ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen Unicode version
Theorem znnen 13347
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen |- ZZ ~~ NN
Proof of Theorem znnen
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3504 . . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2 nnssz 9672 . . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3 dfss1 3435 . . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
42, 3mpbi 145 . . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5 dfin5 3227 . . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
64, 5eqtr3i 2261 . . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
76uneq1i 3379 . . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8 rabid2 2729 . . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9 elznn 9671 . . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
109simprbi 275 . . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
118, 10mprgbir 2608 . . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
121, 7, 113eqtr4ri 2270 . 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13 nnex 9319 . . . 4 |- NN e. _V
1413enref 7055 . . 3 |- NN ~~ NN
15 zex 9664 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
1615rabex 4282 . . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17 nn0ex 9580 . . . . 5 |- NN0 e. _V
18 negeq 8526 . . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
1918eleq1d 2307 . . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
2019elrab 2982 . . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
2120simprbi 275 . . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22 negeq 8526 . . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
2322eleq1d 2307 . . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24 nn0negz 9689 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25 nn0cn 9584 . . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
2625negnegd 8635 . . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
2726eleq1d 2307 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
2827ibir 177 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
2923, 24, 28elrabd 2984 . . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30 elrabi 2979 . . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
3130adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
3231zcnd 9780 . . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
3325adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34 negcon2 8586 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
3532, 33, 34syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
3616, 17, 21, 29, 35en3i 7061 . . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37 nn0ennn 10891 . . . 4 |- NN0 ~~ NN
3836, 37entri 7077 . . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39 inrab2 3506 . . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40 incom 3421 . . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41 rabeq0 3552 . . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42 0red 8333 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
4443nnred 9326 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45 nngt0 9338 . . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
4645adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47 nn0ge0 9599 . . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
4847adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
4944le0neg1d 8852 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
5048, 49mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 8758 . . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
5242ltnrd 8444 . . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
5351, 52pm2.65da 671 . . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
5453, 4eleq2s 2333 . . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
5541, 54mprgbir 2608 . . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
5639, 40, 553eqtr3i 2267 . . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57 unennn 13346 . . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
5814, 38, 56, 57mp3an 1378 . 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
5912, 58eqbrtri 4152 1 |- ZZ ~~ NN
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4131   ~~ cen 7024   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   -ucneg 8505   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722  df-mod 10781  df-dvds 12580
This theorem is used by:  qnnen  13380
  Copyright terms: Public domain W3C validator