Theorem elrabd 2984

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2982. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
elrabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
elrabd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
elrabd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		elrabd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
4		elrabd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	elrab 2982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
6	3, 5	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823

This theorem is used by:  2omap  7324  ctssdccl  7457  suplocexprlemru  8092  suplocexprlemloc  8094  zsupssdc  10689  hashfibclem  11303  uzwodc  12838  nninfctlemfo  12841  lcmcllem  12869  lcmledvds  12872  hashdvds  13027  phisum  13047  odzcllem  13049  pcpremul  13100  ballotfilemirc  13332  znnen  13346  ennnfonelemj0  13349  ennnfonelemg  13351  gzsumress  13770  issubmd  13839  mhmeql  13857  ghmeql  14128  asplss  15124  aspsubrg  15126  gsumbagdiaglem  15184  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  cdivcncfap  15847  cnopnap  15854  ivthinc  15886  limcdifap  15905  limcimolemlt  15907  dvcoapbr  15950  efnnfsumcl  16256  efchtqdvds  16282  dvdsppwf1o  16300  2lgslem1b  16430  incistruhgr  16553  upgr1elem1  16583  umgr1een  16588  subgruhgredgdm  16733  subumgredg2en  16734  subupgr  16736  subctctexmid  17252