ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhmeql Unicode version
Theorem mhmeql 13638
Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMnd ` S ) )
Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
31, 2mhmf 13611 . . . . 5 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
43adantr 276 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
54ffnd 5490 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
61, 2mhmf 13611 . . . . 5 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
76adantl 277 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
87ffnd 5490 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G Fn ( Base ` S ) )
9 fndmin 5763 . . 3 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
105, 8, 9syl2anc 411 . 2 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
11 ssrab2 3313 . . . 4 |- { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S )
1211a1i 9 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) )
13 fveq2 5648 . . . . 5 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) )
14 fveq2 5648 . . . . 5 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) )
1513, 14eqeq12d 2246 . . . 4 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
16 mhmrcl1 13609 . . . . . 6 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )
1716adantr 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd )
18 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
191, 18mndidcl 13576 . . . . 5 |- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
2017, 19syl 14 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
21 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
2218, 21mhm0 13614 . . . . . 6 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2322adantr 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2418, 21mhm0 13614 . . . . . 6 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2524adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2623, 25eqtr4d 2267 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) )
2715, 20, 26elrabd 2965 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
28 fveq2 5648 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
29 fveq2 5648 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
3028, 29eqeq12d 2246 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
3117ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> S e. Mnd )
32 simplrl 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
33 simprl 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
34 eqid 2231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
351, 34mndcl 13569 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
3631, 32, 33, 35syl3anc 1274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
37 simplll 535 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> F e. ( S MndHom T ) )
38 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
391, 34, 38mhmlin 13613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
4037, 32, 33, 39syl3anc 1274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
41 simpllr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> G e. ( S MndHom T ) )
421, 34, 38mhmlin 13613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
4341, 32, 33, 42syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
44 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
45 simprr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` y ) )
4644, 45oveq12d 6046 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
4743, 46eqtr4d 2267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
4840, 47eqtr4d 2267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
4930, 36, 48elrabd 2965 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
5049expr 375 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5150ralrimiva 2606 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
52 fveq2 5648 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
53 fveq2 5648 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
5452, 53eqeq12d 2246 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) )
5554ralrab 2968 . . . . . . 7 |- ( A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5651, 55sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
5756expr 375 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5857ralrimiva 2606 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
59 fveq2 5648 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
60 fveq2 5648 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
6159, 60eqeq12d 2246 . . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
6261ralrab 2968 . . . 4 |- ( A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
6358, 62sylibr 134 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
641, 18, 34issubm 13618 . . . 4 |- ( S e. Mnd -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
6517, 64syl 14 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
6612, 27, 63, 65mpbir3and 1207 . 2 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) )
6710, 66eqeltrd 2308 1 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMnd ` S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   i^i cin 3200   C_ wss 3201   dom cdm 4731   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   Mndcmnd 13562   MndHom cmhm 13603  SubMndcsubmnd 13604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mhm 13605  df-submnd 13606
This theorem is referenced by:  ghmeql  13917  rhmeql  14328
  Copyright terms: Public domain W3C validator