Theorem cdivcncfap 15278

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	|- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdivcncfap	|- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap

Dummy variables w z a b d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdivcncf.1	. 2 |- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> A e. CC )
3		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2959	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
7	6	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x e. CC )
8	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x # 0 )
9	2, 7, 8	divrecapd 8940	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( A / x ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
10	9	mpteq2dva 4174	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
11		recclap 8826	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
12	4, 11	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / x ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
14		oveq2 6009	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 1 / w ) = ( 1 / x ) )
15	14	cbvmptv 4180	. . . . . 6 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) )
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) ) )
17		eqidd 2230	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) )
18		oveq2 6009	. . . . 5 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( A x. z ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
19	13, 16, 17, 18	fmptco 5801	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
20		breq1 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y # 0 <-> w # 0 ) )
21	20	elrab 2959	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
22		recclap 8826	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. CC /\ w # 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
25	24	fmpttd 5790	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC )
26		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y # 0 <-> b # 0 ) )
27	26	elrab 2959	. . . . . . . 8 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( b e. CC /\ b # 0 ) )
28		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) )
29	28	reccn2ap 11824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
30		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) )
31		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = a ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> a e. { y e. CC | y # 0 } )
34		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> ( y # 0 <-> a # 0 ) )
35	34	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
36		recclap 8826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 ) -> ( 1 / a ) e. CC )
37	35, 36	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / a ) e. CC )
39	30, 32, 33, 38	fvmptd 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
40		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = b -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = b ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
42		simpll1 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. CC )
43		simpll2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b # 0 )
44	26, 42, 43	elrabd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. { y e. CC | y # 0 } )
45	42, 43	recclapd 8928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / b ) e. CC )
46	30, 41, 44, 45	fvmptd 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) = ( 1 / b ) )
47	39, 46	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) = ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) )
48	47	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) )
49	48	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
50	49	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
51	50	ralbidva 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
52	51	rexbidva 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
53	29, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
54	53	3expa 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
55	54	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
56	27, 55	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
57	56	rgen 2583	. . . . . 6 |- A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e )
58		ssrab2 3309	. . . . . . 7 |- { y e. CC | y # 0 } C_ CC
59		ssid 3244	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
60		elcncf2 15248	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. CC | y # 0 } C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) ) )
61	58, 59, 60	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) )
62	25, 57, 61	sylanblrc 416	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
63		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) )
64	63	mulc1cncf 15263	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64	cncfco 15265	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
66	19, 65	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
67	10, 66	eqeltrd 2306	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
68	1, 67	eqeltrid 2316	1 |- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  infcinf 7150   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   < clt 8181   - cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819   2c2 9161   RR+crp 9849   abscabs 11508   -cn->ccncf 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-cncf 15245

This theorem is referenced by:  divcncfap  15288  dvrecap  15387