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Theorem ennnfonelemg 12396
Description: Lemma for ennnfone 12418. Closure for  G. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemg  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
Distinct variable groups:    A, g, x, y    g, F, x, y    x, N    f,
g, x, y    g,
j, x, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, g, j, k, n)    A( f,
j, k, n)    F( f, j, k, n)    G( x, y, f, g, j, k, n)    H( x, y, f, g, j, k, n)    J( x, y, f, g, j, k, n)    N( y, f, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemg
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
21a1i 9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) ) )
3 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  y  =  j )
43fveq2d 5518 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 j ) )
53imaeq2d 4969 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  ( F " y
)  =  ( F
" j ) )
64, 5eleq12d 2248 . . . . 5  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( F " y )  <-> 
( F `  j
)  e.  ( F
" j ) ) )
7 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  x  =  f )
87dmeqd 4828 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  dom  x  =  dom  f )
98, 4opeq12d 3786 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  -> 
<. dom  x ,  ( F `  y )
>.  =  <. dom  f ,  ( F `  j ) >. )
109sneqd 3605 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  { <. dom  x , 
( F `  y
) >. }  =  { <. dom  f ,  ( F `  j )
>. } )
117, 10uneq12d 3290 . . . . 5  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `  y )
>. } )  =  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `
 j ) >. } ) )
126, 7, 11ifbieq12d 3560 . . . 4  |-  ( ( x  =  f  /\  y  =  j )  ->  if ( ( F `
 y )  e.  ( F " y
) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `  y )
>. } ) )  =  if ( ( F `
 j )  e.  ( F " j
) ,  f ,  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `  j )
>. } ) ) )
1312adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  ( x  =  f  /\  y  =  j
) )  ->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) )  =  if ( ( F `
 j )  e.  ( F " j
) ,  f ,  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `  j )
>. } ) ) )
14 ssrab2 3240 . . . 4  |-  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  C_  ( A  ^pm  om )
15 simprl 529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
1614, 15sselid 3153 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  f  e.  ( A  ^pm  om )
)
17 simprr 531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  j  e.  om )
18 simplrl 535 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  ( F `  j )  e.  ( F "
j ) )  -> 
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
19 dmeq 4826 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  ->  dom  g  =  dom  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `  j )
>. } ) )
2019eleq1d 2246 . . . . 5  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  -> 
( dom  g  e.  om  <->  dom  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `  j )
>. } )  e.  om ) )
21 omex 4591 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
22 ennnfonelemh.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
23 focdmex 6113 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( F : om -onto-> A  ->  A  e.  _V )
)
2421, 22, 23mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2524ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  A  e.  _V )
2621a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  om  e.  _V )
27 simplrl 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  f  e.  {
g  e.  ( A 
^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
28 elrabi 2890 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  ->  f  e.  ( A  ^pm  om )
)
29 elpmi 6664 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( A  ^pm  om )  ->  ( f : dom  f --> A  /\  dom  f  C_  om )
)
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  ->  ( f : dom  f --> A  /\  dom  f  C_  om )
)
3130simpld 112 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  ->  f : dom  f
--> A )
3227, 31syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  f : dom  f
--> A )
33 dmeq 4826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  dom  g  =  dom  f )
3433eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  f  ->  ( dom  g  e.  om  <->  dom  f  e.  om )
)
3534elrab 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } 
<->  ( f  e.  ( A  ^pm  om )  /\  dom  f  e.  om ) )
3635simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  ->  dom  f  e.  om )
3727, 36syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  dom  f  e.  om )
38 nnord 4610 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  e.  om  ->  Ord 
dom  f )
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  Ord  dom  f )
40 ordirr 4540 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
dom  f  ->  -.  dom  f  e.  dom  f )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  -.  dom  f  e. 
dom  f )
4222adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  F : om -onto-> A )
43 fof 5437 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  F : om --> A )
4544, 17ffvelcdmd 5651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  ( F `  j )  e.  A )
4645adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( F `  j )  e.  A
)
47 fsnunf 5715 . . . . . . 7  |-  ( ( f : dom  f --> A  /\  ( dom  f  e.  om  /\  -.  dom  f  e.  dom  f )  /\  ( F `  j )  e.  A
)  ->  ( f  u.  { <. dom  f , 
( F `  j
) >. } ) : ( dom  f  u. 
{ dom  f }
) --> A )
4832, 37, 41, 46, 47syl121anc 1243 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } ) : ( dom  f  u. 
{ dom  f }
) --> A )
49 df-suc 4370 . . . . . . . . 9  |-  suc  dom  f  =  ( dom  f  u.  { dom  f } )
50 peano2 4593 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  e.  om  ->  suc 
dom  f  e.  om )
5149, 50eqeltrrid 2265 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  e.  om  ->  ( dom  f  u.  { dom  f } )  e. 
om )
5237, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( dom  f  u.  { dom  f } )  e.  om )
53 elomssom 4603 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  f  u.  { dom  f } )  e. 
om  ->  ( dom  f  u.  { dom  f } )  C_  om )
5452, 53syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( dom  f  u.  { dom  f } )  C_  om )
55 elpm2r 6663 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  /\  ( ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } ) : ( dom  f  u. 
{ dom  f }
) --> A  /\  ( dom  f  u.  { dom  f } )  C_  om )
)  ->  ( f  u.  { <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  e.  ( A  ^pm  om )
)
5625, 26, 48, 54, 55syl22anc 1239 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  e.  ( A  ^pm  om )
)
5748fdmd 5371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  dom  ( f  u.  { <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  =  ( dom  f  u. 
{ dom  f }
) )
5857, 52eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  dom  ( f  u.  { <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  e. 
om )
5920, 56, 58elrabd 2895 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  /\  -.  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )  ->  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } )  e. 
{ g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
60 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
6160adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
6261, 42, 17ennnfonelemdc 12392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  -> DECID  ( F `  j
)  e.  ( F
" j ) )
6318, 59, 62ifcldadc 3563 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  if ( ( F `  j )  e.  ( F " j ) ,  f ,  ( f  u.  { <. dom  f ,  ( F `
 j ) >. } ) )  e. 
{ g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
642, 13, 16, 17, 63ovmpod 5999 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  =  if ( ( F `  j )  e.  ( F "
j ) ,  f ,  ( f  u. 
{ <. dom  f , 
( F `  j
) >. } ) ) )
6564, 63eqeltrd 2254 1  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2737    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3592   <.cop 3595    |-> cmpt 4063   Ord word 4361   suc csuc 4364   omcom 4588   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   "cima 4628   -->wf 5211   -onto->wfo 5213   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    e. cmpo 5874  freccfrec 6388    ^pm cpm 6646   0cc0 7808   1c1 7809    + caddc 7811    - cmin 8124   NN0cn0 9172   ZZcz 9249    seqcseq 10440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pm 6648
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12397  ennnfonelem0  12398  ennnfonelemp1  12399  ennnfonelemom  12401
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