Theorem cnopnap 14857

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	|- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3269	. . 3 |- { w e. CC | w # A } C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } C_ CC )
3		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
4	3	elrab 2920	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | w # A } <-> ( x e. CC /\ x # A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w e. CC | w # A } -> ( x e. CC /\ x # A ) )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x e. CC /\ x # A ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x e. CC )
8		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> A e. CC )
9	7, 8	subcld 8339	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) e. CC )
10	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x # A )
11	7, 8, 10	subap0d 8673	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) # 0 )
12	9, 11	absrpclapd 11355	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ )
13		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( w # A <-> z # A ) )
14		cnxmet 14777	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
15	9	abscld 11348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
16	15	rexrd 8078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* )
17		elbl 14637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. CC )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> A e. CC )
22	20, 21	subcld 8339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) e. CC )
23	22	abscld 11348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> x e. CC )
25	24, 20	subcld 8339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
26	25	abscld 11348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
28	26, 23	readdcld 8058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) e. RR )
29		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
30	29	cnmetdval 14775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
31	24, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
33	31, 32	eqbrtrrd 4058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
34	24, 21, 20	abs3difd 11367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
36	23, 26	ltaddposd 8558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( 0 < ( abs ` ( z - A ) ) <-> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) ) )
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> 0 < ( abs ` ( z - A ) ) )
38	23, 37	gt0ap0d 8658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) # 0 )
39		abs00ap 11229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - A ) e. CC -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) # 0 )
42		subap0 8672	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
43	20, 21, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z # A )
45	13, 20, 44	elrabd 2922	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } ) )
47	46	ssrdv 3190	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } )
48		oveq2 5931	. . . . . 6 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) )
49	48	sseq1d 3213	. . . . 5 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } <-> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
50	49	rspcev 2868	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
51	12, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
52	51	ralrimiva 2570	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
53		eqid 2196	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54	53	elmopn2 14695	. . 3 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) ) )
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 |- ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   o. ccom 4668   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   + caddc 7884   RR*cxr 8062   < clt 8063   - cmin 8199   # cap 8610   RR+crp 9730   abscabs 11164   *Metcxmet 14102   ballcbl 14104   MetOpencmopn 14107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-map 6710  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-xneg 9849  df-xadd 9850  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-topgen 12941  df-psmet 14109  df-xmet 14110  df-met 14111  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-top 14244  df-bases 14289

This theorem is referenced by:  dvrecap  14959