Theorem znnen 11293

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3268	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 8737	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3202	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 143	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 3004	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2110	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3148	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2543	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 8736	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 269	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2433	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2119	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 8400	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6462	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 8729	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 3975	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 8649	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 7654	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2769	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 269	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		negeq 7654	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
23	22	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
24		nn0negz 8754	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
25		nn0cn 8653	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
26	25	negnegd 7763	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
27	26	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
28	27	ibir 175	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
29	23, 24, 28	elrabd 2771	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
30		elrabi 2766	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
31	30	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32	31	zcnd 8839	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
33	25	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
34		negcon2 7714	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6468	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
37		nn0ennn 9805	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
38	36, 37	entri 6483	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
39		inrab2 3270	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
40		incom 3190	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
41		rabeq0 3310	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
42		0red 7468	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
43		simpl 107	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
44	43	nnred 8407	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
45		nngt0 8419	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
46	45	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
47		nn0ge0 8668	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
48	47	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
49	44	le0neg1d 7971	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
50	48, 49	mpbird 165	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 7880	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
52	42	ltnrd 7575	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
53	51, 52	pm2.65da 622	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
54	53, 4	eleq2s 2182	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
55	41, 54	mprgbir 2433	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2116	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
57		unennn 11292	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1273	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
59	12, 58	eqbrtri 3856	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   {crab 2363   u. cun 2995   i^i cin 2996   C_ wss 2997   (/)c0 3284   class class class wbr 3837   ~~ cen 6435   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   < clt 7501   <_ cle 7502   -ucneg 7633   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-dvds 10879

This theorem is referenced by: (None)