Theorem uzwodc 12598

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
uzwodc	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable groups:   j, M, k   x, M, k   S, j, k   x, S

Proof of Theorem uzwodc

Dummy variables s p t q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
2		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( p = s -> ( p - 1 ) = ( s - 1 ) )
3	2	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( p = s -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( s - 1 ) + M ) )
4	3	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( p = s -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
5	4	elrab 2960	. . . . 5 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
6	1, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
7	6	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( ( s - 1 ) + M ) e. S )
8		breq2 4090	. . . . . . 7 |- ( t = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( s <_ t <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
9		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
10		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) )
11	10	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
12	11	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
13		simp1 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
14	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. S )
16	14, 15	sseldd 3226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
17		eluzelz 9755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ZZ )
19		simp2 1022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. x x e. S )
20		ssel2 3220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
21		eluzel2 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. ZZ )
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> M e. ZZ ) )
24	23	exlimdv 1865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> M e. ZZ ) )
25	13, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. ZZ )
27	18, 26	zsubcld 9597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. ZZ )
28		eluzle 9758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
29	16, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M <_ k )
30	18	zred 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. RR )
31	26	zred 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. RR )
32	30, 31	subge0d 8705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( 0 <_ ( k - M ) <-> M <_ k ) )
33	29, 32	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 0 <_ ( k - M ) )
34		elnn0z 9482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - M ) e. NN0 <-> ( ( k - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( k - M ) ) )
35	27, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. NN0 )
36		nn0p1nn 9431	. . . . . . . . 9 |- ( ( k - M ) e. NN0 -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
38	27	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. CC )
39		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. CC )
40	38, 39	pncand 8481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) = ( k - M ) )
41	40	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( k - M ) + M ) )
42	18	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. CC )
43	26	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. CC )
44	42, 43	npcand 8484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + M ) = k )
45	41, 44	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = k )
46	45, 15	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
47	12, 37, 46	elrabd 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
48	8, 9, 47	rspcdva 2913	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) )
49		elrabi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> s e. NN )
50	49	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. NN )
51	50	nnred 9146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. RR )
52		1red 8184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. RR )
53	30, 31	resubcld 8550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. RR )
54	51, 52, 53	lesubaddd 8712	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) <_ ( k - M ) <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
55	48, 54	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) )
56	51, 52	resubcld 8550	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) e. RR )
57		leaddsub 8608	. . . . . 6 |- ( ( ( s - 1 ) e. RR /\ M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
58	56, 31, 30, 57	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
60	59	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
61		breq1 4089	. . . . 5 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( j <_ k <-> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
62	61	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( A. k e. S j <_ k <-> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
63	62	rspcev 2908	. . 3 |- ( ( ( ( s - 1 ) + M ) e. S /\ A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
64	7, 60, 63	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
65		ssrab2 3310	. . 3 |- { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN
66		eluzelz 9755	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
67	20, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ZZ )
68	67, 22	zsubcld 9597	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. ZZ )
69		1zzd 9496	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. ZZ )
70	68, 69	zaddcld 9596	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ )
71		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) )
72	71	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
73	72	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
74		eluzle 9758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
75	20, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M <_ x )
76	67	zred 9592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. RR )
77	22	zred 9592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. RR )
78	76, 77	subge0d 8705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
79	75, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 0 <_ ( x - M ) )
80		elnn0z 9482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
81	68, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. NN0 )
82		nn0p1nn 9431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - M ) e. NN0 -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
84	68	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. CC )
85		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
86	84, 85	pncand 8481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) = ( x - M ) )
87	86	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( x - M ) + M ) )
88	67	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. CC )
89	22	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. CC )
90	88, 89	npcand 8484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + M ) = x )
91	87, 90	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = x )
92		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. S )
93	91, 92	eqeltrd 2306	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
94	73, 83, 93	elrabd 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
95		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
96	95	spcegv 2892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
97	70, 94, 96	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
98	97	ex 115	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
99	98	exlimdv 1865	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
100	99	imp 124	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
101	100	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
102		eleq1 2292	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> ( x e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
103	102	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> (DECID x e. S <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
104		simpl3 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S )
105	24	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> M e. ZZ )
106	105	3adant3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
107	106	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. ZZ )
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. NN )
109	108	nnzd 9591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. ZZ )
110		1zzd 9496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 1 e. ZZ )
111	109, 110	zsubcld 9597	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. ZZ )
112	111, 107	zaddcld 9596	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ )
113		nnm1ge0 9556	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN -> 0 <_ ( r - 1 ) )
114	113	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 0 <_ ( r - 1 ) )
115	107	zred 9592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. RR )
116	111	zred 9592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. RR )
117	115, 116	addge02d 8704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( 0 <_ ( r - 1 ) <-> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
118	114, 117	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) )
119		eluz2 9751	. . . . . . 7 |- ( ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ /\ M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
120	107, 112, 118, 119	syl3anbrc 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
121	103, 104, 120	rspcdva 2913	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S )
122		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( p = r -> ( p - 1 ) = ( r - 1 ) )
123	122	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( p = r -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( r - 1 ) + M ) )
124	123	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( p = r -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
125	124	elrab3 2961	. . . . . . 7 |- ( r e. NN -> ( r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
126	125	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( r e. NN -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
127	126	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
128	121, 127	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
129	128	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
130		nnwodc 12597	. . 3 |- ( ( { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN /\ E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } /\ A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
131	65, 101, 129, 130	mp3an2i 1376	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
132	64, 131	r19.29a 2674	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   <_ cle 8205   - cmin 8340   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368

This theorem is referenced by: (None)