ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpassen Unicode version

Theorem xpassen 6731
Description: Associative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpassen.1  |-  A  e. 
_V
xpassen.2  |-  B  e. 
_V
xpassen.3  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpassen  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )

Proof of Theorem xpassen
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpassen.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 xpassen.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2xpex 4661 . . 3  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4 xpassen.3 . . 3  |-  C  e. 
_V
53, 4xpex 4661 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  e. 
_V
62, 4xpex 4661 . . 3  |-  ( B  X.  C )  e. 
_V
71, 6xpex 4661 . 2  |-  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  e. 
_V
8 vex 2692 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
98snex 4116 . . . . . . . . 9  |-  { x }  e.  _V
109dmex 4812 . . . . . . . 8  |-  dom  {
x }  e.  _V
1110uniex 4366 . . . . . . 7  |-  U. dom  { x }  e.  _V
1211snex 4116 . . . . . 6  |-  { U. dom  { x } }  e.  _V
1312dmex 4812 . . . . 5  |-  dom  { U. dom  { x } }  e.  _V
1413uniex 4366 . . . 4  |-  U. dom  { U. dom  { x } }  e.  _V
1512rnex 4813 . . . . . 6  |-  ran  { U. dom  { x } }  e.  _V
1615uniex 4366 . . . . 5  |-  U. ran  { U. dom  { x } }  e.  _V
179rnex 4813 . . . . . 6  |-  ran  {
x }  e.  _V
1817uniex 4366 . . . . 5  |-  U. ran  { x }  e.  _V
1916, 18opex 4158 . . . 4  |-  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >.  e.  _V
2014, 19opex 4158 . . 3  |-  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V
2120a1i 9 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ->  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V )
22 vex 2692 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2322snex 4116 . . . . . . 7  |-  { y }  e.  _V
2423dmex 4812 . . . . . 6  |-  dom  {
y }  e.  _V
2524uniex 4366 . . . . 5  |-  U. dom  { y }  e.  _V
2623rnex 4813 . . . . . . . . 9  |-  ran  {
y }  e.  _V
2726uniex 4366 . . . . . . . 8  |-  U. ran  { y }  e.  _V
2827snex 4116 . . . . . . 7  |-  { U. ran  { y } }  e.  _V
2928dmex 4812 . . . . . 6  |-  dom  { U. ran  { y } }  e.  _V
3029uniex 4366 . . . . 5  |-  U. dom  { U. ran  { y } }  e.  _V
3125, 30opex 4158 . . . 4  |-  <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >.  e. 
_V
3228rnex 4813 . . . . 5  |-  ran  { U. ran  { y } }  e.  _V
3332uniex 4366 . . . 4  |-  U. ran  { U. ran  { y } }  e.  _V
3431, 33opex 4158 . . 3  |-  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V
3534a1i 9 . 2  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  ->  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V )
36 sneq 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { x }  =  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3736dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { x }  =  dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3837unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3938sneqd 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { U. dom  { x } }  =  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
4039dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { U. dom  { x } }  =  dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
4140unieqd 3754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { U. dom  { x } }  =  U. dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
42 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
43 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
4442, 43opex 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. z ,  w >.  e.  _V
45 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
_V
4644, 45op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  <. z ,  w >.
4746sneqi 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  { <. z ,  w >. }
4847dmeqi 4747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  dom  {
<. z ,  w >. }
4948unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. dom  { <. z ,  w >. }
5042, 43op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
5149, 50eqtri 2161 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  z
5241, 51eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  z  =  U. dom  { U. dom  { x } }
)
5339rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { U. dom  { x } }  =  ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
5453unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { U. dom  { x } }  =  U. ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
5547rneqi 4774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  ran  {
<. z ,  w >. }
5655unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. ran  { <. z ,  w >. }
5742, 43op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
5856, 57eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  w
5954, 58eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  w  =  U. ran  { U. dom  { x } }
)
6036rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { x }  =  ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
6160unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { x }  =  U. ran  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
6244, 45op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  v
6361, 62eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  v  =  U. ran  { x } )
6459, 63opeq12d 3720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. w ,  v >.  =  <. U.
ran  { U. dom  {
x } } ,  U. ran  { x } >. )
6552, 64opeq12d 3720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
66 sneq 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { y }  =  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } )
6766dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { y }  =  dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
6867unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { y }  =  U. dom  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
6943, 45opex 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. w ,  v >.  e.  _V
7042, 69op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  z
7168, 70eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  z  =  U. dom  { y } )
7266rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { y }  =  ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
7372unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { y }  =  U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
7473sneqd 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { U. ran  { y } }  =  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
7574dmeqd 4748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { U. ran  { y } }  =  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
7675unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { U. ran  { y } }  =  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
7742, 69op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  <. w ,  v >.
