Theorem ennnfonelemj0 12334

Description: Lemma for ennnfone 12358. Initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	|- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x, y, g, j, k, n)   A( x, y, j, k, n)   F( x, y, g, j, k, n)   G( x, y, g, j, k, n)   H( x, y, g, j, k, n)   J( x, y, g, j, k, n)   N( y, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9129	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		eqid 2165	. . . . . 6 |- 0 = 0
3	2	iftruei 3526	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
4		0ex 4109	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2239	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
6		eqeq1 2172	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
7		fvoveq1 5865	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
8	6, 7	ifbieq2d 3544	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5562	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
11	1, 5, 10	mp2an 423	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
12	11, 3	eqtri 2186	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
13		dmeq 4804	. . . 4 |- ( g = (/) -> dom g = dom (/) )
14	13	eleq1d 2235	. . 3 |- ( g = (/) -> ( dom g e. om <-> dom (/) e. om ) )
15		fun0 5246	. . . . 5 |- Fun (/)
16		0ss 3447	. . . . 5 |- (/) C_ ( om X. A )
17	15, 16	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) )
18		omex 4570	. . . . . 6 |- om e. _V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20		focdmex 10700	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ F : om -onto-> A ) -> A e. _V )
21	18, 19, 20	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
22		elpmg 6630	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ om e. _V ) -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
23	21, 18, 22	sylancl 410	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
24	17, 23	mpbiri 167	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^pm om ) )
25		dm0 4818	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
26		peano1 4571	. . . . 5 |- (/) e. om
27	25, 26	eqeltri 2239	. . . 4 |- dom (/) e. om
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> dom (/) e. om )
29	14, 24, 28	elrabd 2884	. 2 |- ( ph -> (/) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
30	12, 29	eqeltrid 2253	1 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   ^pm cpm 6615   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-i2m1 7858

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pm 6617  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12337  ennnfonelem0  12338  ennnfonelemp1  12339  ennnfonelemom  12341