Theorem ennnfonelemg 12560

Description: Lemma for ennnfone 12582. Closure for G. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemg	|- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g, x, y   g, F, x, y   x, N   f, g, x, y   g, j, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, g, j, k, n)   H( x, y, f, g, j, k, n)   J( x, y, f, g, j, k, n)   N( y, f, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) ) )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> y = j )
4	3	fveq2d 5558	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F ` y ) = ( F ` j ) )
5	3	imaeq2d 5005	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F " y ) = ( F " j ) )
6	4, 5	eleq12d 2264	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` j ) e. ( F " j ) ) )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> x = f )
8	7	dmeqd 4864	. . . . . . . 8 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> dom x = dom f )
9	8, 4	opeq12d 3812	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom f , ( F ` j ) >. )
10	9	sneqd 3631	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom f , ( F ` j ) >. } )
11	7, 10	uneq12d 3314	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
12	6, 7, 11	ifbieq12d 3583	. . . 4 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
13	12	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( x = f /\ y = j ) ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
14		ssrab2 3264	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16	14, 15	sselid 3177	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. ( A ^pm om ) )
17		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> j e. om )
18		simplrl 535	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
19		dmeq 4862	. . . . . 6 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> dom g = dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
20	19	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> ( dom g e. om <-> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om ) )
21		omex 4625	. . . . . . . 8 |- om e. _V
22		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
23		focdmex 6167	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
24	21, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. _V )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> A e. _V )
26	21	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> om e. _V )
27		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
28		elrabi 2913	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f e. ( A ^pm om ) )
29		elpmi 6721	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( A ^pm om ) -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
31	30	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f : dom f --> A )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f : dom f --> A )
33		dmeq 4862	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> dom g = dom f )
34	33	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( dom g e. om <-> dom f e. om ) )
35	34	elrab 2916	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( f e. ( A ^pm om ) /\ dom f e. om ) )
36	35	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> dom f e. om )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom f e. om )
38		nnord 4644	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> Ord dom f )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> Ord dom f )
40		ordirr 4574	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom f -> -. dom f e. dom f )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> -. dom f e. dom f )
42	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om -onto-> A )
43		fof 5476	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om --> A )
45	44, 17	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( F ` j ) e. A )
46	45	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( F ` j ) e. A )
47		fsnunf 5758	. . . . . . 7 |- ( ( f : dom f --> A /\ ( dom f e. om /\ -. dom f e. dom f ) /\ ( F ` j ) e. A ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
48	32, 37, 41, 46, 47	syl121anc 1254	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
49		df-suc 4402	. . . . . . . . 9 |- suc dom f = ( dom f u. { dom f } )
50		peano2 4627	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> suc dom f e. om )
51	49, 50	eqeltrrid 2281	. . . . . . . 8 |- ( dom f e. om -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
52	37, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
53		elomssom 4637	. . . . . . 7 |- ( ( dom f u. { dom f } ) e. om -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
55		elpm2r 6720	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ om e. _V ) /\ ( ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A /\ ( dom f u. { dom f } ) C_ om ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
56	25, 26, 48, 54, 55	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
57	48	fdmd 5410	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) = ( dom f u. { dom f } ) )
58	57, 52	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om )
59	20, 56, 58	elrabd 2918	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
60		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
62	61, 42, 17	ennnfonelemdc 12556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> DECID ( F ` j ) e. ( F " j ) )
63	18, 59, 62	ifcldadc 3586	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
64	2, 13, 16, 17, 63	ovmpod 6046	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
65	64, 63	eqeltrd 2270	1 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   |-> cmpt 4090   Ord word 4393   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pm 6705

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12561  ennnfonelem0  12562  ennnfonelemp1  12563  ennnfonelemom  12565