Theorem en3i 6673

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en3i.1	|- A e. _V
en3i.2	|- B e. _V
en3i.3	|- ( x e. A -> C e. B )
en3i.4	|- ( y e. B -> D e. A )
en3i.5	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = D <-> y = C ) )

Assertion

Ref	Expression
en3i	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem en3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en3i.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A e. _V )
3		en3i.2	. . . 4 |- B e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> B e. _V )
5		en3i.3	. . . 4 |- ( x e. A -> C e. B )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. A -> C e. B ) )
7		en3i.4	. . . 4 |- ( y e. B -> D e. A )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( y e. B -> D e. A ) )
9		en3i.5	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = D <-> y = C ) )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = D <-> y = C ) ) )
11	2, 4, 6, 8, 10	en3d 6671	. 2 |- ( T. -> A ~~ B )
12	11	mptru 1341	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   T. wtru 1333   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   ~~ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-en 6643

This theorem is referenced by:  xpmapenlem  6751  nn0ennn  10237  oddennn  11941  evenennn  11942  znnen  11947