ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpassen Unicode version

Theorem xpassen 6526
Description: Associative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpassen.1  |-  A  e. 
_V
xpassen.2  |-  B  e. 
_V
xpassen.3  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpassen  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )

Proof of Theorem xpassen
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpassen.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 xpassen.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2xpex 4541 . . 3  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4 xpassen.3 . . 3  |-  C  e. 
_V
53, 4xpex 4541 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  e. 
_V
62, 4xpex 4541 . . 3  |-  ( B  X.  C )  e. 
_V
71, 6xpex 4541 . 2  |-  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  e. 
_V
8 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
98snex 4011 . . . . . . . . 9  |-  { x }  e.  _V
109dmex 4687 . . . . . . . 8  |-  dom  {
x }  e.  _V
1110uniex 4255 . . . . . . 7  |-  U. dom  { x }  e.  _V
1211snex 4011 . . . . . 6  |-  { U. dom  { x } }  e.  _V
1312dmex 4687 . . . . 5  |-  dom  { U. dom  { x } }  e.  _V
1413uniex 4255 . . . 4  |-  U. dom  { U. dom  { x } }  e.  _V
1512rnex 4688 . . . . . 6  |-  ran  { U. dom  { x } }  e.  _V
1615uniex 4255 . . . . 5  |-  U. ran  { U. dom  { x } }  e.  _V
179rnex 4688 . . . . . 6  |-  ran  {
x }  e.  _V
1817uniex 4255 . . . . 5  |-  U. ran  { x }  e.  _V
1916, 18opex 4047 . . . 4  |-  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >.  e.  _V
2014, 19opex 4047 . . 3  |-  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V
2120a1i 9 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ->  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V )
22 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2322snex 4011 . . . . . . 7  |-  { y }  e.  _V
2423dmex 4687 . . . . . 6  |-  dom  {
y }  e.  _V
2524uniex 4255 . . . . 5  |-  U. dom  { y }  e.  _V
2623rnex 4688 . . . . . . . . 9  |-  ran  {
y }  e.  _V
2726uniex 4255 . . . . . . . 8  |-  U. ran  { y }  e.  _V
2827snex 4011 . . . . . . 7  |-  { U. ran  { y } }  e.  _V
2928dmex 4687 . . . . . 6  |-  dom  { U. ran  { y } }  e.  _V
3029uniex 4255 . . . . 5  |-  U. dom  { U. ran  { y } }  e.  _V
3125, 30opex 4047 . . . 4  |-  <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >.  e. 
_V
3228rnex 4688 . . . . 5  |-  ran  { U. ran  { y } }  e.  _V
3332uniex 4255 . . . 4  |-  U. ran  { U. ran  { y } }  e.  _V
3431, 33opex 4047 . . 3  |-  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V
3534a1i 9 . 2  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  ->  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V )
36 sneq 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { x }  =  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3736dmeqd 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { x }  =  dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3837unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3938sneqd 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { U. dom  { x } }  =  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
4039dmeqd 4626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { U. dom  { x } }  =  dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
4140unieqd 3659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { U. dom  { x } }  =  U. dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
42 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
43 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
4442, 43opex 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. z ,  w >.  e.  _V
45 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
_V
4644, 45op1sta 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  <. z ,  w >.
4746sneqi 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  { <. z ,  w >. }
4847dmeqi 4625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  dom  {
<. z ,  w >. }
4948unieqi 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. dom  { <. z ,  w >. }
5042, 43op1sta 4899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
5149, 50eqtri 2108 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  z
5241, 51syl6req 2137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  z  =  U. dom  { U. dom  { x } }
)
5339rneqd 4652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { U. dom  { x } }  =  ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
5453unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { U. dom  { x } }  =  U. ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
5547rneqi 4651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  ran  {
<. z ,  w >. }
5655unieqi 3658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. ran  { <. z ,  w >. }
5742, 43op2nda 4902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
5856, 57eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  w
5954, 58syl6req 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  w  =  U. ran  { U. dom  { x } }
)
6036rneqd 4652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { x }  =  ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
6160unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { x }  =  U. ran  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
6244, 45op2nda 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  v
6361, 62syl6req 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  v  =  U. ran  { x } )
6459, 63opeq12d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. w ,  v >.  =  <. U.
ran  { U. dom  {
x } } ,  U. ran  { x } >. )
6552, 64opeq12d 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
66 sneq 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { y }  =  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } )
6766dmeqd 4626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { y }  =  dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
6867unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { y }  =  U. dom  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
6943, 45opex 4047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. w ,  v >.  e.  _V
7042, 69op1sta 4899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  z
7168, 70syl6req 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  z  =  U. dom  { y } )
7266rneqd 4652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { y }  =  ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
7372unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { y }  =  U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
7473sneqd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { U. ran  { y } }  =  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
7574dmeqd 4626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { U. ran  { y } }  =  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
7675unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { U. ran  { y } }  =  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
7742, 69op2nda 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  <. w ,  v >.
