Theorem cdivcncfap 15486

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	|- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdivcncfap	|- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap

Dummy variables w z a b d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdivcncf.1	. 2 |- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> A e. CC )
3		breq1 4114	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2975	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
7	6	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x e. CC )
8	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x # 0 )
9	2, 7, 8	divrecapd 9069	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( A / x ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
10	9	mpteq2dva 4202	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
11		recclap 8955	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
12	4, 11	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / x ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
14		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 1 / w ) = ( 1 / x ) )
15	14	cbvmptv 4208	. . . . . 6 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) )
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) ) )
17		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) )
18		oveq2 6060	. . . . 5 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( A x. z ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
19	13, 16, 17, 18	fmptco 5845	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
20		breq1 4114	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y # 0 <-> w # 0 ) )
21	20	elrab 2975	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
22		recclap 8955	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. CC /\ w # 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
25	24	fmpttd 5834	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC )
26		breq1 4114	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y # 0 <-> b # 0 ) )
27	26	elrab 2975	. . . . . . . 8 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( b e. CC /\ b # 0 ) )
28		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) )
29	28	reccn2ap 12002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
30		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) )
31		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = a ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> a e. { y e. CC | y # 0 } )
34		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> ( y # 0 <-> a # 0 ) )
35	34	elrab 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
36		recclap 8955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 ) -> ( 1 / a ) e. CC )
37	35, 36	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / a ) e. CC )
39	30, 32, 33, 38	fvmptd 5760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
40		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = b -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = b ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
42		simpll1 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. CC )
43		simpll2 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b # 0 )
44	26, 42, 43	elrabd 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. { y e. CC | y # 0 } )
45	42, 43	recclapd 9057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / b ) e. CC )
46	30, 41, 44, 45	fvmptd 5760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) = ( 1 / b ) )
47	39, 46	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) = ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) )
48	47	fveq2d 5676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) )
49	48	breq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
50	49	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
51	50	ralbidva 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
52	51	rexbidva 2541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
53	29, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
54	53	3expa 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
55	54	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
56	27, 55	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
57	56	rgen 2597	. . . . . 6 |- A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e )
58		ssrab2 3325	. . . . . . 7 |- { y e. CC | y # 0 } C_ CC
59		ssid 3260	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
60		elcncf2 15456	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. CC | y # 0 } C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) ) )
61	58, 59, 60	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) )
62	25, 57, 61	sylanblrc 416	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
63		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) )
64	63	mulc1cncf 15471	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64	cncfco 15473	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
66	19, 65	eqeltrrd 2312	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
67	10, 66	eqeltrd 2311	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
68	1, 67	eqeltrid 2321	1 |- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   C_ wss 3213   {cpr 3692   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   o. ccom 4755   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052  infcinf 7276   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   x. cmul 8134   < clt 8310   - cmin 8446   # cap 8857   / cdiv 8948   2c2 9290   RR+crp 9989   abscabs 11686   -cn->ccncf 15452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-map 6886  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-rp 9990  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-cncf 15453

This theorem is referenced by:  divcncfap  15496  dvrecap  15595