Theorem en2i 6797

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	|- A e. _V
en2i.2	|- B e. _V
en2i.3	|- ( x e. A -> C e. _V )
en2i.4	|- ( y e. B -> D e. _V )
en2i.5	|- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )

Assertion

Ref	Expression
en2i	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A e. _V )
3		en2i.2	. . . 4 |- B e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> B e. _V )
5		en2i.3	. . . 4 |- ( x e. A -> C e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. A -> C e. _V ) )
7		en2i.4	. . . 4 |- ( y e. B -> D e. _V )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( y e. B -> D e. _V ) )
9		en2i.5	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 6795	. 2 |- ( T. -> A ~~ B )
12	11	mptru 1373	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   ~~ cen 6765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-en 6768

This theorem is referenced by:  mapsnen  6838  xpsnen  6848  xpassen  6857