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Theorem xpassen 6731
 Description: Associative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpassen.1
xpassen.2
xpassen.3
Assertion
Ref Expression
xpassen

Proof of Theorem xpassen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpassen.1 . . . 4
2 xpassen.2 . . . 4
31, 2xpex 4661 . . 3
4 xpassen.3 . . 3
53, 4xpex 4661 . 2
62, 4xpex 4661 . . 3
71, 6xpex 4661 . 2
8 vex 2692 . . . . . . . . . 10
98snex 4116 . . . . . . . . 9
109dmex 4812 . . . . . . . 8
1110uniex 4366 . . . . . . 7
1211snex 4116 . . . . . 6
1312dmex 4812 . . . . 5
1413uniex 4366 . . . 4
1512rnex 4813 . . . . . 6
1615uniex 4366 . . . . 5
179rnex 4813 . . . . . 6
1817uniex 4366 . . . . 5
1916, 18opex 4158 . . . 4
2014, 19opex 4158 . . 3
2120a1i 9 . 2
22 vex 2692 . . . . . . . 8
2322snex 4116 . . . . . . 7
2423dmex 4812 . . . . . 6
2524uniex 4366 . . . . 5
2623rnex 4813 . . . . . . . . 9
2726uniex 4366 . . . . . . . 8
2827snex 4116 . . . . . . 7
2928dmex 4812 . . . . . 6
3029uniex 4366 . . . . 5
3125, 30opex 4158 . . . 4
3228rnex 4813 . . . . 5
3332uniex 4366 . . . 4
3431, 33opex 4158 . . 3
3534a1i 9 . 2
36 sneq 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938sneqd 3544 . . . . . . . . . . . . . 14
4039dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . 13
4140unieqd 3754 . . . . . . . . . . . 12
42 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4442, 43opex 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4644, 45op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746sneqi 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847dmeqi 4747 . . . . . . . . . . . . . 14
4948unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . 13
5042, 43op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50eqtri 2161 . . . . . . . . . . . 12
5241, 51eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . 11
5339rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . 14
5453unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13
5547rneqi 4774 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . . 14
5742, 43op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13
5954, 58eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12
6036rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . 14
6160unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13
6244, 45op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12
6459, 63opeq12d 3720 . . . . . . . . . . 11
6552, 64opeq12d 3720 . . . . . . . . . 10
66 sneq 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . 14
6867unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13
6943, 45opex 4158 . . . . . . . . . . . . . 14
7042, 69op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . 13
7168, 70eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12
7266rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473sneqd 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . 14
7675unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13
7742, 69op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877sneqi 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978dmeqi 4747 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . . 14
8143, 45op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13
8376, 82eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12
8471, 83opeq12d 3720 . . . . . . . . . . 11
8574rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . 13
8685unieqd 3754 . . . . . . . . . . . 12
8778rneqi 4774 . . . . . . . . . . . . . 14
8887unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . 13
8943, 45op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89eqtri 2161 . . . . . . . . . . . 12
9186, 90eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . 11
9284, 91opeq12d 3720 . . . . . . . . . 10
9365, 92eq2tri 2200 . . . . . . . . 9
94 anass 399 . . . . . . . . 9
9593, 94anbi12i 456 . . . . . . . 8
96 an32 552 . . . . . . . 8
97 an32 552 . . . . . . . 8
9895, 96, 973bitr4i 211 . . . . . . 7
9998exbii 1585 . . . . . 6
100 19.41v 1875 . . . . . 6
101 19.41v 1875 . . . . . 6
10299, 100, 1013bitr3i 209 . . . . 5
1031022exbii 1586 . . . 4
104 19.41vv 1876 . . . 4
105 19.41vv 1876 . . . 4
106103, 104, 1053bitr3i 209 . . 3
107 elxp 4563 . . . . 5
108 excom 1643 . . . . 5
109 elxp 4563 . . . . . . . . 9
110109anbi1i 454 . . . . . . . 8
111 an12 551 . . . . . . . 8
112 19.41vv 1876 . . . . . . . 8
113110, 111, 1123bitr4i 211 . . . . . . 7
1141132exbii 1586 . . . . . 6
115 exrot4 1670 . . . . . 6
116 anass 399 . . . . . . . . 9
117116exbii 1585 . . . . . . . 8
118 opeq1 3712 . . . . . . . . . . . 12
119118eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . 11
120119anbi1d 461 . . . . . . . . . 10
121120anbi2d 460 . . . . . . . . 9
12244, 121ceqsexv 2728 . . . . . . . 8
123 an12 551 . . . . . . . 8
124117, 122, 1233bitri 205 . . . . . . 7
1251243exbii 1587 . . . . . 6
126114, 115, 1253bitri 205 . . . . 5
127107, 108, 1263bitri 205 . . . 4
128127anbi1i 454 . . 3
129 elxp 4563 . . . . 5
130 elxp 4563 . . . . . . . . . 10
131130anbi2i 453 . . . . . . . . 9
132 anass 399 . . . . . . . . 9
133 19.42vv 1884 . . . . . . . . . 10
134 an12 551 . . . . . . . . . . . 12
135 anass 399 . . . . . . . . . . . . 13
136135anbi2i 453 . . . . . . . . . . . 12
137134, 136bitri 183 . . . . . . . . . . 11
1381372exbii 1586 . . . . . . . . . 10
139133, 138bitr3i 185 . . . . . . . . 9
140131, 132, 1393bitr3i 209 . . . . . . . 8
141140exbii 1585 . . . . . . 7
142 exrot3 1669 . . . . . . 7
143 opeq2 3713 . . . . . . . . . . 11
144143eqeq2d 2152 . . . . . . . . . 10
145144anbi1d 461 . . . . . . . . 9
14669, 145ceqsexv 2728 . . . . . . . 8
1471462exbii 1586 . . . . . . 7
148141, 142, 1473bitri 205 . . . . . 6
149148exbii 1585 . . . . 5
150129, 149bitri 183 . . . 4
151150anbi1i 454 . . 3
152106, 128, 1513bitr4i 211 . 2
1535, 7, 21, 35, 152en2i 6671 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1332  wex 1469   wcel 1481  cvv 2689  csn 3531  cop 3534  cuni 3743   class class class wbr 3936   cxp 4544   cdm 4546   crn 4547   cen 6639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-en 6642 This theorem is referenced by: (None)
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