Theorem ennnfonelemj0 13292

Description: Lemma for ennnfone 13316. Initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	|- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x, y, g, j, k, n)   A( x, y, j, k, n)   F( x, y, g, j, k, n)   G( x, y, g, j, k, n)   H( x, y, g, j, k, n)   J( x, y, g, j, k, n)   N( y, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9578	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		eqid 2238	. . . . . 6 |- 0 = 0
3	2	iftruei 3646	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
4		0ex 4260	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2311	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
6		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
7		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
8	6, 7	ifbieq2d 3665	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5781	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
11	1, 5, 10	mp2an 430	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
12	11, 3	eqtri 2259	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
13		dmeq 4981	. . . 4 |- ( g = (/) -> dom g = dom (/) )
14	13	eleq1d 2307	. . 3 |- ( g = (/) -> ( dom g e. om <-> dom (/) e. om ) )
15		fun0 5439	. . . . 5 |- Fun (/)
16		0ss 3561	. . . . 5 |- (/) C_ ( om X. A )
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) )
18		omex 4740	. . . . . 6 |- om e. _V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20		focdmex 6344	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
22		elpmg 6938	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ om e. _V ) -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
23	21, 18, 22	sylancl 417	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^pm om ) )
25		dm0 4995	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
26		peano1 4741	. . . . 5 |- (/) e. om
27	25, 26	eqeltri 2311	. . . 4 |- dom (/) e. om
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> dom (/) e. om )
29	14, 24, 28	elrabd 2984	. 2 |- ( ph -> (/) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
30	12, 29	eqeltrid 2325	1 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   |-> cmpt 4192   suc csuc 4510   omcom 4737   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   "cima 4777   Fun wfun 5371   -onto->wfo 5375   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087  freccfrec 6661   ^pm cpm 6923   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pm 6925  df-n0 9564

This theorem is used by:  ennnfonelemh  13295  ennnfonelem0  13296  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemom  13299