Theorem limcdifap 12839

Description: It suffices to consider functions which are not defined at B to define the limit of a function. In particular, the value of the original function F at B does not affect the limit of F. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcdifap.a	|- ( ph -> A C_ CC )

Assertion

Ref	Expression
limcdifap	|- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem limcdifap

Dummy variables d e u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 12835	. . . . 5 |- ( u e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp3d 996	. . . 4 |- ( u e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( u e. ( F lim CC B ) -> B e. CC ) )
4		limcrcl 12835	. . . . 5 |- ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> ( ( F |` { x e. A | x # B } ) : dom ( F |` { x e. A | x # B } ) --> CC /\ dom ( F |` { x e. A | x # B } ) C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 996	. . . 4 |- ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> B e. CC )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> B e. CC ) )
7		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( x # B <-> z # B ) )
8		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z e. A )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z # B )
10	7, 8, 9	elrabd 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z e. { x e. A | x # B } )
11		fvres 5453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { x e. A | x # B } -> ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) = ( F ` z ) )
12	11	eqcomd 2146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { x e. A | x # B } -> ( F ` z ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) )
14	13	fvoveq1d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) )
15	14	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) )
16	15	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
17	16	pm5.74da 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) -> ( ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
18		impexp 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) )
19		impexp 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
20	19	imbi2i 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
21		pm5.4 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z # B -> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
22	20, 21	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
23	17, 18, 22	3bitr4g 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
24	23	ralbidva 2434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. A ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
25	7	ralrab 2849	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. A ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
26	24, 25	syl6bbr 197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
27	26	rexbidv 2439	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
28	27	ralbidv 2438	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
29	28	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
30		limccl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> CC )
31	30	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> F : A --> CC )
32		limcdifap.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ CC )
33	32	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> A C_ CC )
34		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> B e. CC )
35	31, 33, 34	ellimc3ap 12838	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
36		ssrab2 3187	. . . . . . 7 |- { x e. A | x # B } C_ A
37		fssres 5306	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ { x e. A | x # B } C_ A ) -> ( F |` { x e. A | x # B } ) : { x e. A | x # B } --> CC )
38	31, 36, 37	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( F |` { x e. A | x # B } ) : { x e. A | x # B } --> CC )
39	36, 33	sstrid 3113	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> { x e. A | x # B } C_ CC )
40	38, 39, 34	ellimc3ap 12838	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
41	29, 35, 40	3bitr4d 219	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) )
42	41	ex 114	. . 3 |- ( ph -> ( B e. CC -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) ) )
43	3, 6, 42	pm5.21ndd 695	. 2 |- ( ph -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) )
44	43	eqrdv 2138	1 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   |` cres 4549   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   < clt 7824   - cmin 7957   # cap 8367   RR+crp 9470   abscabs 10801   lim CC climc 12831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pm 6553  df-limced 12833

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  12871  dvmulxxbr  12874  dvrecap  12885