Theorem en2i 6748

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	|- A e. _V
en2i.2	|- B e. _V
en2i.3	|- ( x e. A -> C e. _V )
en2i.4	|- ( y e. B -> D e. _V )
en2i.5	|- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )

Assertion

Ref	Expression
en2i	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A e. _V )
3		en2i.2	. . . 4 |- B e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> B e. _V )
5		en2i.3	. . . 4 |- ( x e. A -> C e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. A -> C e. _V ) )
7		en2i.4	. . . 4 |- ( y e. B -> D e. _V )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( y e. B -> D e. _V ) )
9		en2i.5	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 6746	. 2 |- ( T. -> A ~~ B )
12	11	mptru 1357	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719

This theorem is referenced by:  mapsnen  6789  xpsnen  6799  xpassen  6808