7877sneqi 3453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }  =  { <. w ,  v
>. }
7978dmeqi 4625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  dom  { <. w ,  v
>. }
8079unieqi 3658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. dom  { <. w ,  v >. }
8143, 45op1sta 4899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  {
<. w ,  v >. }  =  w
8280, 81eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  w
8376, 82syl6req 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  w  =  U. dom  { U. ran  { y } }
)
8471, 83opeq12d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. z ,  w >.  =  <. U.
dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. )
8574rneqd 4652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { U. ran  { y } }  =  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
8685unieqd 3659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { U. ran  { y } }  =  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
8778rneqi 4651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  ran  { <. w ,  v
>. }
8887unieqi 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. ran  { <. w ,  v >. }
8943, 45op2nda 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. w ,  v >. }  =  v
9088, 89eqtri 2108 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  v
9186, 90syl6req 2137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  v  =  U. ran  { U. ran  { y } }
)
9284, 91opeq12d 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. <. z ,  w >. ,  v >.  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )
9365, 92eq2tri 2147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U.
dom  { U. dom  {
x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
94 anass 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C )  <->  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )
9593, 94anbi12i 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
96 an32 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
97 an32 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  <-> 
( ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
9895, 96, 973bitr4i 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
9998exbii 1541 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
100 19.41v 1830 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
101 19.41v 1830 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
10299, 100, 1013bitr3i 208 . . . . 5  |-  ( ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
1031022exbii 1542 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
104 19.41vv 1831 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
105 19.41vv 1831 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
106103, 104, 1053bitr3i 208 . . 3  |-  ( ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
107 elxp 4445 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C
) ) )
108 excom 1599 . . . . 5  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u
( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
) )
109 elxp 4445 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( A  X.  B )  <->  E. z E. w ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )
110109anbi1i 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
111 an12 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  ( u  e.  ( A  X.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
112 19.41vv 1831 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
113110, 111, 1123bitr4i 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w
( ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
1141132exbii 1542 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
115 exrot4 1626 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
116 anass 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
117116exbii 1541 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  E. u
( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) ) )
118 opeq1 3617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  <. u ,  v
>.  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.
)
119118eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  = 
<. u ,  v >.  <->  x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >. )
)
120119anbi1d 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
)  <->  ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
121120anbi2d 452 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
12244, 121ceqsexv 2658 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C
) ) )
123 an12 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
124117, 122, 1233bitri 204 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
1251243exbii 1543 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
126114, 115, 1253bitri 204 . . . . 5  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
127107, 108, 1263bitri 204 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
128127anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
129 elxp 4445 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) ) )
130 elxp 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( B  X.  C )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )
131130anbi2i 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
132 anass 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C
) ) ) )
133 19.42vv 1836 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
134 an12 528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
135 anass 393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
)  <->  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
136135anbi2i 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
137134, 136bitri 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
1381372exbii 1542 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
139133, 138bitr3i 184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
140131, 132, 1393bitr3i 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
141140exbii 1541 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
142 exrot3 1625 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
143 opeq2 3618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  <. z ,  u >.  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
144143eqeq2d 2099 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( y  = 
<. z ,  u >.  <->  y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
)
145144anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) ) )
14669, 145ceqsexv 2658 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
1471462exbii 1542 . . . . . . 7  |-  ( E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
148141, 142, 1473bitri 204 . . . . . 6  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
149148exbii 1541 . . . . 5  |-  ( E. z E. u ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
150129, 149bitri 182 . . . 4  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
151150anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
152106, 128, 1513bitr4i 210 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
1535, 7, 21, 35, 152en2i 6467 1  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3441   <.cop 3444   U.cuni 3648   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   dom cdm 4428   ran crn 4429    ~~ cen 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-en 6438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator