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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ivthinc | Unicode version |
Description: The intermediate value theorem, increasing case, for a strictly monotonic function. Theorem 5.5 of [Bauer], p. 494. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2024.) |
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ivth.1 |
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ivth.2 |
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ivth.3 |
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ivth.4 |
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ivth.5 |
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ivth.7 |
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ivth.8 |
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ivth.9 |
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ivthinc.i |
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ivthinc |
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1 | ivth.1 |
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2 | ivth.2 |
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3 | ivth.3 |
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4 | ivth.4 |
. . . 4
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5 | ivth.5 |
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6 | ivth.7 |
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7 | ivth.8 |
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9 | ivthinc.i |
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10 | eqid 2188 |
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11 | eqid 2188 |
. . . 4
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12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | ivthinclemex 14503 |
. . 3
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13 | reurex 2703 |
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. 2
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15 | elioore 9929 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | ltnrd 8086 |
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18 | breq1 4020 |
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19 | simplrl 535 |
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20 | fveq2 5529 |
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21 | 20 | breq1d 4027 |
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22 | ioossicc 9976 |
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23 | 22 | sseli 3165 |
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24 | 23 | adantl 277 |
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25 | 24 | ad2antrr 488 |
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26 | simpr 110 |
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27 | 21, 25, 26 | elrabd 2909 |
. . . . . . . . 9
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28 | 18, 19, 27 | rspcdva 2860 |
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29 | 17, 28 | mtand 666 |
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30 | breq2 4021 |
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31 | simplrr 536 |
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32 | 20 | breq2d 4029 |
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33 | 24 | ad2antrr 488 |
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34 | simpr 110 |
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35 | 32, 33, 34 | elrabd 2909 |
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36 | 30, 31, 35 | rspcdva 2860 |
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37 | 17, 36 | mtand 666 |
. . . . . . 7
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38 | ioran 753 |
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39 | 29, 37, 38 | sylanbrc 417 |
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41 | 40 | eleq1d 2257 |
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42 | 7 | ralrimiva 2562 |
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44 | 41, 43, 24 | rspcdva 2860 |
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45 | 3 | adantr 276 |
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46 | reaplt 8562 |
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47 | 44, 45, 46 | syl2anc 411 |
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48 | 47 | adantr 276 |
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49 | 39, 48 | mtbird 674 |
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50 | 44 | recnd 8003 |
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51 | 50 | adantr 276 |
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52 | 3 | recnd 8003 |
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53 | 52 | ad2antrr 488 |
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54 | apti 8596 |
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55 | 51, 53, 54 | syl2anc 411 |
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56 | 49, 55 | mpbird 167 |
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57 | 56 | ex 115 |
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58 | 57 | reximdva 2591 |
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59 | 14, 58 | mpd 13 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-coll 4132 ax-sep 4135 ax-nul 4143 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 ax-setind 4550 ax-iinf 4601 ax-cnex 7919 ax-resscn 7920 ax-1cn 7921 ax-1re 7922 ax-icn 7923 ax-addcl 7924 ax-addrcl 7925 ax-mulcl 7926 ax-mulrcl 7927 ax-addcom 7928 ax-mulcom 7929 ax-addass 7930 ax-mulass 7931 ax-distr 7932 ax-i2m1 7933 ax-0lt1 7934 ax-1rid 7935 ax-0id 7936 ax-rnegex 7937 ax-precex 7938 ax-cnre 7939 ax-pre-ltirr 7940 ax-pre-ltwlin 7941 ax-pre-lttrn 7942 ax-pre-apti 7943 ax-pre-ltadd 7944 ax-pre-mulgt0 7945 ax-pre-mulext 7946 ax-arch 7947 ax-caucvg 7948 ax-pre-suploc 7949 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ne 2360 df-nel 2455 df-ral 2472 df-rex 2473 df-reu 2474 df-rmo 2475 df-rab 2476 df-v 2753 df-sbc 2977 df-csb 3072 df-dif 3145 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-nul 3437 df-if 3549 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-iun 3902 df-br 4018 df-opab 4079 df-mpt 4080 df-tr 4116 df-id 4307 df-po 4310 df-iso 4311 df-iord 4380 df-on 4382 df-ilim 4383 df-suc 4385 df-iom 4604 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-co 4649 df-dm 4650 df-rn 4651 df-res 4652 df-ima 4653 df-iota 5192 df-fun 5232 df-fn 5233 df-f 5234 df-f1 5235 df-fo 5236 df-f1o 5237 df-fv 5238 df-isom 5239 df-riota 5846 df-ov 5893 df-oprab 5894 df-mpo 5895 df-1st 6158 df-2nd 6159 df-recs 6323 df-frec 6409 df-map 6667 df-sup 7000 df-inf 7001 df-pnf 8011 df-mnf 8012 df-xr 8013 df-ltxr 8014 df-le 8015 df-sub 8147 df-neg 8148 df-reap 8549 df-ap 8556 df-div 8647 df-inn 8937 df-2 8995 df-3 8996 df-4 8997 df-n0 9194 df-z 9271 df-uz 9546 df-rp 9671 df-ioo 9909 df-icc 9912 df-seqfrec 10463 df-exp 10537 df-cj 10868 df-re 10869 df-im 10870 df-rsqrt 11024 df-abs 11025 df-cncf 14441 |
This theorem is referenced by: ivthdec 14505 reeff1olem 14575 |
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