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Theorem cdivcncfap 12499
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables  w  z  a  b  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
2 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  A  e.  CC )
3 breq1 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y #  0  <->  x #  0
) )
43elrab 2793 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
54biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
65adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
76simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x  e.  CC )
86simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x #  0 )
92, 7, 8divrecapd 8414 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  ( A  /  x )  =  ( A  x.  (
1  /  x ) ) )
109mpteq2dva 3958 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  (
1  /  x ) ) ) )
11 recclap 8300 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
124, 11sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
1312adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
14 oveq2 5714 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  x ) )
1514cbvmptv 3964 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  x ) )
1615a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  x
) ) )
17 eqidd 2101 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) ) )
18 oveq2 5714 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  ( A  x.  z )  =  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) )
1913, 16, 17, 18fmptco 5518 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
20 breq1 3878 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y #  0  <->  w #  0
) )
2120elrab 2793 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
22 recclap 8300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w #  0 )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2321, 22sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
2423adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2524fmpttd 5507 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) : { y  e.  CC  |  y #  0 } --> CC )
26 breq1 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y #  0  <->  b #  0
) )
2726elrab 2793 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( b  e.  CC  /\  b #  0 ) )
28 eqid 2100 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b
)  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b )  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2
) )
2928reccn2ap 10921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) )
30 eqidd 2101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) )  =  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )
31 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  a  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
a ) )
3231adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  a )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  a
) )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
34 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  a  ->  (
y #  0  <->  a #  0
) )
3534elrab 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
36 recclap 8300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  ->  (
1  /  a )  e.  CC )
3735, 36sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
3837adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
a )  e.  CC )
3930, 32, 33, 38fvmptd 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
40 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  b  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
b ) )
4140adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  b )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  b
) )
42 simpll1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  CC )
43 simpll2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b #  0 )
4426, 42, 43elrabd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
4542, 43recclapd 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
b )  e.  CC )
4630, 41, 44, 45fvmptd 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b )  =  ( 1  /  b ) )
4739, 46oveq12d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) )  =  ( ( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )
4847fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) ) )
4948breq1d 3885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  -  (
( w  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  / 
b ) ) )  <  e ) )
5049imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) )  <  e
) ) )
5150ralbidva 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5251rexbidva 2393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5329, 52mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
54533expa 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5554ralrimiva 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5627, 55sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5756rgen 2444 . . . . . 6  |-  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )
58 ssrab2 3129 . . . . . . 7  |-  { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC
59 ssid 3067 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
60 elcncf2 12474 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) ) )
6158, 59, 60mp2an 420 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) )
6225, 57, 61sylanblrc 410 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
63 eqid 2100 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )
6463mulc1cncf 12489 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6562, 64cncfco 12491 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  | 
y #  0 } -cn-> CC ) )
6619, 65eqeltrrd 2177 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
6710, 66eqeltrd 2176 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
681, 67syl5eqel 2186 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   {crab 2379    C_ wss 3021   {cpr 3475   class class class wbr 3875    |-> cmpt 3929    o. ccom 4481   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706  infcinf 6785   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501    x. cmul 7505    < clt 7672    - cmin 7804   # cap 8209    / cdiv 8293   2c2 8629   RR+crp 9291   abscabs 10609   -cn->ccncf 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-cncf 12471
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