Theorem ennnfonelemj0 13021

Description: Lemma for ennnfone 13045. Initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	|- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x, y, g, j, k, n)   A( x, y, j, k, n)   F( x, y, g, j, k, n)   G( x, y, g, j, k, n)   H( x, y, g, j, k, n)   J( x, y, g, j, k, n)   N( y, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9416	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		eqid 2231	. . . . . 6 |- 0 = 0
3	2	iftruei 3611	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
4		0ex 4216	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2304	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
6		eqeq1 2238	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
7		fvoveq1 6040	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
8	6, 7	ifbieq2d 3630	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5722	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
11	1, 5, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
12	11, 3	eqtri 2252	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
13		dmeq 4931	. . . 4 |- ( g = (/) -> dom g = dom (/) )
14	13	eleq1d 2300	. . 3 |- ( g = (/) -> ( dom g e. om <-> dom (/) e. om ) )
15		fun0 5388	. . . . 5 |- Fun (/)
16		0ss 3533	. . . . 5 |- (/) C_ ( om X. A )
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) )
18		omex 4691	. . . . . 6 |- om e. _V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20		focdmex 6276	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
22		elpmg 6832	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ om e. _V ) -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
23	21, 18, 22	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^pm om ) )
25		dm0 4945	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
26		peano1 4692	. . . . 5 |- (/) e. om
27	25, 26	eqeltri 2304	. . . 4 |- dom (/) e. om
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> dom (/) e. om )
29	14, 24, 28	elrabd 2964	. 2 |- ( ph -> (/) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
30	12, 29	eqeltrid 2318	1 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   _Vcvv 2802   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   "cima 4728   Fun wfun 5320   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019  freccfrec 6555   ^pm cpm 6817   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pm 6819  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  13024  ennnfonelem0  13025  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemom  13028