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Theorem uzwodc 12021
Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
uzwodc  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Distinct variable groups:    j, M, k   
x, M, k    S, j, k    x, S

Proof of Theorem uzwodc
Dummy variables  s  p  t  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_ 
t )  ->  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
2 oveq1 5876 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  s  ->  (
p  -  1 )  =  ( s  - 
1 ) )
32oveq1d 5884 . . . . . . 7  |-  ( p  =  s  ->  (
( p  -  1 )  +  M )  =  ( ( s  -  1 )  +  M ) )
43eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( p  =  s  ->  (
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S  <->  ( (
s  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
54elrab 2893 . . . . 5  |-  ( s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  <->  ( s  e.  NN  /\  ( ( s  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
61, 5sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_ 
t )  ->  (
s  e.  NN  /\  ( ( s  - 
1 )  +  M
)  e.  S ) )
76simprd 114 . . 3  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_ 
t )  ->  (
( s  -  1 )  +  M )  e.  S )
8 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
s  <_  t  <->  s  <_  ( ( k  -  M
)  +  1 ) ) )
9 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)
10 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
p  -  1 )  =  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) )
1110oveq1d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
( p  -  1 )  +  M )  =  ( ( ( ( k  -  M
)  +  1 )  -  1 )  +  M ) )
1211eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S  <->  ( (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
13 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  S  C_  ( ZZ>= `  M )
)
1413ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  S  C_  ( ZZ>= `  M )
)
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  S )
1614, 15sseldd 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
17 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  ZZ )
19 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  E. x  x  e.  S )
20 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21 eluzel2 9522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
2322ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  S  ->  M  e.  ZZ ) )
2423exlimdv 1819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. x  x  e.  S  ->  M  e.  ZZ ) )
2513, 19, 24sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
2718, 26zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
k  -  M )  e.  ZZ )
28 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
2916, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  M  <_  k )
3018zred 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  RR )
3126zred 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  M  e.  RR )
3230, 31subge0d 8482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
0  <_  ( k  -  M )  <->  M  <_  k ) )
3329, 32mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  0  <_  ( k  -  M
) )
34 elnn0z 9255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  M )  e.  NN0  <->  ( ( k  -  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( k  -  M
) ) )
3527, 33, 34sylanbrc 417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
k  -  M )  e.  NN0 )
36 nn0p1nn 9204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN )
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( k  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
3827zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
k  -  M )  e.  CC )
39 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  1  e.  CC )
4038, 39pncand 8259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
4140oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  =  ( ( k  -  M )  +  M ) )
4218zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  CC )
4326zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  M  e.  CC )
4442, 43npcand 8262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( k  -  M
)  +  M )  =  k )
4541, 44eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  =  k )
4645, 15eqeltrd 2254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  e.  S )
4712, 37, 46elrabd 2895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( k  -  M
)  +  1 )  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
488, 9, 47rspcdva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  s  <_  ( ( k  -  M )  +  1 ) )
49 elrabi 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  ->  s  e.  NN )
5049ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  s  e.  NN )
5150nnred 8921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  s  e.  RR )
52 1red 7963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  1  e.  RR )
5330, 31resubcld 8328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
k  -  M )  e.  RR )
5451, 52, 53lesubaddd 8489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( s  -  1 )  <_  ( k  -  M )  <->  s  <_  ( ( k  -  M
)  +  1 ) ) )
5548, 54mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
s  -  1 )  <_  ( k  -  M ) )
5651, 52resubcld 8328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
s  -  1 )  e.  RR )
57 leaddsub 8385 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  -  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( ( s  - 
1 )  +  M
)  <_  k  <->  ( s  -  1 )  <_ 
( k  -  M
) ) )
5856, 31, 30, 57syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( s  - 
1 )  +  M
)  <_  k  <->  ( s  -  1 )  <_ 
( k  -  M
) ) )
5955, 58mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
)  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)  /\  k  e.  S )  ->  (
( s  -  1 )  +  M )  <_  k )
6059ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_ 
t )  ->  A. k  e.  S  ( (
s  -  1 )  +  M )  <_ 
k )
61 breq1 4003 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( s  -  1 )  +  M )  ->  (
j  <_  k  <->  ( (
s  -  1 )  +  M )  <_ 
k ) )
6261ralbidv 2477 . . . 4  |-  ( j  =  ( ( s  -  1 )  +  M )  ->  ( A. k  e.  S  j  <_  k  <->  A. k  e.  S  ( (
s  -  1 )  +  M )  <_ 
k ) )
6362rspcev 2841 . . 3  |-  ( ( ( ( s  - 
1 )  +  M
)  e.  S  /\  A. k  e.  S  ( ( s  -  1 )  +  M )  <_  k )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
647, 60, 63syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  /\  A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_ 
t )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
65 ssrab2 3240 . . 3  |-  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  C_  NN
66 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
6720, 66syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ZZ )
6867, 22zsubcld 9369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  M )  e.  ZZ )
69 1zzd 9269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
7068, 69zaddcld 9368 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  M
)  +  1 )  e.  ZZ )
71 oveq1 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( ( x  -  M )  +  1 )  ->  (
p  -  1 )  =  ( ( ( x  -  M )  +  1 )  - 
1 ) )
7271oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( ( x  -  M )  +  1 )  ->  (
( p  -  1 )  +  M )  =  ( ( ( ( x  -  M
)  +  1 )  -  1 )  +  M ) )
7372eleq1d 2246 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( ( x  -  M )  +  1 )  ->  (
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S  <->  ( (
