Theorem cdivcncfap 12499

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	|- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdivcncfap	|- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap

Dummy variables w z a b d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdivcncf.1	. 2 |- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )
2		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> A e. CC )
3		breq1 3878	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2793	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6	5	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
7	6	simpld 111	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x e. CC )
8	6	simprd 113	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x # 0 )
9	2, 7, 8	divrecapd 8414	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( A / x ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
10	9	mpteq2dva 3958	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
11		recclap 8300	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
12	4, 11	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / x ) e. CC )
13	12	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
14		oveq2 5714	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 1 / w ) = ( 1 / x ) )
15	14	cbvmptv 3964	. . . . . 6 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) )
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) ) )
17		eqidd 2101	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) )
18		oveq2 5714	. . . . 5 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( A x. z ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
19	13, 16, 17, 18	fmptco 5518	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
20		breq1 3878	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y # 0 <-> w # 0 ) )
21	20	elrab 2793	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
22		recclap 8300	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. CC /\ w # 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
24	23	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
25	24	fmpttd 5507	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC )
26		breq1 3878	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y # 0 <-> b # 0 ) )
27	26	elrab 2793	. . . . . . . 8 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( b e. CC /\ b # 0 ) )
28		eqid 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) )
29	28	reccn2ap 10921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
30		eqidd 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) )
31		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
32	31	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = a ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
33		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> a e. { y e. CC | y # 0 } )
34		breq1 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> ( y # 0 <-> a # 0 ) )
35	34	elrab 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
36		recclap 8300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 ) -> ( 1 / a ) e. CC )
37	35, 36	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
38	37	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / a ) e. CC )
39	30, 32, 33, 38	fvmptd 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
40		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = b -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
41	40	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = b ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
42		simpll1 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. CC )
43		simpll2 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b # 0 )
44	26, 42, 43	elrabd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. { y e. CC | y # 0 } )
45	42, 43	recclapd 8402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / b ) e. CC )
46	30, 41, 44, 45	fvmptd 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) = ( 1 / b ) )
47	39, 46	oveq12d 5724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) = ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) )
48	47	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) )
49	48	breq1d 3885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
50	49	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
51	50	ralbidva 2392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
52	51	rexbidva 2393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
53	29, 52	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
54	53	3expa 1149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
55	54	ralrimiva 2464	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
56	27, 55	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
57	56	rgen 2444	. . . . . 6 |- A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e )
58		ssrab2 3129	. . . . . . 7 |- { y e. CC | y # 0 } C_ CC
59		ssid 3067	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
60		elcncf2 12474	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. CC | y # 0 } C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) ) )
61	58, 59, 60	mp2an 420	. . . . . 6 |- ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) )
62	25, 57, 61	sylanblrc 410	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
63		eqid 2100	. . . . . 6 |- ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) )
64	63	mulc1cncf 12489	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64	cncfco 12491	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
66	19, 65	eqeltrrd 2177	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
67	10, 66	eqeltrd 2176	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
68	1, 67	syl5eqel 2186	1 |- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   {crab 2379   C_ wss 3021   {cpr 3475   class class class wbr 3875   |-> cmpt 3929   o. ccom 4481   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706  infcinf 6785   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501   x. cmul 7505   < clt 7672   - cmin 7804   # cap 8209   / cdiv 8293   2c2 8629   RR+crp 9291   abscabs 10609   -cn->ccncf 12470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-cncf 12471

This theorem is referenced by: (None)