Theorem znnen 12802

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3444	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 9391	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3377	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 3173	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2228	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3323	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2683	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 9390	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2564	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2237	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 9044	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6858	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 9383	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 4189	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 9303	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 8267	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2929	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 275	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		negeq 8267	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
23	22	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24		nn0negz 9408	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25		nn0cn 9307	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
26	25	negnegd 8376	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
27	26	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
28	27	ibir 177	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
29	23, 24, 28	elrabd 2931	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30		elrabi 2926	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32	31	zcnd 9498	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
33	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34		negcon2 8327	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6864	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37		nn0ennn 10580	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
38	36, 37	entri 6880	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39		inrab2 3446	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40		incom 3365	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41		rabeq0 3490	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42		0red 8075	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
44	43	nnred 9051	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45		nngt0 9063	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47		nn0ge0 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
49	44	le0neg1d 8592	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8498	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
52	42	ltnrd 8186	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
53	51, 52	pm2.65da 663	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
54	53, 4	eleq2s 2300	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
55	41, 54	mprgbir 2564	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2234	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57		unennn 12801	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1350	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
59	12, 58	eqbrtri 4066	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   class class class wbr 4045   ~~ cen 6827   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   -ucneg 8246   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-er 6622  df-en 6830  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-n0 9298  df-z 9375  df-q 9743  df-rp 9778  df-fl 10415  df-mod 10470  df-dvds 12132

This theorem is referenced by:  qnnen  12835