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Theorem dvcoapbr 14256
Description: The chain rule for derivatives at a point. The u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) hypothesis constrains what functions work for G. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f |- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x |- ( ph -> X C_ S )
dvco.g |- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y |- ( ph -> Y C_ T )
dvcoap.gap |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
dvcobr.s |- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t |- ( ph -> T C_ CC )
dvco.bf |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvcoap.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )
Distinct variable groups:   u, C   u, G   u, Y
Allowed substitution hints:   ph( u)   S( u)   T( u)   F( u)   J( u)   K( u)   L( u)   X( u)
Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2 eqid 2177 . . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3 dvcoap.j . . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4 eqid 2177 . . . . 5 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6 dvco.g . . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
97, 8sstrd 3167 . . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
106, 9fssd 5380 . . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11 dvco.y . . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 14236 . . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
131, 12mpbid 147 . . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
1413simpld 112 . 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15 dvco.f . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
1615adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> F : X --> CC )
176adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> X )
18 elrabi 2892 . . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z e. Y )
1918adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. Y )
2017, 19ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. X )
2116, 20ffvelcdmd 5654 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
225, 10, 11dvbss 14239 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
23 cnex 7937 . . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. _V )
2524, 5ssexd 4145 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. _V )
26 elpm2r 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC e. _V /\ T e. _V ) /\ ( G : Y --> CC /\ Y C_ T ) ) -> G e. ( CC ^pm T ) )
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm T ) )
28 reldvg 14233 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T C_ CC /\ G e. ( CC ^pm T ) ) -> Rel ( T _D G ) )
295, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Rel ( T _D G ) )
30 releldm 4864 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
3129, 1, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
3222, 31sseldd 3158 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. Y )
3332adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. Y )
3417, 33ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. X )
3516, 34ffvelcdmd 5654 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
3621, 35subcld 8270 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
3710adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> G : Y --> CC )
3837, 19ffvelcdmd 5654 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
3937, 33ffvelcdmd 5654 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
4038, 39subcld 8270 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
419adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> X C_ CC )
4241, 20sseldd 3158 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
4341, 34sseldd 3158 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
44 breq1 4008 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
4544elrab 2895 . . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. Y | w # C } <-> ( z e. Y /\ z # C ) )
4645simprbi 275 . . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. Y | w # C } -> z # C )
4746adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z # C )
48 breq1 4008 . . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u # C <-> z # C ) )
49 fveq2 5517 . . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( G ` u ) = ( G ` z ) )
5049breq1d 4015 . . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( G ` u ) # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
5148, 50imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) <-> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) ) )
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
5352adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> A. u e. Y ( u # C -> ( G ` u ) # ( G ` C ) ) )
5451, 53, 19rspcdva 2848 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z # C -> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) # ( G ` C ) )
5642, 43, 55subap0d 8603 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) # 0 )
5736, 40, 56divclapd 8749 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
5811, 5sstrd 3167 . . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
5910, 58, 32dvlemap 14234 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
60 ssidd 3178 . . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
613cntoptopon 14117 . . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
62 txtopon 13847 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
6361, 61, 62mp2an 426 . . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
6463toponrestid 13606 . . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
65 breq1 4008 . . . . . 6 |- ( w = ( G ` z ) -> ( w # ( G ` C ) <-> ( G ` z ) # ( G ` C ) ) )
6665, 20, 55elrabd 2897 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( G ` z ) e. { w e. X | w # ( G ` C ) } )
6715adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> F : X --> CC )
68 elrabi 2892 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y e. X )
6968adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. X )
7067, 69ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` y ) e. CC )
716adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> G : Y --> X )
7232adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> C e. Y )
7371, 72ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. X )
7467, 73ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
7570, 74subcld 8270 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
769adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> X C_ CC )
7776, 69sseldd 3158 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y e. CC )
7876, 73sseldd 3158 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( G ` C ) e. CC )
7977, 78subcld 8270 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) e. CC )
80 breq1 4008 . . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w # ( G ` C ) <-> y # ( G ` C ) ) )
8180elrab 2895 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } <-> ( y e. X /\ y # ( G ` C ) ) )
8281simprbi 275 . . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } -> y # ( G ` C ) )
8382adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> y # ( G ` C ) )
8477, 78, 83subap0d 8603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( y - ( G ` C ) ) # 0 )
8575, 79, 84divclapd 8749 . . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
86 limcresi 14220 . . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C )
876feqmptd 5571 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
8887reseq1d 4908 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) )
89 ssrab2 3242 . . . . . . . . . 10 |- { w e. Y | w # C } C_ Y
90 resmpt 4957 . . . . . . . . . 10 |- ( { w e. Y | w # C } C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) )
9288, 91eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. Y | w # C } ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
9392oveq1d 5892 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. Y | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
9486, 93sseqtrid 3207 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
95 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
9695, 3dvcnp2cntop 14248 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1241 . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
983, 95cnplimccntop 14224 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
9958, 32, 98syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
10097, 99mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
101100simprd 114 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
10294, 101sseldd 3158 . . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
103 dvco.bf . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
104 eqid 2177 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
105 eqid 2177 . . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 14236 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
107103, 106mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
108107simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. { w e. X | w # ( G ` C ) } |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
109 fveq2 5517 . . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
110109oveq1d 5892 . . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
111 oveq1 5884 . . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
112110, 111oveq12d 5895 . . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 14232 . . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
11413simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
1153mulcncntop 14139 . . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
1168, 15, 7dvcl 14237 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
117103, 116mpdan 421 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
1185, 10, 11dvcl 14237 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
1191, 118mpdan 421 . . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
120117, 119opelxpd 4661 . . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
12163toponunii 13602 . . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
122121cncnpi 13813 . . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
123115, 120, 122sylancr 414 . . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 14231 . . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
12542, 43subcld 8270 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
12658adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> Y C_ CC )
127126, 19sseldd 3158 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> z e. CC )
128126, 33sseldd 3158 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> C e. CC )
129127, 128subcld 8270 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
130127, 128, 47subap0d 8603 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8780 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
132 fvco3 5589 . . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
13317, 19, 132syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
134 fvco3 5589 . . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
13517, 33, 134syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
136133, 135oveq12d 5895 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
137136oveq1d 5892 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
138131, 137eqtr4d 2213 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. Y | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
139138mpteq2dva 4095 . . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
140139oveq1d 5892 . . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
141124, 140eleqtrd 2256 . 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
142 eqid 2177 . . 3 |- ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
143 fco 5383 . . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
14415, 6, 143syl2anc 411 . . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 14236 . 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. { w e. Y | w # C } |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
14614, 141, 145mpbir2and 944 1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   dom cdm 4628   |` cres 4630   o. ccom 4632   Rel wrel 4633   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^pm cpm 6651   CCcc 7811   x. cmul 7818   - cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631   abscabs 11008   ↾t crest 12693   MetOpencmopn 13530  TopOnctopon 13595   intcnt 13678   Cn ccn 13770   CnP ccnp 13771   tX ctx 13837   lim CC climc 14208   _D cdv 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211
This theorem is referenced by:  dvef  14273
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