Theorem uzwodc 11966

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
uzwodc	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable groups:   j, M, k   x, M, k   S, j, k   x, S

Proof of Theorem uzwodc

Dummy variables s p t q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
2		oveq1 5848	. . . . . . . 8 |- ( p = s -> ( p - 1 ) = ( s - 1 ) )
3	2	oveq1d 5856	. . . . . . 7 |- ( p = s -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( s - 1 ) + M ) )
4	3	eleq1d 2234	. . . . . 6 |- ( p = s -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
5	4	elrab 2881	. . . . 5 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
6	1, 5	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
7	6	simprd 113	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( ( s - 1 ) + M ) e. S )
8		breq2 3985	. . . . . . 7 |- ( t = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( s <_ t <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
9		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
10		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) )
11	10	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
12	11	eleq1d 2234	. . . . . . . 8 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
13		simp1 987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
14	13	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. S )
16	14, 15	sseldd 3142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
17		eluzelz 9471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ZZ )
19		simp2 988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. x x e. S )
20		ssel2 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
21		eluzel2 9467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. ZZ )
23	22	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> M e. ZZ ) )
24	23	exlimdv 1807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> M e. ZZ ) )
25	13, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
26	25	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. ZZ )
27	18, 26	zsubcld 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. ZZ )
28		eluzle 9474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
29	16, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M <_ k )
30	18	zred 9309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. RR )
31	26	zred 9309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. RR )
32	30, 31	subge0d 8429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( 0 <_ ( k - M ) <-> M <_ k ) )
33	29, 32	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 0 <_ ( k - M ) )
34		elnn0z 9200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - M ) e. NN0 <-> ( ( k - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( k - M ) ) )
35	27, 33, 34	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. NN0 )
36		nn0p1nn 9149	. . . . . . . . 9 |- ( ( k - M ) e. NN0 -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
38	27	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. CC )
39		1cnd 7911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. CC )
40	38, 39	pncand 8206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) = ( k - M ) )
41	40	oveq1d 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( k - M ) + M ) )
42	18	zcnd 9310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. CC )
43	26	zcnd 9310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. CC )
44	42, 43	npcand 8209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + M ) = k )
45	41, 44	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = k )
46	45, 15	eqeltrd 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
47	12, 37, 46	elrabd 2883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
48	8, 9, 47	rspcdva 2834	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) )
49		elrabi 2878	. . . . . . . . 9 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> s e. NN )
50	49	ad3antlr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. NN )
51	50	nnred 8866	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. RR )
52		1red 7910	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. RR )
53	30, 31	resubcld 8275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. RR )
54	51, 52, 53	lesubaddd 8436	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) <_ ( k - M ) <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
55	48, 54	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) )
56	51, 52	resubcld 8275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) e. RR )
57		leaddsub 8332	. . . . . 6 |- ( ( ( s - 1 ) e. RR /\ M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
58	56, 31, 30, 57	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
59	55, 58	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
60	59	ralrimiva 2538	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
61		breq1 3984	. . . . 5 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( j <_ k <-> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
62	61	ralbidv 2465	. . . 4 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( A. k e. S j <_ k <-> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
63	62	rspcev 2829	. . 3 |- ( ( ( ( s - 1 ) + M ) e. S /\ A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
64	7, 60, 63	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
65		ssrab2 3226	. . 3 |- { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN
66		eluzelz 9471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
67	20, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ZZ )
68	67, 22	zsubcld 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. ZZ )
69		1zzd 9214	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. ZZ )
70	68, 69	zaddcld 9313	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ )
71		oveq1 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) )
72	71	oveq1d 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
73	72	eleq1d 2234	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
74		eluzle 9474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
75	20, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M <_ x )
76	67	zred 9309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. RR )
77	22	zred 9309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. RR )
78	76, 77	subge0d 8429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
79	75, 78	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 0 <_ ( x - M ) )
80		elnn0z 9200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
81	68, 79, 80	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. NN0 )
82		nn0p1nn 9149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - M ) e. NN0 -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
84	68	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. CC )
85		1cnd 7911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
86	84, 85	pncand 8206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) = ( x - M ) )
87	86	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( x - M ) + M ) )
88	67	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. CC )
89	22	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. CC )
90	88, 89	npcand 8209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + M ) = x )
91	87, 90	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = x )
92		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. S )
93	91, 92	eqeltrd 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
94	73, 83, 93	elrabd 2883	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
95		eleq1 2228	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
96	95	spcegv 2813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
97	70, 94, 96	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
98	97	ex 114	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
99	98	exlimdv 1807	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
100	99	imp 123	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
101	100	3adant3 1007	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
102		eleq1 2228	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> ( x e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
103	102	dcbid 828	. . . . . 6 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> (DECID x e. S <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
104		simpl3 992	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S )
105	24	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> M e. ZZ )
106	105	3adant3 1007	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
107	106	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. ZZ )
108		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. NN )
109	108	nnzd 9308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. ZZ )
110		1zzd 9214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 1 e. ZZ )
111	109, 110	zsubcld 9314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. ZZ )
112	111, 107	zaddcld 9313	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ )
113		nnm1ge0 9273	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN -> 0 <_ ( r - 1 ) )
114	113	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 0 <_ ( r - 1 ) )
115	107	zred 9309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. RR )
116	111	zred 9309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. RR )
117	115, 116	addge02d 8428	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( 0 <_ ( r - 1 ) <-> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
118	114, 117	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) )
119		eluz2 9468	. . . . . . 7 |- ( ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ /\ M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
120	107, 112, 118, 119	syl3anbrc 1171	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
121	103, 104, 120	rspcdva 2834	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S )
122		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( p = r -> ( p - 1 ) = ( r - 1 ) )
123	122	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 |- ( p = r -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( r - 1 ) + M ) )
124	123	eleq1d 2234	. . . . . . . 8 |- ( p = r -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
125	124	elrab3 2882	. . . . . . 7 |- ( r e. NN -> ( r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
126	125	dcbid 828	. . . . . 6 |- ( r e. NN -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
127	126	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
128	121, 127	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
129	128	ralrimiva 2538	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
130		nnwodc 11965	. . 3 |- ( ( { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN /\ E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } /\ A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
131	65, 101, 129, 130	mp3an2i 1332	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
132	64, 131	r19.29a 2608	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   {crab 2447   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   <_ cle 7930   - cmin 8065   NNcn 8853   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by: (None)