Theorem cdivcncfap 15109

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	|- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdivcncfap	|- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap

Dummy variables w z a b d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdivcncf.1	. 2 |- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> A e. CC )
3		breq1 4048	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2929	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
7	6	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x e. CC )
8	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x # 0 )
9	2, 7, 8	divrecapd 8868	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( A / x ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
10	9	mpteq2dva 4135	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
11		recclap 8754	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
12	4, 11	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / x ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
14		oveq2 5954	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 1 / w ) = ( 1 / x ) )
15	14	cbvmptv 4141	. . . . . 6 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) )
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) ) )
17		eqidd 2206	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) )
18		oveq2 5954	. . . . 5 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( A x. z ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
19	13, 16, 17, 18	fmptco 5748	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
20		breq1 4048	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y # 0 <-> w # 0 ) )
21	20	elrab 2929	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
22		recclap 8754	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. CC /\ w # 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
25	24	fmpttd 5737	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC )
26		breq1 4048	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y # 0 <-> b # 0 ) )
27	26	elrab 2929	. . . . . . . 8 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( b e. CC /\ b # 0 ) )
28		eqid 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) )
29	28	reccn2ap 11657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
30		eqidd 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) )
31		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = a ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> a e. { y e. CC | y # 0 } )
34		breq1 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> ( y # 0 <-> a # 0 ) )
35	34	elrab 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
36		recclap 8754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 ) -> ( 1 / a ) e. CC )
37	35, 36	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / a ) e. CC )
39	30, 32, 33, 38	fvmptd 5662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
40		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = b -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = b ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
42		simpll1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. CC )
43		simpll2 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b # 0 )
44	26, 42, 43	elrabd 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. { y e. CC | y # 0 } )
45	42, 43	recclapd 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / b ) e. CC )
46	30, 41, 44, 45	fvmptd 5662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) = ( 1 / b ) )
47	39, 46	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) = ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) )
48	47	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) )
49	48	breq1d 4055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
50	49	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
51	50	ralbidva 2502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
52	51	rexbidva 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
53	29, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
54	53	3expa 1206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
55	54	ralrimiva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
56	27, 55	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
57	56	rgen 2559	. . . . . 6 |- A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e )
58		ssrab2 3278	. . . . . . 7 |- { y e. CC | y # 0 } C_ CC
59		ssid 3213	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
60		elcncf2 15079	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. CC | y # 0 } C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) ) )
61	58, 59, 60	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) )
62	25, 57, 61	sylanblrc 416	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
63		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) )
64	63	mulc1cncf 15094	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64	cncfco 15096	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
66	19, 65	eqeltrrd 2283	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
67	10, 66	eqeltrd 2282	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
68	1, 67	eqeltrid 2292	1 |- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   C_ wss 3166   {cpr 3634   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   o. ccom 4680   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  infcinf 7087   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   x. cmul 7932   < clt 8109   - cmin 8245   # cap 8656   / cdiv 8747   2c2 9089   RR+crp 9777   abscabs 11341   -cn->ccncf 15075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-map 6739  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-cncf 15076

This theorem is referenced by:  divcncfap  15119  dvrecap  15218