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Theorem mhmeql 12876
Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMnd ` S ) )
Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . 6 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2 eqid 2177 . . . . . 6 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
31, 2mhmf 12856 . . . . 5 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
43adantr 276 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
54ffnd 5367 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
61, 2mhmf 12856 . . . . 5 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
76adantl 277 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
87ffnd 5367 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G Fn ( Base ` S ) )
9 fndmin 5624 . . 3 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
105, 8, 9syl2anc 411 . 2 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
11 ssrab2 3241 . . . 4 |- { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S )
1211a1i 9 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) )
13 fveq2 5516 . . . . 5 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) )
14 fveq2 5516 . . . . 5 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) )
1513, 14eqeq12d 2192 . . . 4 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
16 mhmrcl1 12854 . . . . . 6 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )
1716adantr 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd )
18 eqid 2177 . . . . . 6 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
191, 18mndidcl 12831 . . . . 5 |- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
2017, 19syl 14 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
21 eqid 2177 . . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
2218, 21mhm0 12859 . . . . . 6 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2322adantr 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2418, 21mhm0 12859 . . . . . 6 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2524adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
2623, 25eqtr4d 2213 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) )
2715, 20, 26elrabd 2896 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
28 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
29 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
3028, 29eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
3117ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> S e. Mnd )
32 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
33 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
34 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
351, 34mndcl 12824 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
3631, 32, 33, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
37 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> F e. ( S MndHom T ) )
38 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
391, 34, 38mhmlin 12858 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
4037, 32, 33, 39syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
41 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> G e. ( S MndHom T ) )
421, 34, 38mhmlin 12858 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
4341, 32, 33, 42syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
44 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` y ) )
4644, 45oveq12d 5893 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
4743, 46eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
4840, 47eqtr4d 2213 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
4930, 36, 48elrabd 2896 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
5049expr 375 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5150ralrimiva 2550 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
52 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
53 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
5452, 53eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) )
5554ralrab 2899 . . . . . . 7 |- ( A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5651, 55sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
5756expr 375 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5857ralrimiva 2550 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
59 fveq2 5516 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
60 fveq2 5516 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
6159, 60eqeq12d 2192 . . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
6261ralrab 2899 . . . 4 |- ( A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
6358, 62sylibr 134 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
641, 18, 34issubm 12863 . . . 4 |- ( S e. Mnd -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
6517, 64syl 14 . . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
6612, 27, 63, 65mpbir3and 1180 . 2 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMnd ` S ) )
6710, 66eqeltrd 2254 1 |- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMnd ` S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   i^i cin 3129   C_ wss 3130   dom cdm 4627   Fn wfn 5212   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   0gc0g 12705   Mndcmnd 12817   MndHom cmhm 12849  SubMndcsubmnd 12850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-mhm 12851  df-submnd 12852
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