Theorem znnen 12353

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3398	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 9229	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3331	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 144	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 3128	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2193	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3277	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2646	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 9228	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 273	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2528	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2202	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 8884	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6743	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 9221	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 4133	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 9141	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 8112	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2886	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 273	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		negeq 8112	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
23	22	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24		nn0negz 9246	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25		nn0cn 9145	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
26	25	negnegd 8221	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
27	26	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
28	27	ibir 176	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
29	23, 24, 28	elrabd 2888	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30		elrabi 2883	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
31	30	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32	31	zcnd 9335	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
33	25	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34		negcon2 8172	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6749	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37		nn0ennn 10389	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
38	36, 37	entri 6764	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39		inrab2 3400	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40		incom 3319	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41		rabeq0 3444	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42		0red 7921	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
44	43	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45		nngt0 8903	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
46	45	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47		nn0ge0 9160	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
49	44	le0neg1d 8436	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
50	48, 49	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8342	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
52	42	ltnrd 8031	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
53	51, 52	pm2.65da 656	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
54	53, 4	eleq2s 2265	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
55	41, 54	mprgbir 2528	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2199	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57		unennn 12352	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1332	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
59	12, 58	eqbrtri 4010	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ~~ cen 6716   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   <_ cle 7955   -ucneg 8091   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  qnnen  12386