Theorem znnen 12401

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3408	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 9272	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3341	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 3138	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2200	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3287	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2654	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 9271	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2535	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2209	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 8927	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6767	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 9264	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 4149	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 9184	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2895	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 275	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		negeq 8152	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
23	22	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24		nn0negz 9289	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25		nn0cn 9188	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
26	25	negnegd 8261	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
27	26	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
28	27	ibir 177	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
29	23, 24, 28	elrabd 2897	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30		elrabi 2892	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32	31	zcnd 9378	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
33	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34		negcon2 8212	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6773	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37		nn0ennn 10435	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
38	36, 37	entri 6788	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39		inrab2 3410	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40		incom 3329	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41		rabeq0 3454	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42		0red 7960	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
44	43	nnred 8934	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45		nngt0 8946	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47		nn0ge0 9203	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
49	44	le0neg1d 8476	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8382	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
52	42	ltnrd 8071	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
53	51, 52	pm2.65da 661	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
54	53, 4	eleq2s 2272	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
55	41, 54	mprgbir 2535	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2206	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57		unennn 12400	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1337	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
59	12, 58	eqbrtri 4026	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   u. cun 3129   i^i cin 3130   C_ wss 3131   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   ~~ cen 6740   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   -ucneg 8131   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  qnnen  12434