Theorem cnopnap 15325

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	|- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3310	. . 3 |- { w e. CC | w # A } C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } C_ CC )
3		breq1 4089	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
4	3	elrab 2960	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | w # A } <-> ( x e. CC /\ x # A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w e. CC | w # A } -> ( x e. CC /\ x # A ) )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x e. CC /\ x # A ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x e. CC )
8		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> A e. CC )
9	7, 8	subcld 8480	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) e. CC )
10	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x # A )
11	7, 8, 10	subap0d 8814	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) # 0 )
12	9, 11	absrpclapd 11739	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ )
13		breq1 4089	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( w # A <-> z # A ) )
14		cnxmet 15245	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
15	9	abscld 11732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
16	15	rexrd 8219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* )
17		elbl 15105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1376	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. CC )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> A e. CC )
22	20, 21	subcld 8480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) e. CC )
23	22	abscld 11732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> x e. CC )
25	24, 20	subcld 8480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
26	25	abscld 11732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
28	26, 23	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) e. RR )
29		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
30	29	cnmetdval 15243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
31	24, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
33	31, 32	eqbrtrrd 4110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
34	24, 21, 20	abs3difd 11751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
36	23, 26	ltaddposd 8699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( 0 < ( abs ` ( z - A ) ) <-> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) ) )
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> 0 < ( abs ` ( z - A ) ) )
38	23, 37	gt0ap0d 8799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) # 0 )
39		abs00ap 11613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - A ) e. CC -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) # 0 )
42		subap0 8813	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
43	20, 21, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z # A )
45	13, 20, 44	elrabd 2962	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } ) )
47	46	ssrdv 3231	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } )
48		oveq2 6021	. . . . . 6 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) )
49	48	sseq1d 3254	. . . . 5 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } <-> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
50	49	rspcev 2908	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
51	12, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
52	51	ralrimiva 2603	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
53		eqid 2229	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54	53	elmopn2 15163	. . 3 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) ) )
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 |- ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   o. ccom 4727   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   RR*cxr 8203   < clt 8204   - cmin 8340   # cap 8751   RR+crp 9878   abscabs 11548   *Metcxmet 14540   ballcbl 14542   MetOpencmopn 14545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-bases 14757

This theorem is referenced by:  dvrecap  15427