  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818   cpm 6587  cc 7713   cmul 7720   cmin 8029   # cap 8439   cdiv 8528  cabs 10879   ↾t crest 12311  cmopn 12345  TopOnctopon 12368  cnt 12453   ccn 12545   ccnp 12546   ctx 12612   lim climc 12983   cdv 12984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837  ax-mulf 7838 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986 This theorem is referenced by:  dvef  13048
 Copyright terms: Public domain W3C validator