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Theorem limcdifap 14134
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 
B to define the limit of a function. In particular, the value of the original function  F at  B does not affect the limit of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcdifap.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
Assertion
Ref Expression
limcdifap  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x)

Proof of Theorem limcdifap
Dummy variables  d  e  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 14130 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp3d 1011 . . . 4  |-  ( u  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
32a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC ) )
4 limcrcl 14130 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) lim CC  B )  ->  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) : dom  ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } )  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
54simp3d 1011 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) lim CC  B
)  ->  B  e.  CC ) )
7 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
x #  B  <->  z #  B
) )
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  z  e.  A )
9 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  z #  B
)
107, 8, 9elrabd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  z  e.  { x  e.  A  |  x #  B } )
11 fvres 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  =  ( F `  z ) )
1211eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  ( F `  z )  =  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
) )
1413fvoveq1d 5897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
)  -  u ) ) )
1514breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) )
1615imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A
)  /\  z #  B
)  ->  ( (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
1716pm5.74da 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z #  B  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e ) )  <->  ( z #  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) ) )
18 impexp 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e )  <-> 
( z #  B  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e ) ) )
19 impexp 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e )  <->  ( z #  B  ->  ( ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2019imbi2i 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z #  B  ->  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) )  <->  ( z #  B  ->  ( z #  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) ) )
21 pm5.4 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z #  B  ->  (
z #  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )  <-> 
( z #  B  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2220, 21bitri 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z #  B  ->  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) )  <->  ( z #  B  ->  ( ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2317, 18, 223bitr4g 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  CC )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e )  <-> 
( z #  B  -> 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) ) )
2423ralbidva 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e )  <->  A. z  e.  A  ( z #  B  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) ) )
257ralrab 2899 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
)  -  u ) )  <  e )  <->  A. z  e.  A  ( z #  B  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2624, 25bitr4di 198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e )  <->  A. z  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
)  -  u ) )  <  e ) ) )
2726rexbidv 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
e )  <->  E. d  e.  RR+  A. z  e. 
{ x  e.  A  |  x #  B } 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2827ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) )  <  e
)  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  { x  e.  A  |  x #  B } 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) )
2928anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) )  <  e
) )  <->  ( u  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  {
x  e.  A  |  x #  B }  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) `  z
)  -  u ) )  <  e ) ) ) )
30 limccl.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3130adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  F : A
--> CC )
32 limcdifap.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3332adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
34 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
3531, 33, 34ellimc3ap 14133 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( u  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( u  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  e ) ) ) )
36 ssrab2 3241 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  A
37 fssres 5392 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  A
)  ->  ( F  |` 
{ x  e.  A  |  x #  B }
) : { x  e.  A  |  x #  B } --> CC )
3831, 36, 37sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) : { x  e.  A  |  x #  B } --> CC )
3936, 33sstrid 3167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  CC )
4038, 39, 34ellimc3ap 14133 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) lim CC  B )  <->  ( u  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e. 
{ x  e.  A  |  x #  B } 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) `  z )  -  u ) )  < 
e ) ) ) )
4129, 35, 403bitr4d 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  CC )  ->  ( u  e.  ( F lim CC  B )  <->  u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B }
) lim CC  B )
) )
4241ex 115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  CC  ->  ( u  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) lim CC  B
) ) ) )
433, 6, 42pm5.21ndd 705 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
u  e.  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) lim CC  B
) ) )
4443eqrdv 2175 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( F  |`  { x  e.  A  |  x #  B } ) lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3130   class class class wbr 4004   dom cdm 4627    |` cres 4629   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809    < clt 7992    - cmin 8128   # cap 8538   RR+crp 9653   abscabs 11006   lim CC climc 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pm 6651  df-limced 14128
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14166  dvmulxxbr  14169  dvrecap  14180
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