7877sneqi 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }  =  { <. w ,  v
>. }
7978dmeqi 4747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  dom  { <. w ,  v
>. }
8079unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. dom  { <. w ,  v >. }
8143, 45op1sta 5027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  {
<. w ,  v >. }  =  w
8280, 81eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  w
8376, 82eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  w  =  U. dom  { U. ran  { y } }
)
8471, 83opeq12d 3720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. z ,  w >.  =  <. U.
dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. )
8574rneqd 4775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { U. ran  { y } }  =  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
8685unieqd 3754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { U. ran  { y } }  =  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
8778rneqi 4774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  ran  { <. w ,  v
>. }
8887unieqi 3753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. ran  { <. w ,  v >. }
8943, 45op2nda 5030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. w ,  v >. }  =  v
9088, 89eqtri 2161 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  v
9186, 90eqtr2di 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  v  =  U. ran  { U. ran  { y } }
)
9284, 91opeq12d 3720 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. <. z ,  w >. ,  v >.  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )
9365, 92eq2tri 2200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U.
dom  { U. dom  {
x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
94 anass 399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C )  <->  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )
9593, 94anbi12i 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
96 an32 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
97 an32 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  <-> 
( ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
9895, 96, 973bitr4i 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
9998exbii 1585 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
100 19.41v 1875 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
101 19.41v 1875 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
10299, 100, 1013bitr3i 209 . . . . 5  |-  ( ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
1031022exbii 1586 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
104 19.41vv 1876 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
105 19.41vv 1876 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
106103, 104, 1053bitr3i 209 . . 3  |-  ( ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
107 elxp 4563 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C
) ) )
108 excom 1643 . . . . 5  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u
( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
) )
109 elxp 4563 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( A  X.  B )  <->  E. z E. w ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )
110109anbi1i 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
111 an12 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  ( u  e.  ( A  X.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
112 19.41vv 1876 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
113110, 111, 1123bitr4i 211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w
( ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
1141132exbii 1586 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
115 exrot4 1670 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
116 anass 399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
117116exbii 1585 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  E. u
( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) ) )
118 opeq1 3712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  <. u ,  v
>.  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.
)
119118eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  = 
<. u ,  v >.  <->  x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >. )
)
120119anbi1d 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
)  <->  ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
121120anbi2d 460 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
12244, 121ceqsexv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C
) ) )
123 an12 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
124117, 122, 1233bitri 205 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
1251243exbii 1587 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
126114, 115, 1253bitri 205 . . . . 5  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
127107, 108, 1263bitri 205 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
128127anbi1i 454 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
129 elxp 4563 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) ) )
130 elxp 4563 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( B  X.  C )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )
131130anbi2i 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
132 anass 399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C
) ) ) )
133 19.42vv 1884 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
134 an12 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
135 anass 399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
)  <->  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
136135anbi2i 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
137134, 136bitri 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
1381372exbii 1586 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
139133, 138bitr3i 185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
140131, 132, 1393bitr3i 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
141140exbii 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
142 exrot3 1669 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
143 opeq2 3713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  <. z ,  u >.  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
144143eqeq2d 2152 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( y  = 
<. z ,  u >.  <->  y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
)
145144anbi1d 461 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) ) )
14669, 145ceqsexv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
1471462exbii 1586 . . . . . . 7  |-  ( E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
148141, 142, 1473bitri 205 . . . . . 6  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
149148exbii 1585 . . . . 5  |-  ( E. z E. u ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
150129, 149bitri 183 . . . 4  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
151150anbi1i 454 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
152106, 128, 1513bitr4i 211 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
1535, 7, 21, 35, 152en2i 6671 1  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3531   <.cop 3534   U.cuni 3743   class class class wbr 3936    X. cxp 4544   dom cdm 4546   ran crn 4547    ~~ cen 6639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-en 6642
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator