ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen Unicode version

Theorem znnen 11750
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3311 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
2 nnssz 8969 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
3 dfss1 3244 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  <->  ( ZZ  i^i  NN )  =  NN )
42, 3mpbi 144 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  NN
5 dfin5 3042 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  {
z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }
64, 5eqtr3i 2135 . . . 4  |-  NN  =  { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }
76uneq1i 3190 . . 3  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)
8 rabid2 2579 . . . 4  |-  ( ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }  <->  A. z  e.  ZZ  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) )
9 elznn 8968 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  <->  ( z  e.  RR  /\  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) ) )
109simprbi 271 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 )
)
118, 10mprgbir 2462 . . 3  |-  ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
121, 7, 113eqtr4ri 2144 . 2  |-  ZZ  =  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
13 nnex 8630 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1413enref 6611 . . 3  |-  NN  ~~  NN
15 zex 8961 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1615rabex 4030 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  e.  _V
17 nn0ex 8881 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
18 negeq 7872 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u z  =  -u x )
1918eleq1d 2181 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u x  e. 
NN0 ) )
2019elrab 2807 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  -u x  e.  NN0 ) )
2120simprbi 271 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  -u x  e.  NN0 )
22 negeq 7872 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  -u z  =  -u -u y )
2322eleq1d 2181 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u -u y  e.  NN0 ) )
24 nn0negz 8986 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  ZZ )
25 nn0cn 8885 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  CC )
2625negnegd 7981 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  =  y )
2726eleq1d 2181 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
2827ibir 176 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  e.  NN0 )
2923, 24, 28elrabd 2809 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
30 elrabi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  x  e.  ZZ )
3130adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
3231zcnd 9072 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
3325adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
y  e.  CC )
34 negcon2 7932 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3616, 17, 21, 29, 35en3i 6617 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN0
37 nn0ennn 10093 . . . 4  |-  NN0  ~~  NN
3836, 37entri 6632 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN
39 inrab2 3313 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  {
z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }
40 incom 3232 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
41 rabeq0 3356 . . . . 5  |-  ( { z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)  <->  A. z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  -.  -u z  e.  NN0 )
42 0red 7685 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
43 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  NN )
4443nnred 8637 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  RR )
45 nngt0 8649 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
4645adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  z )
47 nn0ge0 8900 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u z )
4847adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <_  -u z )
4944le0neg1d 8192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -u z ) )
5048, 49mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  <_  0 )
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 8098 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  0 )
5242ltnrd 7792 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  -.  0  <  0
)
5351, 52pm2.65da 633 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5453, 4eleq2s 2207 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5541, 54mprgbir 2462 . . . 4  |-  { z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)
5639, 40, 553eqtr3i 2141 . . 3  |-  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/)
57 unennn 11749 . . 3  |-  ( ( NN  ~~  NN  /\  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN  /\  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/) )  -> 
( NN  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)  ~~  NN )
5814, 38, 56, 57mp3an 1296 . 2  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  ~~  NN
5912, 58eqbrtri 3912 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1312    e. wcel 1461   {crab 2392    u. cun 3033    i^i cin 3034    C_ wss 3035   (/)c0 3327   class class class wbr 3893    ~~ cen 6584   CCcc 7539   RRcr 7540   0cc0 7541    < clt 7718    <_ cle 7719   -ucneg 7851   NNcn 8624   NN0cn0 8875   ZZcz 8952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-xor 1335  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-er 6381  df-en 6587  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953  df-q 9308  df-rp 9338  df-fl 9930  df-mod 9983  df-dvds 11336
This theorem is referenced by:  qnnen  11783
  Copyright terms: Public domain W3C validator