Theorem limcdifap 15527

Description: It suffices to consider functions which are not defined at B to define the limit of a function. In particular, the value of the original function F at B does not affect the limit of F. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcdifap.a	|- ( ph -> A C_ CC )

Assertion

Ref	Expression
limcdifap	|- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem limcdifap

Dummy variables d e u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 15523	. . . . 5 |- ( u e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp3d 1038	. . . 4 |- ( u e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( u e. ( F lim CC B ) -> B e. CC ) )
4		limcrcl 15523	. . . . 5 |- ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> ( ( F |` { x e. A | x # B } ) : dom ( F |` { x e. A | x # B } ) --> CC /\ dom ( F |` { x e. A | x # B } ) C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 1038	. . . 4 |- ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> B e. CC )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) -> B e. CC ) )
7		breq1 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( x # B <-> z # B ) )
8		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z e. A )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z # B )
10	7, 8, 9	elrabd 2975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> z e. { x e. A | x # B } )
11		fvres 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { x e. A | x # B } -> ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) = ( F ` z ) )
12	11	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { x e. A | x # B } -> ( F ` z ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) )
14	13	fvoveq1d 6072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) )
15	14	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) /\ z # B ) -> ( ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
17	16	pm5.74da 443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) -> ( ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
18		impexp 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) )
19		impexp 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
20	19	imbi2i 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
21		pm5.4 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z # B -> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
22	20, 21	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( z # B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
23	17, 18, 22	3bitr4g 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. CC ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
24	23	ralbidva 2538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. A ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
25	7	ralrab 2978	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. A ( z # B -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
26	24, 25	bitr4di 198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
27	26	rexbidv 2543	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
28	27	ralbidv 2542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) )
29	28	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
30		limccl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> CC )
31	30	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> F : A --> CC )
32		limcdifap.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ CC )
33	32	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> A C_ CC )
34		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> B e. CC )
35	31, 33, 34	ellimc3ap 15526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
36		ssrab2 3323	. . . . . . 7 |- { x e. A | x # B } C_ A
37		fssres 5540	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ { x e. A | x # B } C_ A ) -> ( F |` { x e. A | x # B } ) : { x e. A | x # B } --> CC )
38	31, 36, 37	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( F |` { x e. A | x # B } ) : { x e. A | x # B } --> CC )
39	36, 33	sstrid 3249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> { x e. A | x # B } C_ CC )
40	38, 39, 34	ellimc3ap 15526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) <-> ( u e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. { x e. A | x # B } ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` { x e. A | x # B } ) ` z ) - u ) ) < e ) ) ) )
41	29, 35, 40	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. CC ) -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) )
42	41	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( B e. CC -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) ) )
43	3, 6, 42	pm5.21ndd 713	. 2 |- ( ph -> ( u e. ( F lim CC B ) <-> u e. ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) ) )
44	43	eqrdv 2230	1 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( F |` { x e. A | x # B } ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   |` cres 4751   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   # cap 8855   RR+crp 9986   abscabs 11682   lim CC climc 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pm 6885  df-limced 15521

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  15564  dvmulxxbr  15567  dvrecap  15578