ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen Unicode version

Theorem znnen 11293
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3268 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
2 nnssz 8737 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
3 dfss1 3202 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  <->  ( ZZ  i^i  NN )  =  NN )
42, 3mpbi 143 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  NN
5 dfin5 3004 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  {
z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }
64, 5eqtr3i 2110 . . . 4  |-  NN  =  { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }
76uneq1i 3148 . . 3  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)
8 rabid2 2543 . . . 4  |-  ( ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }  <->  A. z  e.  ZZ  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) )
9 elznn 8736 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  <->  ( z  e.  RR  /\  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) ) )
109simprbi 269 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 )
)
118, 10mprgbir 2433 . . 3  |-  ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
121, 7, 113eqtr4ri 2119 . 2  |-  ZZ  =  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
13 nnex 8400 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1413enref 6462 . . 3  |-  NN  ~~  NN
15 zex 8729 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1615rabex 3975 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  e.  _V
17 nn0ex 8649 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
18 negeq 7654 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u z  =  -u x )
1918eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u x  e. 
NN0 ) )
2019elrab 2769 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  -u x  e.  NN0 ) )
2120simprbi 269 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  -u x  e.  NN0 )
22 negeq 7654 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  -u z  =  -u -u y )
2322eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u -u y  e.  NN0 ) )
24 nn0negz 8754 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  ZZ )
25 nn0cn 8653 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  CC )
2625negnegd 7763 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  =  y )
2726eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
2827ibir 175 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  e.  NN0 )
2923, 24, 28elrabd 2771 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
30 elrabi 2766 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  x  e.  ZZ )
3130adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
3231zcnd 8839 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
3325adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
y  e.  CC )
34 negcon2 7714 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3616, 17, 21, 29, 35en3i 6468 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN0
37 nn0ennn 9805 . . . 4  |-  NN0  ~~  NN
3836, 37entri 6483 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN
39 inrab2 3270 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  {
z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }
40 incom 3190 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
41 rabeq0 3310 . . . . 5  |-  ( { z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)  <->  A. z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  -.  -u z  e.  NN0 )
42 0red 7468 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
43 simpl 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  NN )
4443nnred 8407 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  RR )
45 nngt0 8419 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
4645adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  z )
47 nn0ge0 8668 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u z )
4847adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <_  -u z )
4944le0neg1d 7971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -u z ) )
5048, 49mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  <_  0 )
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 7880 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  0 )
5242ltnrd 7575 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  -.  0  <  0
)
5351, 52pm2.65da 622 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5453, 4eleq2s 2182 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5541, 54mprgbir 2433 . . . 4  |-  { z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)
5639, 40, 553eqtr3i 2116 . . 3  |-  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/)
57 unennn 11292 . . 3  |-  ( ( NN  ~~  NN  /\  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN  /\  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/) )  -> 
( NN  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)  ~~  NN )
5814, 38, 56, 57mp3an 1273 . 2  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  ~~  NN
5912, 58eqbrtri 3856 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   class class class wbr 3837    ~~ cen 6435   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329    < clt 7501    <_ cle 7502   -ucneg 7633   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-dvds 10879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator