Theorem ennnfonelemg 12974

Description: Lemma for ennnfone 12996. Closure for G. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemg	|- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g, x, y   g, F, x, y   x, N   f, g, x, y   g, j, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, g, j, k, n)   H( x, y, f, g, j, k, n)   J( x, y, f, g, j, k, n)   N( y, f, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) ) )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> y = j )
4	3	fveq2d 5631	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F ` y ) = ( F ` j ) )
5	3	imaeq2d 5068	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( F " y ) = ( F " j ) )
6	4, 5	eleq12d 2300	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` j ) e. ( F " j ) ) )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> x = f )
8	7	dmeqd 4925	. . . . . . . 8 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> dom x = dom f )
9	8, 4	opeq12d 3865	. . . . . . 7 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom f , ( F ` j ) >. )
10	9	sneqd 3679	. . . . . 6 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom f , ( F ` j ) >. } )
11	7, 10	uneq12d 3359	. . . . 5 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
12	6, 7, 11	ifbieq12d 3629	. . . 4 |- ( ( x = f /\ y = j ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
13	12	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( x = f /\ y = j ) ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
14		ssrab2 3309	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16	14, 15	sselid 3222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> f e. ( A ^pm om ) )
17		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> j e. om )
18		simplrl 535	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
19		dmeq 4923	. . . . . 6 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> dom g = dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) )
20	19	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( g = ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) -> ( dom g e. om <-> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om ) )
21		omex 4685	. . . . . . . 8 |- om e. _V
22		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
23		focdmex 6260	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
24	21, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. _V )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> A e. _V )
26	21	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> om e. _V )
27		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
28		elrabi 2956	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f e. ( A ^pm om ) )
29		elpmi 6814	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( A ^pm om ) -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> ( f : dom f --> A /\ dom f C_ om ) )
31	30	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> f : dom f --> A )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> f : dom f --> A )
33		dmeq 4923	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> dom g = dom f )
34	33	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( dom g e. om <-> dom f e. om ) )
35	34	elrab 2959	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( f e. ( A ^pm om ) /\ dom f e. om ) )
36	35	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } -> dom f e. om )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom f e. om )
38		nnord 4704	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> Ord dom f )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> Ord dom f )
40		ordirr 4634	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom f -> -. dom f e. dom f )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> -. dom f e. dom f )
42	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om -onto-> A )
43		fof 5548	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> F : om --> A )
45	44, 17	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( F ` j ) e. A )
46	45	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( F ` j ) e. A )
47		fsnunf 5839	. . . . . . 7 |- ( ( f : dom f --> A /\ ( dom f e. om /\ -. dom f e. dom f ) /\ ( F ` j ) e. A ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
48	32, 37, 41, 46, 47	syl121anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A )
49		df-suc 4462	. . . . . . . . 9 |- suc dom f = ( dom f u. { dom f } )
50		peano2 4687	. . . . . . . . 9 |- ( dom f e. om -> suc dom f e. om )
51	49, 50	eqeltrrid 2317	. . . . . . . 8 |- ( dom f e. om -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
52	37, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) e. om )
53		elomssom 4697	. . . . . . 7 |- ( ( dom f u. { dom f } ) e. om -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( dom f u. { dom f } ) C_ om )
55		elpm2r 6813	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ om e. _V ) /\ ( ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) : ( dom f u. { dom f } ) --> A /\ ( dom f u. { dom f } ) C_ om ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
56	25, 26, 48, 54, 55	syl22anc 1272	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. ( A ^pm om ) )
57	48	fdmd 5480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) = ( dom f u. { dom f } ) )
58	57, 52	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> dom ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. om )
59	20, 56, 58	elrabd 2961	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) /\ -. ( F ` j ) e. ( F " j ) ) -> ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
60		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
62	61, 42, 17	ennnfonelemdc 12970	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> DECID ( F ` j ) e. ( F " j ) )
63	18, 59, 62	ifcldadc 3632	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
64	2, 13, 16, 17, 63	ovmpod 6132	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) = if ( ( F ` j ) e. ( F " j ) , f , ( f u. { <. dom f , ( F ` j ) >. } ) ) )
65	64, 63	eqeltrd 2306	1 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   Ord word 4453   suc csuc 4456   omcom 4682   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   "cima 4722   -->wf 5314   -onto->wfo 5316   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   ^pm cpm 6796   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pm 6798

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12975  ennnfonelem0  12976  ennnfonelemp1  12977  ennnfonelemom  12979