Theorem elrabd 2975

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2973. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
elrabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
elrabd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
elrabd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		elrabd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
4		elrabd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	elrab 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
6	3, 5	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815

This theorem is referenced by:  2omap  7269  ctssdccl  7402  suplocexprlemru  8034  suplocexprlemloc  8036  zsupssdc  10598  hashfibclem  11206  uzwodc  12733  nninfctlemfo  12736  lcmcllem  12764  lcmledvds  12767  hashdvds  12918  phisum  12938  odzcllem  12940  pcpremul  12991  znnen  13149  ennnfonelemj0  13152  ennnfonelemg  13154  gsumress  13608  issubmd  13687  mhmeql  13705  ghmeql  13984  cdivcncfap  15469  cnopnap  15476  ivthinc  15508  limcdifap  15527  limcimolemlt  15529  dvcoapbr  15572  dvdsppwf1o  15857  2lgslem1b  15962  incistruhgr  16085  upgr1elem1  16115  umgr1een  16120  subgruhgredgdm  16265  subumgredg2en  16266  subupgr  16268  subctctexmid  16774