Theorem cnopnap 15422

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	|- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3313	. . 3 |- { w e. CC | w # A } C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } C_ CC )
3		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
4	3	elrab 2963	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | w # A } <-> ( x e. CC /\ x # A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w e. CC | w # A } -> ( x e. CC /\ x # A ) )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x e. CC /\ x # A ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x e. CC )
8		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> A e. CC )
9	7, 8	subcld 8549	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) e. CC )
10	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x # A )
11	7, 8, 10	subap0d 8883	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) # 0 )
12	9, 11	absrpclapd 11828	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ )
13		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( w # A <-> z # A ) )
14		cnxmet 15342	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
15	9	abscld 11821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
16	15	rexrd 8288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* )
17		elbl 15202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1379	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. CC )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> A e. CC )
22	20, 21	subcld 8549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) e. CC )
23	22	abscld 11821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> x e. CC )
25	24, 20	subcld 8549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
26	25	abscld 11821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
28	26, 23	readdcld 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) e. RR )
29		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
30	29	cnmetdval 15340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
31	24, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
33	31, 32	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
34	24, 21, 20	abs3difd 11840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
36	23, 26	ltaddposd 8768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( 0 < ( abs ` ( z - A ) ) <-> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) ) )
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> 0 < ( abs ` ( z - A ) ) )
38	23, 37	gt0ap0d 8868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) # 0 )
39		abs00ap 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - A ) e. CC -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) # 0 )
42		subap0 8882	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
43	20, 21, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z # A )
45	13, 20, 44	elrabd 2965	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } ) )
47	46	ssrdv 3234	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } )
48		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) )
49	48	sseq1d 3257	. . . . 5 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } <-> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
50	49	rspcev 2911	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
51	12, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
52	51	ralrimiva 2606	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
53		eqid 2231	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54	53	elmopn2 15260	. . 3 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) ) )
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 |- ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   RR*cxr 8272   < clt 8273   - cmin 8409   # cap 8820   RR+crp 9949   abscabs 11637   *Metcxmet 14632   ballcbl 14634   MetOpencmopn 14637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-bases 14854

This theorem is referenced by:  dvrecap  15524