Theorem en2i 6760

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	|- A e. _V
en2i.2	|- B e. _V
en2i.3	|- ( x e. A -> C e. _V )
en2i.4	|- ( y e. B -> D e. _V )
en2i.5	|- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )

Assertion

Ref	Expression
en2i	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A e. _V )
3		en2i.2	. . . 4 |- B e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> B e. _V )
5		en2i.3	. . . 4 |- ( x e. A -> C e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. A -> C e. _V ) )
7		en2i.4	. . . 4 |- ( y e. B -> D e. _V )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( y e. B -> D e. _V ) )
9		en2i.5	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 6758	. 2 |- ( T. -> A ~~ B )
12	11	mptru 1362	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   ~~ cen 6728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-en 6731

This theorem is referenced by:  mapsnen  6801  xpsnen  6811  xpassen  6820