Theorem ennnfonelemj0 12102

Description: Lemma for ennnfone 12126. Initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	|- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x, y, g, j, k, n)   A( x, y, j, k, n)   F( x, y, g, j, k, n)   G( x, y, g, j, k, n)   H( x, y, g, j, k, n)   J( x, y, g, j, k, n)   N( y, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9088	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		eqid 2157	. . . . . 6 |- 0 = 0
3	2	iftruei 3511	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
4		0ex 4091	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2230	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
6		eqeq1 2164	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
7		fvoveq1 5841	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
8	6, 7	ifbieq2d 3529	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5541	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
11	1, 5, 10	mp2an 423	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
12	11, 3	eqtri 2178	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
13		dmeq 4783	. . . 4 |- ( g = (/) -> dom g = dom (/) )
14	13	eleq1d 2226	. . 3 |- ( g = (/) -> ( dom g e. om <-> dom (/) e. om ) )
15		fun0 5225	. . . . 5 |- Fun (/)
16		0ss 3432	. . . . 5 |- (/) C_ ( om X. A )
17	15, 16	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) )
18		omex 4550	. . . . . 6 |- om e. _V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20		focdmex 10643	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ F : om -onto-> A ) -> A e. _V )
21	18, 19, 20	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
22		elpmg 6602	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ om e. _V ) -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
23	21, 18, 22	sylancl 410	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
24	17, 23	mpbiri 167	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^pm om ) )
25		dm0 4797	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
26		peano1 4551	. . . . 5 |- (/) e. om
27	25, 26	eqeltri 2230	. . . 4 |- dom (/) e. om
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> dom (/) e. om )
29	14, 24, 28	elrabd 2870	. 2 |- ( ph -> (/) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
30	12, 29	eqeltrid 2244	1 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   _Vcvv 2712   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   <.cop 3563   |-> cmpt 4025   suc csuc 4324   omcom 4547   X. cxp 4581   `'ccnv 4582   dom cdm 4583   "cima 4586   Fun wfun 5161   -onto->wfo 5165   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   e. cmpo 5820  freccfrec 6331   ^pm cpm 6587   0cc0 7715   1c1 7716   + caddc 7718   - cmin 8029   NN0cn0 9073   ZZcz 9150   seqcseq 10326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-1cn 7808  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-mulcl 7813  ax-i2m1 7820

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pm 6589  df-n0 9074

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12105  ennnfonelem0  12106  ennnfonelemp1  12107  ennnfonelemom  12109