Theorem cdivcncfap 15631

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	|- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdivcncfap	|- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap

Dummy variables w z a b d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdivcncf.1	. 2 |- F = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> A e. CC )
3		breq1 4131	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
7	6	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x e. CC )
8	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> x # 0 )
9	2, 7, 8	divrecapd 9116	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( A / x ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
10	9	mpteq2dva 4219	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
11		recclap 9002	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
12	4, 11	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / x ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
14		oveq2 6086	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 1 / w ) = ( 1 / x ) )
15	14	cbvmptv 4225	. . . . . 6 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) )
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / x ) ) )
17		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) )
18		oveq2 6086	. . . . 5 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( A x. z ) = ( A x. ( 1 / x ) ) )
19	13, 16, 17, 18	fmptco 5868	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) = ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) )
20		breq1 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y # 0 <-> w # 0 ) )
21	20	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
22		recclap 9002	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. CC /\ w # 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( w e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
25	24	fmpttd 5857	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC )
26		breq1 4131	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y # 0 <-> b # 0 ) )
27	26	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( b e. CC /\ b # 0 ) )
28		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` b ) x. e ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` b ) / 2 ) )
29	28	reccn2ap 12060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
30		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) )
31		oveq2 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = a ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / a ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> a e. { y e. CC | y # 0 } )
34		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> ( y # 0 <-> a # 0 ) )
35	34	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
36		recclap 9002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 ) -> ( 1 / a ) e. CC )
37	35, 36	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. { y e. CC | y # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / a ) e. CC )
39	30, 32, 33, 38	fvmptd 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
40		oveq2 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = b -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) /\ w = b ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / b ) )
42		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. CC )
43		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b # 0 )
44	26, 42, 43	elrabd 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> b e. { y e. CC | y # 0 } )
45	42, 43	recclapd 9104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( 1 / b ) e. CC )
46	30, 41, 44, 45	fvmptd 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) = ( 1 / b ) )
47	39, 46	oveq12d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) = ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) )
48	47	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) )
49	48	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) )
50	49	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ a e. { y e. CC | y # 0 } ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
51	50	ralbidva 2546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
52	51	rexbidva 2547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / b ) ) ) < e ) ) )
53	29, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
54	53	3expa 1234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ b # 0 ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
55	54	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. CC /\ b # 0 ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
56	27, 55	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( b e. { y e. CC | y # 0 } -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) )
57	56	rgen 2603	. . . . . 6 |- A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e )
58		ssrab2 3333	. . . . . . 7 |- { y e. CC | y # 0 } C_ CC
59		ssid 3268	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
60		elcncf2 15601	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. CC | y # 0 } C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) ) )
61	58, 59, 60	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) <-> ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) : { y e. CC | y # 0 } --> CC /\ A. b e. { y e. CC | y # 0 } A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. { y e. CC | y # 0 } ( ( abs ` ( a - b ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` a ) - ( ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ` b ) ) ) < e ) ) )
62	25, 57, 61	sylanblrc 420	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
63		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) = ( z e. CC |-> ( A x. z ) )
64	63	mulc1cncf 15616	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64	cncfco 15618	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( A x. z ) ) o. ( w e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / w ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
66	19, 65	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A x. ( 1 / x ) ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
67	10, 66	eqeltrd 2315	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( A / x ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
68	1, 67	eqeltrid 2325	1 |- ( A e. CC -> F e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3709   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078  infcinf 7316   CCcc 8170   RRcr 8171   0cc0 8172   1c1 8173   x. cmul 8177   < clt 8353   - cmin 8490   # cap 8902   / cdiv 8995   2c2 9337   RR+crp 10036   abscabs 11744   -cn->ccncf 15597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291  ax-caucvg 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-map 6917  df-sup 7317  df-inf 7318  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-rp 10037  df-seqfrec 10866  df-exp 10957  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-rsqrt 11745  df-abs 11746  df-cncf 15598

This theorem is referenced by:  divcncfap  15641  dvrecap  15740