ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cdivcncfap Unicode version

Theorem cdivcncfap 12770
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables  w  z  a  b  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
2 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  A  e.  CC )
3 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y #  0  <->  x #  0
) )
43elrab 2840 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
54biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
76simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x  e.  CC )
86simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x #  0 )
92, 7, 8divrecapd 8565 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  ( A  /  x )  =  ( A  x.  (
1  /  x ) ) )
109mpteq2dva 4018 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  (
1  /  x ) ) ) )
11 recclap 8451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
124, 11sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
1312adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
14 oveq2 5782 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  x ) )
1514cbvmptv 4024 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  x ) )
1615a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  x
) ) )
17 eqidd 2140 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) ) )
18 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  ( A  x.  z )  =  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) )
1913, 16, 17, 18fmptco 5586 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
20 breq1 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y #  0  <->  w #  0
) )
2120elrab 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
22 recclap 8451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w #  0 )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2321, 22sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
2423adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2524fmpttd 5575 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) : { y  e.  CC  |  y #  0 } --> CC )
26 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y #  0  <->  b #  0
) )
2726elrab 2840 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( b  e.  CC  /\  b #  0 ) )
28 eqid 2139 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b
)  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b )  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2
) )
2928reccn2ap 11094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) )
30 eqidd 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) )  =  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )
31 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  a  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
a ) )
3231adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  a )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  a
) )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
34 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  a  ->  (
y #  0  <->  a #  0
) )
3534elrab 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
36 recclap 8451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  ->  (
1  /  a )  e.  CC )
3735, 36sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
a )  e.  CC )
3930, 32, 33, 38fvmptd 5502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
40 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  b  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
b ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  b )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  b
) )
42 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  CC )
43 simpll2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b #  0 )
4426, 42, 43elrabd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
4542, 43recclapd 8553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
b )  e.  CC )
4630, 41, 44, 45fvmptd 5502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b )  =  ( 1  /  b ) )
4739, 46oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) )  =  ( ( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )
4847fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) ) )
4948breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  -  (
( w  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  / 
b ) ) )  <  e ) )
5049imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) )  <  e
) ) )
5150ralbidva 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5251rexbidva 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5329, 52mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
54533expa 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5554ralrimiva 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5627, 55sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5756rgen 2485 . . . . . 6  |-  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )
58 ssrab2 3182 . . . . . . 7  |-  { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC
59 ssid 3117 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
60 elcncf2 12744 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) ) )
6158, 59, 60mp2an 422 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) )
6225, 57, 61sylanblrc 412 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
63 eqid 2139 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )
6463mulc1cncf 12759 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6562, 64cncfco 12761 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  | 
y #  0 } -cn-> CC ) )
6619, 65eqeltrrd 2217 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
6710, 66eqeltrd 2216 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
681, 67eqeltrid 2226 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420    C_ wss 3071   {cpr 3528   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989    o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    x. cmul 7637    < clt 7812    - cmin 7945   # cap 8355    / cdiv 8444   2c2 8783   RR+crp 9453   abscabs 10781   -cn->ccncf 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-cncf 12741
This theorem is referenced by:  dvrecap  12860
  Copyright terms: Public domain W3C validator