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Theorem cdivcncfap 13302
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables  w  z  a  b  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
2 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  A  e.  CC )
3 breq1 3990 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y #  0  <->  x #  0
) )
43elrab 2886 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
54biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
76simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x  e.  CC )
86simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x #  0 )
92, 7, 8divrecapd 8697 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  ( A  /  x )  =  ( A  x.  (
1  /  x ) ) )
109mpteq2dva 4077 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  (
1  /  x ) ) ) )
11 recclap 8583 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
124, 11sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
1312adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
14 oveq2 5858 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  x ) )
1514cbvmptv 4083 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  x ) )
1615a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  x
) ) )
17 eqidd 2171 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) ) )
18 oveq2 5858 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  ( A  x.  z )  =  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) )
1913, 16, 17, 18fmptco 5659 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
20 breq1 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y #  0  <->  w #  0
) )
2120elrab 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
22 recclap 8583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w #  0 )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2321, 22sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
2423adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2524fmpttd 5648 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) : { y  e.  CC  |  y #  0 } --> CC )
26 breq1 3990 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y #  0  <->  b #  0
) )
2726elrab 2886 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( b  e.  CC  /\  b #  0 ) )
28 eqid 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b
)  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b )  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2
) )
2928reccn2ap 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) )
30 eqidd 2171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) )  =  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )
31 oveq2 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  a  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
a ) )
3231adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  a )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  a
) )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
34 breq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  a  ->  (
y #  0  <->  a #  0
) )
3534elrab 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
36 recclap 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  ->  (
1  /  a )  e.  CC )
3735, 36sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
a )  e.  CC )
3930, 32, 33, 38fvmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
40 oveq2 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  b  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
b ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  b )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  b
) )
42 simpll1 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  CC )
43 simpll2 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b #  0 )
4426, 42, 43elrabd 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
4542, 43recclapd 8685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
b )  e.  CC )
4630, 41, 44, 45fvmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b )  =  ( 1  /  b ) )
4739, 46oveq12d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) )  =  ( ( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )
4847fveq2d 5498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) ) )
4948breq1d 3997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  -  (
( w  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  / 
b ) ) )  <  e ) )
5049imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) )  <  e
) ) )
5150ralbidva 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5251rexbidva 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5329, 52mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
54533expa 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5554ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5627, 55sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5756rgen 2523 . . . . . 6  |-  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )
58 ssrab2 3232 . . . . . . 7  |-  { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC
59 ssid 3167 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
60 elcncf2 13276 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) ) )
6158, 59, 60mp2an 424 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) )
6225, 57, 61sylanblrc 414 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
63 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )
6463mulc1cncf 13291 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6562, 64cncfco 13293 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  | 
y #  0 } -cn-> CC ) )
6619, 65eqeltrrd 2248 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
6710, 66eqeltrd 2247 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
681, 67eqeltrid 2257 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   {cpr 3582   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048    o. ccom 4613   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850  infcinf 6956   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762    x. cmul 7766    < clt 7941    - cmin 8077   # cap 8487    / cdiv 8576   2c2 8916   RR+crp 9597   abscabs 10948   -cn->ccncf 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-map 6624  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-cncf 13273
This theorem is referenced by:  dvrecap  13392
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