Theorem en2i 6884

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	|- A e. _V
en2i.2	|- B e. _V
en2i.3	|- ( x e. A -> C e. _V )
en2i.4	|- ( y e. B -> D e. _V )
en2i.5	|- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )

Assertion

Ref	Expression
en2i	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A e. _V )
3		en2i.2	. . . 4 |- B e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> B e. _V )
5		en2i.3	. . . 4 |- ( x e. A -> C e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. A -> C e. _V ) )
7		en2i.4	. . . 4 |- ( y e. B -> D e. _V )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( y e. B -> D e. _V ) )
9		en2i.5	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 6882	. 2 |- ( T. -> A ~~ B )
12	11	mptru 1382	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-en 6851

This theorem is referenced by:  mapsnen  6927  xpsnen  6941  xpassen  6950