Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnen Unicode version

Theorem mapsnen 6698
 Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnen.1
mapsnen.2
Assertion
Ref Expression
mapsnen

Proof of Theorem mapsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6542 . . 3
2 mapsnen.1 . . 3
3 mapsnen.2 . . . 4
43snex 4104 . . 3
5 fnovex 5797 . . 3
61, 2, 4, 5mp3an 1315 . 2
7 vex 2684 . . . 4
87, 3fvex 5434 . . 3
98a1i 9 . 2
10 vex 2684 . . . . 5
113, 10opex 4146 . . . 4
1211snex 4104 . . 3
1312a1i 9 . 2
142, 3mapsn 6577 . . . . . 6
1514abeq2i 2248 . . . . 5
1615anbi1i 453 . . . 4
17 r19.41v 2585 . . . 4
18 df-rex 2420 . . . 4
1916, 17, 183bitr2i 207 . . 3
20 fveq1 5413 . . . . . . . . . 10
21 vex 2684 . . . . . . . . . . 11
223, 21fvsn 5608 . . . . . . . . . 10
2320, 22syl6eq 2186 . . . . . . . . 9
2423eqeq2d 2149 . . . . . . . 8
25 equcom 1682 . . . . . . . 8
2624, 25syl6bb 195 . . . . . . 7
2726pm5.32i 449 . . . . . 6
2827anbi2i 452 . . . . 5
29 anass 398 . . . . 5
30 ancom 264 . . . . 5
3128, 29, 303bitr2i 207 . . . 4
3231exbii 1584 . . 3
33 eleq1w 2198 . . . . 5
34 opeq2 3701 . . . . . . 7
3534sneqd 3535 . . . . . 6
3635eqeq2d 2149 . . . . 5
3733, 36anbi12d 464 . . . 4
3810, 37ceqsexv 2720 . . 3
3919, 32, 383bitri 205 . 2
406, 2, 9, 13, 39en2i 6657 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wrex 2415  cvv 2681  csn 3522  cop 3525   class class class wbr 3924   cxp 4532   wfn 5113  cfv 5118  (class class class)co 5767   cmap 6535   cen 6625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-en 6628 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator