ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnen Unicode version

Theorem mapsnen 6756
Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnen.1  |-  A  e. 
_V
mapsnen.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnen  |-  ( A  ^m  { B }
)  ~~  A

Proof of Theorem mapsnen
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6600 . . 3  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
2 mapsnen.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 mapsnen.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
43snex 4146 . . 3  |-  { B }  e.  _V
5 fnovex 5854 . . 3  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  A  e.  _V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( A  ^m  { B } )  e.  _V )
61, 2, 4, 5mp3an 1319 . 2  |-  ( A  ^m  { B }
)  e.  _V
7 vex 2715 . . . 4  |-  z  e. 
_V
87, 3fvex 5488 . . 3  |-  ( z `
 B )  e. 
_V
98a1i 9 . 2  |-  ( z  e.  ( A  ^m  { B } )  -> 
( z `  B
)  e.  _V )
10 vex 2715 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
113, 10opex 4189 . . . 4  |-  <. B ,  w >.  e.  _V
1211snex 4146 . . 3  |-  { <. B ,  w >. }  e.  _V
1312a1i 9 . 2  |-  ( w  e.  A  ->  { <. B ,  w >. }  e.  _V )
142, 3mapsn 6635 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { z  |  E. y  e.  A  z  =  { <. B ,  y >. } }
1514abeq2i 2268 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  z  =  { <. B ,  y
>. } )
1615anbi1i 454 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A  ^m  { B }
)  /\  w  =  ( z `  B
) )  <->  ( E. y  e.  A  z  =  { <. B ,  y
>. }  /\  w  =  ( z `  B
) ) )
17 r19.41v 2613 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) )  <->  ( E. y  e.  A  z  =  { <. B ,  y
>. }  /\  w  =  ( z `  B
) ) )
18 df-rex 2441 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) ) ) )
1916, 17, 183bitr2i 207 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A  ^m  { B }
)  /\  w  =  ( z `  B
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) ) ) )
20 fveq1 5467 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
z `  B )  =  ( { <. B ,  y >. } `  B ) )
21 vex 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
223, 21fvsn 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. B ,  y >. } `  B )  =  y
2320, 22eqtrdi 2206 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
z `  B )  =  y )
2423eqeq2d 2169 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
w  =  ( z `
 B )  <->  w  =  y ) )
25 equcom 1686 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  <->  y  =  w )
2624, 25bitrdi 195 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
w  =  ( z `
 B )  <->  y  =  w ) )
2726pm5.32i 450 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) )  <->  ( z  =  { <. B ,  y
>. }  /\  y  =  w ) )
2827anbi2i 453 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) ) )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  =  w )
) )
29 anass 399 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  y >. } )  /\  y  =  w )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  =  w )
) )
30 ancom 264 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  y >. } )  /\  y  =  w )  <->  ( y  =  w  /\  (
y  e.  A  /\  z  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3128, 29, 303bitr2i 207 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  =  { <. B ,  y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) ) )  <->  ( y  =  w  /\  (
y  e.  A  /\  z  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3231exbii 1585 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( z  =  { <. B , 
y >. }  /\  w  =  ( z `  B ) ) )  <->  E. y ( y  =  w  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  y
>. } ) ) )
33 eleq1w 2218 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  A  <->  w  e.  A ) )
34 opeq2 3742 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  <. B , 
y >.  =  <. B ,  w >. )
3534sneqd 3573 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  { <. B ,  y >. }  =  { <. B ,  w >. } )
3635eqeq2d 2169 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  { <. B ,  y >. }  <->  z  =  { <. B ,  w >. } ) )
3733, 36anbi12d 465 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  y >. } )  <->  ( w  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  w >. } ) ) )
3810, 37ceqsexv 2751 . . 3  |-  ( E. y ( y  =  w  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  y
>. } ) )  <->  ( w  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  w >. } ) )
3919, 32, 383bitri 205 . 2  |-  ( ( z  e.  ( A  ^m  { B }
)  /\  w  =  ( z `  B
) )  <->  ( w  e.  A  /\  z  =  { <. B ,  w >. } ) )
406, 2, 9, 13, 39en2i 6715 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  ~~  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3965    X. cxp 4584    Fn wfn 5165   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    ^m cmap 6593    ~~ cen 6683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-map 6595  df-en 6686
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator