Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcdifap Unicode version

Theorem limcdifap 12814
 Description: It suffices to consider functions which are not defined at to define the limit of a function. In particular, the value of the original function at does not affect the limit of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f
limcdifap.a
Assertion
Ref Expression
limcdifap lim # lim
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem limcdifap
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 12810 . . . . 5 lim
21simp3d 995 . . . 4 lim
32a1i 9 . . 3 lim
4 limcrcl 12810 . . . . 5 # lim # # #
54simp3d 995 . . . 4 # lim
65a1i 9 . . 3 # lim
7 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # #
8 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 #
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # #
107, 8, 9elrabd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
11 fvres 5445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # #
1211eqcomd 2145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 # #
1413fvoveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
1514breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . 13 # #
1615imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12 # #
1716pm5.74da 439 . . . . . . . . . . 11 # # #
18 impexp 261 . . . . . . . . . . 11 # #
19 impexp 261 . . . . . . . . . . . . 13 # # # #
2019imbi2i 225 . . . . . . . . . . . 12 # # # # # #
21 pm5.4 248 . . . . . . . . . . . 12 # # # # #
2220, 21bitri 183 . . . . . . . . . . 11 # # # # #
2317, 18, 223bitr4g 222 . . . . . . . . . 10 # # # #
2423ralbidva 2433 . . . . . . . . 9 # # # #
257ralrab 2845 . . . . . . . . 9 # # # # # #
2624, 25syl6bbr 197 . . . . . . . 8 # # # #
2726rexbidv 2438 . . . . . . 7 # # # #
2827ralbidv 2437 . . . . . 6 # # # #
2928anbi2d 459 . . . . 5 # # # #
30 limccl.f . . . . . . 7
3130adantr 274 . . . . . 6
32 limcdifap.a . . . . . . 7
3332adantr 274 . . . . . 6
34 simpr 109 . . . . . 6
3531, 33, 34ellimc3ap 12813 . . . . 5 lim #
36 ssrab2 3182 . . . . . . 7 #
37 fssres 5298 . . . . . . 7 # # #
3831, 36, 37sylancl 409 . . . . . 6 # #
3936, 33sstrid 3108 . . . . . 6 #
4038, 39, 34ellimc3ap 12813 . . . . 5 # lim # # #
4129, 35, 403bitr4d 219 . . . 4 lim # lim
4241ex 114 . . 3 lim # lim
433, 6, 42pm5.21ndd 694 . 2 lim # lim
4443eqrdv 2137 1 lim # lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  crab 2420   wss 3071   class class class wbr 3929   cdm 4539   cres 4541  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630   clt 7812   cmin 7945   # cap 8355  crp 9453  cabs 10781   lim climc 12806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pm 6545  df-limced 12808 This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  12846  dvmulxxbr  12849  dvrecap  12860
 Copyright terms: Public domain W3C validator