Theorem elsuppfn 6442

Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfn	|- ( ( F Fn X /\ X e. V /\ Z e. W ) -> ( S e. ( F supp Z ) <-> ( S e. X /\ ( F ` S ) =/= Z ) ) )

Proof of Theorem elsuppfn

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppvalfn 6440	. . 3 |- ( ( F Fn X /\ X e. V /\ Z e. W ) -> ( F supp Z ) = { i e. X | ( F ` i ) =/= Z } )
2	1	eleq2d 2302	. 2 |- ( ( F Fn X /\ X e. V /\ Z e. W ) -> ( S e. ( F supp Z ) <-> S e. { i e. X | ( F ` i ) =/= Z } ) )
3		fveq2 5669	. . . 4 |- ( i = S -> ( F ` i ) = ( F ` S ) )
4	3	neeq1d 2430	. . 3 |- ( i = S -> ( ( F ` i ) =/= Z <-> ( F ` S ) =/= Z ) )
5	4	elrab 2972	. 2 |- ( S e. { i e. X | ( F ` i ) =/= Z } <-> ( S e. X /\ ( F ` S ) =/= Z ) )
6	2, 5	bitrdi 196	1 |- ( ( F Fn X /\ X e. V /\ Z e. W ) -> ( S e. ( F supp Z ) <-> ( S e. X /\ ( F ` S ) =/= Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6443  fvn0elsupp  6450  fvn0elsuppb  6451  rexsupp  6452  suppssrst  6460