Theorem ennnfonelemg 12336

Description: Lemma for ennnfone 12358. Closure for G. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemg	|- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g, x, y   g, F, x, y   x, N   f, g, x, y   g, j, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, g, j, k, n)   H( x, y, f, g, j, k, n)   J( x, y, f, g, j, k, n)   N( y, f, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) ) )
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> y = j )
4	3	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F ` y ) = ( F ` j ) )
5	3	imaeq2d 4946	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F " y ) = ( F " j ) )
6	4, 5	eleq12d 2237	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` j ) e. ( F " j ) ) )
7		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> x = f )
8	7	dmeqd 4806	. . . . . . . 8 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> dom x = dom f )
9	8, 4	opeq12d 3766	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom f , ( F ` j ) >. )
10	9	sneqd 3589	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom f , ( F ` j ) >. } )
11	7, 10	uneq12d 3277	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
12	6, 7, 11	ifbieq12d 3546	. . . 4 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
13	12	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( x = f /\ y = j ) ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
14		ssrab2 3227	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16	14, 15	sselid 3140	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. ( A ^pm om ) )
17		simprr 522	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> j e. om )
18		simplrl 525	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
19		dmeq 4804	. . . . . 6 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> dom g = dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
20	19	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> ( dom g e. om <-> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om ) )
21		omex 4570	. . . . . . . 8 |- om e. _V
22		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
23		focdmex 10700	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. _V /\ F : om -onto-> A ) -> A e. _V )
24	21, 22, 23	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. _V )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> A e. _V )
26	21	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> om e. _V )
27		simplrl 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
28		elrabi 2879	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f e. ( A ^pm om ) )
29		elpmi 6633	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( A ^pm om ) -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
31	30	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f : dom f --> A )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f : dom f --> A )
33		dmeq 4804	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> dom g = dom f )
34	33	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( dom g e. om <-> dom f e. om ) )
35	34	elrab 2882	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( f e. ( A ^pm om ) /\ dom f e. om ) )
36	35	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> dom f e. om )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom f e. om )
38		nnord 4589	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> Ord dom f )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> Ord dom f )
40		ordirr 4519	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom f -> -. dom f e. dom f )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> -. dom f e. dom f )
42	22	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om -onto-> A )
43		fof 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om --> A )
45	44, 17	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( F ` j ) e. A )
46	45	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( F ` j ) e. A )
47		fsnunf 5685	. . . . . . 7 |- ( ( f : dom f --> A /\ ( dom f e. om /\ -. dom f e. dom f ) /\ ( F ` j ) e. A ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
48	32, 37, 41, 46, 47	syl121anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
49		df-suc 4349	. . . . . . . . 9 |- suc dom f = ( dom f u. { dom f } )
50		peano2 4572	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> suc dom f e. om )
51	49, 50	eqeltrrid 2254	. . . . . . . 8 |- ( dom f e. om -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
52	37, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
53		omelon 4586	. . . . . . . 8 |- om e. On
54	53	onelssi 4407	. . . . . . 7 |- ( ( dom f u. { dom f } ) e. om -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
55	52, 54	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
56		elpm2r 6632	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ om e. _V ) /\ ( ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A /\ ( dom f u. { dom f } ) C_ om ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
57	25, 26, 48, 55, 56	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
58	48	fdmd 5344	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) = ( dom f u. { dom f } ) )
59	58, 52	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om )
60	20, 57, 59	elrabd 2884	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
61		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
62	61	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
63	62, 42, 17	ennnfonelemdc 12332	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> DECID ( F ` j ) e. ( F " j ) )
64	18, 60, 63	ifcldadc 3549	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
65	2, 13, 16, 17, 64	ovmpod 5969	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
66	65, 64	eqeltrd 2243	1 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   ^pm cpm 6615   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pm 6617

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12337  ennnfonelem0  12338  ennnfonelemp1  12339  ennnfonelemom  12341