Theorem cnopnap 14765

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	|- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3264	. . 3 |- { w e. CC | w # A } C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } C_ CC )
3		breq1 4032	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
4	3	elrab 2916	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | w # A } <-> ( x e. CC /\ x # A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w e. CC | w # A } -> ( x e. CC /\ x # A ) )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x e. CC /\ x # A ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x e. CC )
8		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> A e. CC )
9	7, 8	subcld 8330	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) e. CC )
10	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x # A )
11	7, 8, 10	subap0d 8663	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) # 0 )
12	9, 11	absrpclapd 11332	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ )
13		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( w # A <-> z # A ) )
14		cnxmet 14699	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
15	9	abscld 11325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
16	15	rexrd 8069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* )
17		elbl 14559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. CC )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> A e. CC )
22	20, 21	subcld 8330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) e. CC )
23	22	abscld 11325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> x e. CC )
25	24, 20	subcld 8330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
26	25	abscld 11325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
28	26, 23	readdcld 8049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) e. RR )
29		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
30	29	cnmetdval 14697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
31	24, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
33	31, 32	eqbrtrrd 4053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
34	24, 21, 20	abs3difd 11344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
36	23, 26	ltaddposd 8548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( 0 < ( abs ` ( z - A ) ) <-> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) ) )
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> 0 < ( abs ` ( z - A ) ) )
38	23, 37	gt0ap0d 8648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) # 0 )
39		abs00ap 11206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - A ) e. CC -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) # 0 )
42		subap0 8662	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
43	20, 21, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z # A )
45	13, 20, 44	elrabd 2918	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } ) )
47	46	ssrdv 3185	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } )
48		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) )
49	48	sseq1d 3208	. . . . 5 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } <-> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
50	49	rspcev 2864	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
51	12, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
52	51	ralrimiva 2567	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
53		eqid 2193	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54	53	elmopn2 14617	. . 3 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) ) )
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 |- ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   o. ccom 4663   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   RR*cxr 8053   < clt 8054   - cmin 8190   # cap 8600   RR+crp 9719   abscabs 11141   *Metcxmet 14032   ballcbl 14034   MetOpencmopn 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by:  dvrecap  14862