Theorem uzwodc 12229

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
uzwodc	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable groups:   j, M, k   x, M, k   S, j, k   x, S

Proof of Theorem uzwodc

Dummy variables s p t q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
2		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( p = s -> ( p - 1 ) = ( s - 1 ) )
3	2	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( p = s -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( s - 1 ) + M ) )
4	3	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( p = s -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
5	4	elrab 2920	. . . . 5 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
6	1, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( s e. NN /\ ( ( s - 1 ) + M ) e. S ) )
7	6	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> ( ( s - 1 ) + M ) e. S )
8		breq2 4038	. . . . . . 7 |- ( t = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( s <_ t <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
9		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
10		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) )
11	10	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
12	11	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( p = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
13		simp1 999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
14	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> S C_ ( ZZ>= ` M ) )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. S )
16	14, 15	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
17		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. ZZ )
19		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. x x e. S )
20		ssel2 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
21		eluzel2 9623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. ZZ )
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> M e. ZZ ) )
24	23	exlimdv 1833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> M e. ZZ ) )
25	13, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. ZZ )
27	18, 26	zsubcld 9470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. ZZ )
28		eluzle 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
29	16, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M <_ k )
30	18	zred 9465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. RR )
31	26	zred 9465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. RR )
32	30, 31	subge0d 8579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( 0 <_ ( k - M ) <-> M <_ k ) )
33	29, 32	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 0 <_ ( k - M ) )
34		elnn0z 9356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - M ) e. NN0 <-> ( ( k - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( k - M ) ) )
35	27, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. NN0 )
36		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . 9 |- ( ( k - M ) e. NN0 -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
38	27	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. CC )
39		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. CC )
40	38, 39	pncand 8355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) = ( k - M ) )
41	40	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( k - M ) + M ) )
42	18	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> k e. CC )
43	26	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> M e. CC )
44	42, 43	npcand 8358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + M ) = k )
45	41, 44	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = k )
46	45, 15	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
47	12, 37, 46	elrabd 2922	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
48	8, 9, 47	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) )
49		elrabi 2917	. . . . . . . . 9 |- ( s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> s e. NN )
50	49	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. NN )
51	50	nnred 9020	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> s e. RR )
52		1red 8058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> 1 e. RR )
53	30, 31	resubcld 8424	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( k - M ) e. RR )
54	51, 52, 53	lesubaddd 8586	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) <_ ( k - M ) <-> s <_ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
55	48, 54	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) )
56	51, 52	resubcld 8424	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( s - 1 ) e. RR )
57		leaddsub 8482	. . . . . 6 |- ( ( ( s - 1 ) e. RR /\ M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
58	56, 31, 30, 57	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( ( s - 1 ) + M ) <_ k <-> ( s - 1 ) <_ ( k - M ) ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) /\ k e. S ) -> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
60	59	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k )
61		breq1 4037	. . . . 5 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( j <_ k <-> ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
62	61	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( j = ( ( s - 1 ) + M ) -> ( A. k e. S j <_ k <-> A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) )
63	62	rspcev 2868	. . 3 |- ( ( ( ( s - 1 ) + M ) e. S /\ A. k e. S ( ( s - 1 ) + M ) <_ k ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
64	7, 60, 63	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) /\ A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
65		ssrab2 3269	. . 3 |- { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN
66		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
67	20, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ZZ )
68	67, 22	zsubcld 9470	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. ZZ )
69		1zzd 9370	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. ZZ )
70	68, 69	zaddcld 9469	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ )
71		oveq1 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( p - 1 ) = ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) )
72	71	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) )
73	72	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S ) )
74		eluzle 9630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
75	20, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M <_ x )
76	67	zred 9465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. RR )
77	22	zred 9465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. RR )
78	76, 77	subge0d 8579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
79	75, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 0 <_ ( x - M ) )
80		elnn0z 9356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
81	68, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. NN0 )
82		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - M ) e. NN0 -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. NN )
84	68	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( x - M ) e. CC )
85		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
86	84, 85	pncand 8355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) = ( x - M ) )
87	86	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = ( ( x - M ) + M ) )
88	67	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. CC )
89	22	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> M e. CC )
90	88, 89	npcand 8358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + M ) = x )
91	87, 90	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) = x )
92		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> x e. S )
93	91, 92	eqeltrd 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( ( ( x - M ) + 1 ) - 1 ) + M ) e. S )
94	73, 83, 93	elrabd 2922	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
95		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( ( x - M ) + 1 ) -> ( q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
96	95	spcegv 2852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - M ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( x - M ) + 1 ) e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
97	70, 94, 96	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
98	97	ex 115	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
99	98	exlimdv 1833	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( E. x x e. S -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) )
100	99	imp 124	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
101	100	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
102		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> ( x e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
103	102	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( x = ( ( r - 1 ) + M ) -> (DECID x e. S <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
104		simpl3 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S )
105	24	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S ) -> M e. ZZ )
106	105	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> M e. ZZ )
107	106	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. ZZ )
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. NN )
109	108	nnzd 9464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> r e. ZZ )
110		1zzd 9370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 1 e. ZZ )
111	109, 110	zsubcld 9470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. ZZ )
112	111, 107	zaddcld 9469	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ )
113		nnm1ge0 9429	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN -> 0 <_ ( r - 1 ) )
114	113	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> 0 <_ ( r - 1 ) )
115	107	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M e. RR )
116	111	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( r - 1 ) e. RR )
117	115, 116	addge02d 8578	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( 0 <_ ( r - 1 ) <-> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
118	114, 117	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> M <_ ( ( r - 1 ) + M ) )
119		eluz2 9624	. . . . . . 7 |- ( ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( r - 1 ) + M ) e. ZZ /\ M <_ ( ( r - 1 ) + M ) ) )
120	107, 112, 118, 119	syl3anbrc 1183	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> ( ( r - 1 ) + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
121	103, 104, 120	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S )
122		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( p = r -> ( p - 1 ) = ( r - 1 ) )
123	122	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( p = r -> ( ( p - 1 ) + M ) = ( ( r - 1 ) + M ) )
124	123	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( p = r -> ( ( ( p - 1 ) + M ) e. S <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
125	124	elrab3 2921	. . . . . . 7 |- ( r e. NN -> ( r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
126	125	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( r e. NN -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
127	126	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> (DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } <-> DECID ( ( r - 1 ) + M ) e. S ) )
128	121, 127	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) /\ r e. NN ) -> DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
129	128	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } )
130		nnwodc 12228	. . 3 |- ( ( { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } C_ NN /\ E. q q e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } /\ A. r e. NN DECID r e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
131	65, 101, 129, 130	mp3an2i 1353	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. s e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } A. t e. { p e. NN | ( ( p - 1 ) + M ) e. S } s <_ t )
132	64, 131	r19.29a 2640	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ E. x x e. S /\ A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. S ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by: (None)