Theorem cnopnap 13388

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	|- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3232	. . 3 |- { w e. CC | w # A } C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } C_ CC )
3		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
4	3	elrab 2886	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | w # A } <-> ( x e. CC /\ x # A ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w e. CC | w # A } -> ( x e. CC /\ x # A ) )
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x e. CC /\ x # A ) )
7	6	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x e. CC )
8		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> A e. CC )
9	7, 8	subcld 8230	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) e. CC )
10	6	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> x # A )
11	7, 8, 10	subap0d 8563	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x - A ) # 0 )
12	9, 11	absrpclapd 11152	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ )
13		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( w # A <-> z # A ) )
14		cnxmet 13325	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
15	9	abscld 11145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
16	15	rexrd 7969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* )
17		elbl 13185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ ( abs ` ( x - A ) ) e. RR* ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1337	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) <-> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) ) )
19	18	biimpa 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z e. CC /\ ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) ) )
20	19	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. CC )
21	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> A e. CC )
22	20, 21	subcld 8230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) e. CC )
23	22	abscld 11145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
24	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> x e. CC )
25	24, 20	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
26	25	abscld 11145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
27	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) e. RR )
28	26, 23	readdcld 7949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) e. RR )
29		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
30	29	cnmetdval 13323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
31	24, 20, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
32	19	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
33	31, 32	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( abs ` ( x - A ) ) )
34	24, 21, 20	abs3difd 11164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) )
36	23, 26	ltaddposd 8448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( 0 < ( abs ` ( z - A ) ) <-> ( abs ` ( x - z ) ) < ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - A ) ) ) ) )
37	35, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> 0 < ( abs ` ( z - A ) ) )
38	23, 37	gt0ap0d 8548	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) # 0 )
39		abs00ap 11026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - A ) e. CC -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) # 0 <-> ( z - A ) # 0 ) )
41	38, 40	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( z - A ) # 0 )
42		subap0 8562	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
43	20, 21, 42	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> ( ( z - A ) # 0 <-> z # A ) )
44	41, 43	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z # A )
45	13, 20, 44	elrabd 2888	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) /\ z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } )
46	45	ex 114	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( z e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) -> z e. { w e. CC | w # A } ) )
47	46	ssrdv 3153	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } )
48		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) )
49	48	sseq1d 3176	. . . . 5 |- ( r = ( abs ` ( x - A ) ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } <-> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
50	49	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( x - A ) ) e. RR+ /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) ( abs ` ( x - A ) ) ) C_ { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
51	12, 47, 50	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. { w e. CC | w # A } ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
52	51	ralrimiva 2543	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } )
53		eqid 2170	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54	53	elmopn2 13243	. . 3 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) ) )
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 |- ( { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) <-> ( { w e. CC | w # A } C_ CC /\ A. x e. { w e. CC | w # A } E. r e. RR+ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ { w e. CC | w # A } ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 415	1 |- ( A e. CC -> { w e. CC | w # A } e. ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   o. ccom 4615   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   RR*cxr 7953   < clt 7954   - cmin 8090   # cap 8500   RR+crp 9610   abscabs 10961   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776   MetOpencmopn 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  dvrecap  13471