( ( x  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
74 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  x )
7520, 74syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  M  <_  x )
7667zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  RR )
7722zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  RR )
7876, 77subge0d 8482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
0  <_  ( x  -  M )  <->  M  <_  x ) )
7975, 78mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  0  <_  ( x  -  M
) )
80 elnn0z 9255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  -  M )  e.  NN0  <->  ( ( x  -  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( x  -  M
) ) )
8168, 79, 80sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  M )  e.  NN0 )
82 nn0p1nn 9204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( x  -  M )  +  1 )  e.  NN )
8381, 82syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
8468zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  M )  e.  CC )
85 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
8684, 85pncand 8259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( x  -  M ) )
8786oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( ( x  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  =  ( ( x  -  M )  +  M ) )
8867zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
8922zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  CC )
9088, 89npcand 8262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  M
)  +  M )  =  x )
9187, 90eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( ( x  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  =  x )
92 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
9391, 92eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( ( x  -  M )  +  1 )  -  1 )  +  M )  e.  S )
9473, 83, 93elrabd 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  M
)  +  1 )  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
95 eleq1 2240 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( ( x  -  M )  +  1 )  ->  (
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  <->  ( (
x  -  M )  +  1 )  e. 
{ p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } ) )
9695spcegv 2825 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  M
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( x  -  M )  +  1 )  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  ->  E. q 
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } ) )
9770, 94, 96sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  S )  ->  E. q 
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
9897ex 115 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  S  ->  E. q 
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } ) )
9998exlimdv 1819 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. x  x  e.  S  ->  E. q  q  e. 
{ p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } ) )
10099imp 124 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S
)  ->  E. q 
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
1011003adant3 1017 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  E. q 
q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
102 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( r  -  1 )  +  M )  ->  (
x  e.  S  <->  ( (
r  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
103102dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( r  -  1 )  +  M )  ->  (DECID  x  e.  S  <-> DECID  ( ( r  - 
1 )  +  M
)  e.  S ) )
104 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )
10524imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S
)  ->  M  e.  ZZ )
1061053adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
107106adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
108 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  r  e.  NN )
109108nnzd 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  r  e.  ZZ )
110 1zzd 9269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
111109, 110zsubcld 9369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (
r  -  1 )  e.  ZZ )
112111, 107zaddcld 9368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (
( r  -  1 )  +  M )  e.  ZZ )
113 nnm1ge0 9328 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  NN  ->  0  <_  ( r  -  1 ) )
114113adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  0  <_  ( r  -  1 ) )
115107zred 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
116111zred 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (
r  -  1 )  e.  RR )
117115, 116addge02d 8481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( r  -  1 )  <->  M  <_  ( ( r  -  1 )  +  M ) ) )
118114, 117mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  M  <_  ( ( r  - 
1 )  +  M
) )
119 eluz2 9523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  -  1 )  +  M )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( r  -  1 )  +  M )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( ( r  - 
1 )  +  M
) ) )
120107, 112, 118, 119syl3anbrc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (
( r  -  1 )  +  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
121103, 104, 120rspcdva 2846 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  -> DECID  ( ( r  - 
1 )  +  M
)  e.  S )
122 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  r  ->  (
p  -  1 )  =  ( r  - 
1 ) )
123122oveq1d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  r  ->  (
( p  -  1 )  +  M )  =  ( ( r  -  1 )  +  M ) )
124123eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S  <->  ( (
r  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
125124elrab3 2894 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN  ->  (
r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  <->  ( (
r  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
126125dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( r  e.  NN  ->  (DECID  r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } 
<-> DECID  ( ( r  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
127126adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  ->  (DECID  r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } 
<-> DECID  ( ( r  -  1 )  +  M )  e.  S ) )
128121, 127mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  /\  r  e.  NN )  -> DECID  r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
129128ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  A. r  e.  NN DECID  r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )
130 nnwodc 12020 . . 3  |-  ( ( { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  C_  NN  /\  E. q  q  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S }  /\  A. r  e.  NN DECID  r  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } )  ->  E. s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } A. t  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } s  <_  t
)
13165, 101, 129, 130mp3an2i 1342 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  E. s  e.  { p  e.  NN  |  ( ( p  -  1 )  +  M )  e.  S } A. t  e.  {
p  e.  NN  | 
( ( p  - 
1 )  +  M
)  e.  S }
s  <_  t )
13264, 131r19.29a 2620 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. x  x  e.  S  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3129   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    <_ cle 7983    - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129
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