ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen Unicode version

Theorem znnen 12366
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3404 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
2 nnssz 9243 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
3 dfss1 3337 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  <->  ( ZZ  i^i  NN )  =  NN )
42, 3mpbi 145 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  NN
5 dfin5 3134 . . . . 5  |-  ( ZZ 
i^i  NN )  =  {
z  e.  ZZ  | 
z  e.  NN }
64, 5eqtr3i 2198 . . . 4  |-  NN  =  { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }
76uneq1i 3283 . . 3  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  NN }  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)
8 rabid2 2651 . . . 4  |-  ( ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }  <->  A. z  e.  ZZ  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) )
9 elznn 9242 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  <->  ( z  e.  RR  /\  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) ) )
109simprbi 275 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 )
)
118, 10mprgbir 2533 . . 3  |-  ZZ  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  e.  NN  \/  -u z  e.  NN0 ) }
121, 7, 113eqtr4ri 2207 . 2  |-  ZZ  =  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
13 nnex 8898 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1413enref 6755 . . 3  |-  NN  ~~  NN
15 zex 9235 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1615rabex 4142 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  e.  _V
17 nn0ex 9155 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
18 negeq 8124 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u z  =  -u x )
1918eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u x  e. 
NN0 ) )
2019elrab 2891 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  -u x  e.  NN0 ) )
2120simprbi 275 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  -u x  e.  NN0 )
22 negeq 8124 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  -u z  =  -u -u y )
2322eleq1d 2244 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u z  e.  NN0  <->  -u -u y  e.  NN0 ) )
24 nn0negz 9260 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  ZZ )
25 nn0cn 9159 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  CC )
2625negnegd 8233 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  =  y )
2726eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
2827ibir 177 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u -u y  e.  NN0 )
2923, 24, 28elrabd 2893 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  -u y  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
30 elrabi 2888 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ->  x  e.  ZZ )
3130adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
3231zcnd 9349 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
3325adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
y  e.  CC )
34 negcon2 8184 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
3616, 17, 21, 29, 35en3i 6761 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN0
37 nn0ennn 10403 . . . 4  |-  NN0  ~~  NN
3836, 37entri 6776 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN
39 inrab2 3406 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  {
z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }
40 incom 3325 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )
41 rabeq0 3450 . . . . 5  |-  ( { z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)  <->  A. z  e.  ( ZZ 
i^i  NN )  -.  -u z  e.  NN0 )
42 0red 7933 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
43 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  NN )
4443nnred 8905 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  e.  RR )
45 nngt0 8917 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
4645adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  z )
47 nn0ge0 9174 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u z )
4847adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <_  -u z )
4944le0neg1d 8448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -u z ) )
5048, 49mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  z  <_  0 )
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 8354 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  0  <  0 )
5242ltnrd 8043 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  e.  NN0 )  ->  -.  0  <  0
)
5351, 52pm2.65da 661 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5453, 4eleq2s 2270 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  ->  -.  -u z  e.  NN0 )
5541, 54mprgbir 2533 . . . 4  |-  { z  e.  ( ZZ  i^i  NN )  |  -u z  e.  NN0 }  =  (/)
5639, 40, 553eqtr3i 2204 . . 3  |-  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/)
57 unennn 12365 . . 3  |-  ( ( NN  ~~  NN  /\  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }  ~~  NN  /\  ( NN 
i^i  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  =  (/) )  -> 
( NN  u.  {
z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 }
)  ~~  NN )
5814, 38, 56, 57mp3an 1337 . 2  |-  ( NN  u.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  NN0 } )  ~~  NN
5912, 58eqbrtri 4019 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146   {crab 2457    u. cun 3125    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3420   class class class wbr 3998    ~~ cen 6728   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786    < clt 7966    <_ cle 7967   -ucneg 8103   NNcn 8892   NN0cn0 9149   ZZcz 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-er 6525  df-en 6731  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-n0 9150  df-z 9227  df-q 9593  df-rp 9625  df-fl 10240  df-mod 10293  df-dvds 11763
This theorem is referenced by:  qnnen  12399
  Copyright terms: Public domain W3C validator