Theorem ennnfonelemg 12645

Description: Lemma for ennnfone 12667. Closure for G. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemg	|- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g, x, y   g, F, x, y   x, N   f, g, x, y   g, j, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, g, j, k, n)   H( x, y, f, g, j, k, n)   J( x, y, f, g, j, k, n)   N( y, f, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) ) )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> y = j )
4	3	fveq2d 5565	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F ` y ) = ( F ` j ) )
5	3	imaeq2d 5010	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F " y ) = ( F " j ) )
6	4, 5	eleq12d 2267	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` j ) e. ( F " j ) ) )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> x = f )
8	7	dmeqd 4869	. . . . . . . 8 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> dom x = dom f )
9	8, 4	opeq12d 3817	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom f , ( F ` j ) >. )
10	9	sneqd 3636	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom f , ( F ` j ) >. } )
11	7, 10	uneq12d 3319	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
12	6, 7, 11	ifbieq12d 3588	. . . 4 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
13	12	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( x = f /\ y = j ) ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
14		ssrab2 3269	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16	14, 15	sselid 3182	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. ( A ^pm om ) )
17		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> j e. om )
18		simplrl 535	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
19		dmeq 4867	. . . . . 6 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> dom g = dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
20	19	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> ( dom g e. om <-> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om ) )
21		omex 4630	. . . . . . . 8 |- om e. _V
22		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
23		focdmex 6181	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
24	21, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. _V )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> A e. _V )
26	21	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> om e. _V )
27		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
28		elrabi 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f e. ( A ^pm om ) )
29		elpmi 6735	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( A ^pm om ) -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
31	30	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f : dom f --> A )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f : dom f --> A )
33		dmeq 4867	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> dom g = dom f )
34	33	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( dom g e. om <-> dom f e. om ) )
35	34	elrab 2920	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( f e. ( A ^pm om ) /\ dom f e. om ) )
36	35	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> dom f e. om )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom f e. om )
38		nnord 4649	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> Ord dom f )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> Ord dom f )
40		ordirr 4579	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom f -> -. dom f e. dom f )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> -. dom f e. dom f )
42	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om -onto-> A )
43		fof 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om --> A )
45	44, 17	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( F ` j ) e. A )
46	45	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( F ` j ) e. A )
47		fsnunf 5765	. . . . . . 7 |- ( ( f : dom f --> A /\ ( dom f e. om /\ -. dom f e. dom f ) /\ ( F ` j ) e. A ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
48	32, 37, 41, 46, 47	syl121anc 1254	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
49		df-suc 4407	. . . . . . . . 9 |- suc dom f = ( dom f u. { dom f } )
50		peano2 4632	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> suc dom f e. om )
51	49, 50	eqeltrrid 2284	. . . . . . . 8 |- ( dom f e. om -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
52	37, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
53		elomssom 4642	. . . . . . 7 |- ( ( dom f u. { dom f } ) e. om -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
55		elpm2r 6734	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ om e. _V ) /\ ( ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A /\ ( dom f u. { dom f } ) C_ om ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
56	25, 26, 48, 54, 55	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
57	48	fdmd 5417	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) = ( dom f u. { dom f } ) )
58	57, 52	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om )
59	20, 56, 58	elrabd 2922	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
60		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
62	61, 42, 17	ennnfonelemdc 12641	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> DECID ( F ` j ) e. ( F " j ) )
63	18, 59, 62	ifcldadc 3591	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
64	2, 13, 16, 17, 63	ovmpod 6054	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
65	64, 63	eqeltrd 2273	1 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   |-> cmpt 4095   Ord word 4398   suc csuc 4401   omcom 4627   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  freccfrec 6457   ^pm cpm 6717   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pm 6719

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12646  ennnfonelem0  12647  ennnfonelemp1  12648  ennnfonelemom  12650