Theorem znnen 13009

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3476	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 9486	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3409	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 3205	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2252	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3355	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2708	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 9485	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2588	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2261	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 9139	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6933	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 9478	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 4232	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 9398	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 8362	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2960	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 275	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		negeq 8362	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
23	22	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24		nn0negz 9503	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25		nn0cn 9402	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
26	25	negnegd 8471	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
27	26	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
28	27	ibir 177	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
29	23, 24, 28	elrabd 2962	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30		elrabi 2957	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32	31	zcnd 9593	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
33	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34		negcon2 8422	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6939	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37		nn0ennn 10685	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
38	36, 37	entri 6955	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39		inrab2 3478	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40		incom 3397	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41		rabeq0 3522	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42		0red 8170	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
44	43	nnred 9146	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45		nngt0 9158	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47		nn0ge0 9417	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
49	44	le0neg1d 8687	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8593	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
52	42	ltnrd 8281	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
53	51, 52	pm2.65da 665	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
54	53, 4	eleq2s 2324	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
55	41, 54	mprgbir 2588	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2258	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57		unennn 13008	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1371	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
59	12, 58	eqbrtri 4107	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   class class class wbr 4086   ~~ cen 6902   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   < clt 8204   <_ cle 8205   -ucneg 8341   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-er 6697  df-en 6905  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520  df-mod 10575  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  qnnen  13042