Theorem ennnfonelemj0 12385

Description: Lemma for ennnfone 12409. Initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	|- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Distinct variable groups:   A, g   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x, y, g, j, k, n)   A( x, y, j, k, n)   F( x, y, g, j, k, n)   G( x, y, g, j, k, n)   H( x, y, g, j, k, n)   J( x, y, g, j, k, n)   N( y, g, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9180	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		eqid 2177	. . . . . 6 |- 0 = 0
3	2	iftruei 3540	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
4		0ex 4127	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2250	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
6		eqeq1 2184	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
7		fvoveq1 5892	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
8	6, 7	ifbieq2d 3558	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5588	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
11	1, 5, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
12	11, 3	eqtri 2198	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
13		dmeq 4823	. . . 4 |- ( g = (/) -> dom g = dom (/) )
14	13	eleq1d 2246	. . 3 |- ( g = (/) -> ( dom g e. om <-> dom (/) e. om ) )
15		fun0 5270	. . . . 5 |- Fun (/)
16		0ss 3461	. . . . 5 |- (/) C_ ( om X. A )
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) )
18		omex 4589	. . . . . 6 |- om e. _V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20		focdmex 6110	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( F : om -onto-> A -> A e. _V ) )
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
22		elpmg 6658	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ om e. _V ) -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
23	21, 18, 22	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. ( A ^pm om ) <-> ( Fun (/) /\ (/) C_ ( om X. A ) ) ) )
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^pm om ) )
25		dm0 4837	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
26		peano1 4590	. . . . 5 |- (/) e. om
27	25, 26	eqeltri 2250	. . . 4 |- dom (/) e. om
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> dom (/) e. om )
29	14, 24, 28	elrabd 2895	. 2 |- ( ph -> (/) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
30	12, 29	eqeltrid 2264	1 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   <.cop 3594   |-> cmpt 4061   suc csuc 4362   omcom 4586   X. cxp 4621   `'ccnv 4622   dom cdm 4623   "cima 4626   Fun wfun 5206   -onto->wfo 5210   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871  freccfrec 6385   ^pm cpm 6643   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   - cmin 8118   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-1cn 7895  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-mulcl 7900  ax-i2m1 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pm 6645  df-n0 9166

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12388  ennnfonelem0  12389  ennnfonelemp1  12390  ennnfonelemom  12392