Theorem elrabd 2962

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2960. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
elrabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
elrabd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
elrabd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		elrabd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
4		elrabd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	elrab 2960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
6	3, 5	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802

This theorem is referenced by:  ctssdccl  7301  suplocexprlemru  7929  suplocexprlemloc  7931  zsupssdc  10488  uzwodc  12598  nninfctlemfo  12601  lcmcllem  12629  lcmledvds  12632  phisum  12803  odzcllem  12805  pcpremul  12856  znnen  13009  ennnfonelemj0  13012  ennnfonelemg  13014  gsumress  13468  issubmd  13547  mhmeql  13565  ghmeql  13844  cdivcncfap  15318  cnopnap  15325  ivthinc  15357  limcdifap  15376  limcimolemlt  15378  dvcoapbr  15421  dvdsppwf1o  15703  2lgslem1b  15808  incistruhgr  15931  upgr1elem1  15961  2omap  16530  subctctexmid  16537