Theorem elrabd 2984

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2982. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
elrabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
elrabd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
elrabd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		elrabd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
4		elrabd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	elrab 2982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
6	3, 5	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823

This theorem is used by:  2omap  7319  ctssdccl  7452  suplocexprlemru  8087  suplocexprlemloc  8089  zsupssdc  10684  hashfibclem  11298  uzwodc  12833  nninfctlemfo  12836  lcmcllem  12864  lcmledvds  12867  hashdvds  13022  phisum  13042  odzcllem  13044  pcpremul  13095  ballotfilemirc  13327  znnen  13341  ennnfonelemj0  13344  ennnfonelemg  13346  gzsumress  13765  issubmd  13834  mhmeql  13852  ghmeql  14123  asplss  15100  aspsubrg  15102  cdivcncfap  15796  cnopnap  15803  ivthinc  15835  limcdifap  15854  limcimolemlt  15856  dvcoapbr  15899  efnnfsumcl  16200  efchtqdvds  16226  dvdsppwf1o  16244  2lgslem1b  16374  incistruhgr  16497  upgr1elem1  16527  umgr1een  16532  subgruhgredgdm  16677  subumgredg2en  16678  subupgr  16680  subctctexmid  17196