ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cdivcncfap Unicode version

Theorem cdivcncfap 12683
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables  w  z  a  b  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
2 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  A  e.  CC )
3 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y #  0  <->  x #  0
) )
43elrab 2813 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
54biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
76simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x  e.  CC )
86simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  x #  0 )
92, 7, 8divrecapd 8521 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  ( A  /  x )  =  ( A  x.  (
1  /  x ) ) )
109mpteq2dva 3988 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  (
1  /  x ) ) ) )
11 recclap 8407 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
124, 11sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
1312adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
14 oveq2 5750 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  x ) )
1514cbvmptv 3994 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  x ) )
1615a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  x
) ) )
17 eqidd 2118 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) ) )
18 oveq2 5750 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  ( A  x.  z )  =  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) )
1913, 16, 17, 18fmptco 5554 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
20 breq1 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y #  0  <->  w #  0
) )
2120elrab 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
22 recclap 8407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w #  0 )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2321, 22sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
2423adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
2524fmpttd 5543 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) : { y  e.  CC  |  y #  0 } --> CC )
26 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y #  0  <->  b #  0
) )
2726elrab 2813 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( b  e.  CC  /\  b #  0 ) )
28 eqid 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b
)  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  b )  x.  e ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  b )  /  2
) )
2928reccn2ap 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) )
30 eqidd 2118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) )  =  ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )
31 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  a  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
a ) )
3231adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  a )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  a
) )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
34 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  a  ->  (
y #  0  <->  a #  0
) )
3534elrab 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
36 recclap 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  ->  (
1  /  a )  e.  CC )
3735, 36sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
a )  e.  CC )
3930, 32, 33, 38fvmptd 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
40 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  b  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
b ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  /\  w  =  b )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  b
) )
42 simpll1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  CC )
43 simpll2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b #  0 )
4426, 42, 43elrabd 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  b  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )
4542, 43recclapd 8509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( 1  / 
b )  e.  CC )
4630, 41, 44, 45fvmptd 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b )  =  ( 1  /  b ) )
4739, 46oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) )  =  ( ( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )
4847fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) ) )
4948breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  a )  -  (
( w  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `  b ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  / 
b ) ) )  <  e ) )
5049imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 } )  ->  ( ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
a )  -  (
1  /  b ) ) )  <  e
) ) )
5150ralbidva 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 a )  -  ( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  b
) ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5251rexbidva 2411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  b ) ) )  <  e ) ) )
5329, 52mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
54533expa 1166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5554ralrimiva 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  CC  /\  b #  0 )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5627, 55sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) )
5756rgen 2462 . . . . . 6  |-  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 } 
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e )
58 ssrab2 3152 . . . . . . 7  |-  { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC
59 ssid 3087 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
60 elcncf2 12657 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  CC  |  y #  0 }  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) ) )
6158, 59, 60mp2an 422 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC )  <-> 
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) : {
y  e.  CC  | 
y #  0 } --> CC  /\  A. b  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 } A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  {
y  e.  CC  | 
y #  0 }  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( w  e. 
{ y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w
) ) `  a
)  -  ( ( w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) `
 b ) ) )  <  e ) ) )
6225, 57, 61sylanblrc 412 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
63 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )
6463mulc1cncf 12672 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( A  x.  z ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6562, 64cncfco 12674 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( A  x.  z
) )  o.  (
w  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( 1  /  w ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  | 
y #  0 } -cn-> CC ) )
6619, 65eqeltrrd 2195 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
6710, 66eqeltrd 2194 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { y  e.  CC  |  y #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
681, 67eqeltrid 2204 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( { y  e.  CC  |  y #  0 } -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397    C_ wss 3041   {cpr 3498   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959    o. ccom 4513   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742  infcinf 6838   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    x. cmul 7593    < clt 7768    - cmin 7901   # cap 8311    / cdiv 8400   2c2 8739   RR+crp 9409   abscabs 10737   -cn->ccncf 12653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-cncf 12654
This theorem is referenced by:  dvrecap  12773
  Copyright terms: Public domain W3C validator